二无穷集合论的创立.pptx

1、1,无穷与极限安顺学院附中 李果,英国的海岸线无限长附中校园的边界无限长,想过如何计算海岸线的长度吗？,英国科学家理查逊 查询了欧洲很多百科全书，发现很多很多国家对与其相邻国的边界测量的不完全相同，有时候误差会达到百分之二十以上。 为什么会出现这种问题呢？,误差产生的原因？,法国数学家蒙德尔布罗 1967年对这个问题做出解释： 用来测量的尺子如果长短不一的话，会产生很大的误差 故用小尺子测量海岸线结果更精准,尺子无限小的情况,大半岛外有小半岛，大海湾内有小海湾，大石头旁有小石头，当尺子无限小时，海岸线的长度会无限大！,柯克曲线,取一个边长为1的正三角形，在每个边上以中间的1/3为一边，向外侧凸

2、出作一个正三角形，再把原来边上中间的1/3部分擦掉，就成了一个很像雪花的六角形。 这样不断地做下去，做出的图形边缘越来越不容易画出，但边缘上越来越小的许许多多的三角形是真实存在的，这样无限地做下去，得到的图形叫做柯克曲线。,计算柯克曲线的长度,测量规则：第一次用长度为1的尺子测量；第二次用长度为1/3的尺子测量，第三次用长度为1/9的尺子测量。 小组讨论：第n+1次测量时，量得的周长是多少？,计算柯克曲线的长度,后一个图的周长是前一个图的4/3倍,9,芝诺悖论： 阿基里斯追不上乌龟。,10,2. 症结： 无限段长度的和，可能是有限的； 无限段时间的和，也可能是有限的。 3. 芝诺悖论的意义：

3、尖锐地提出离散与连续的矛盾： 空间和时间有没有最小的单位？,11,三、“有无限个房间”的旅馆 1. “客满”后又来1位客人 1 2 3 4 k 2 3 4 5 k+1 空出了1号房间,12,2. 客满后又来了一个旅游团，旅游团 中有无穷个客人 1 2 3 4 k 2 4 6 8 2k 空下了奇数号房间,13,思考题解答,14,思 构造一个无穷多个运动员百米赛跑，但结果没有第一名的例子。（要求表达出每一个运动员的百米成绩，且要求接近实际：不能跑进9秒）,15,解答,16,思：构造一个“部分到整体的一一对应”：从0，1）0，+）。,17,答 ： 即,18,四、无限与有限的区别和联系 1. 区别 1

4、） 在无限集中，“部分可以等于全体”（这是无限的本质），而在有限的情况下， 部分总是小于全体。,19,当初的伽利略悖论，就是因为没有看到 “无限”的这一个特点而产生的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 n 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 n2 该两集合：有一一对应，于是推出两集合的元素个数相等；但由“部分小于全体”，又推出两集合的元素个数不相等。这就形成悖论。,20,伽利略（Galileo Galilei，1564-1642），意大利物理学家、天文学家和哲学家，近代实验科学的先驱者。,21,2.） “有限”时成立的许多命题，对“无限”不再成立 （

5、1）实数加法的结合律 在“有限”的情况下，加法结合律 成立: (a+b)+c = a+(b+c) ， a，b， c,22,在“无限”的情况下，加法结合律不再成立。如,23,五、 潜无限与实无限 1潜无限与实无限简史 潜无限是指把无限看成一个永无终止的过程，认为无限只存在于人们的思维中，只是说话的一种方式，不是一个实体。,24,从古希腊到康托以前的大多数哲学家和数学家都持这种潜无限的观点。他们认为“正整数集是无限的”来自我们不能穷举所有正整数。例如，可以想象一个个正整数写在一张张小纸条上，从1，2，3，写起，每写一张，就把该纸条装进一个大袋子里，那么，这一过程将永无终止。 因此，把全体正整数的袋

6、子看作一个实体是不可能的，它只能存在于人们的思维里。,25,但康托不同意这一观点，他很愿意把这个装有所有正整数的袋子看作一个完整的实体。这就是实无限的观点。 康托的工作是划时代的，对现代数学产生了巨大的影响，但当时，康托的老师克罗内克尔，却激烈反对康托的观点。所以康托当时的处境和待遇都不太好。,26,康托Georg Ferdinand Philip Cantor (18451918) 德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学，从学于E.E.库默尔、K.（T.W.）外

7、尔斯特拉斯和L.克罗内克。1866年曾去格丁根学习一学期。1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后即在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。,27,2无限集合也有“大小” 从“一一对应”说起 实无限的观点让我们知道，同样是无限集合，也可能有不同的“大小”。 正整数集合是最“小”的无限集合。 实数集合比正整数集“大”。实数集合上全体连续函数的集合又比实数集合更大。 不存在最“大”的无限集合（即对于任何无限集合，都能找到更“大”的无限集合）。,28,这需要“一一对应”的观点。 1）“一一对应”双射（单射+满射） 2）集合的势|A|集合中元素的多少 3）|N| =可数无穷势 a ， |Q|= a 4）|R| =不可数无穷（称连续统势 c）, ：无理数比有理数多得多。,29,5）无穷集合可能有不同的势，其中最小的势是 a ；不存在最大的势。 6）“连续统假设”长期未彻底解决 “连续统假设”：可数无穷 a 是无限集中最小的势，连续统势 c 是（否？）次小的势。 ？,30,康托1882年曾认为他证明了这一假 设，后来发现证明有错。 直到现在，这一问题仍吸引着一些数学家的兴趣。,31,六哲学中的无限 哲学对“无限”的兴趣 哲学是研究整个世界的科学。自从提出“无限”的概念，就引起了哲