初一升初二数学衔接

1、2010 年秋季初一升初二数学衔接第 6 讲 几何初步与三角形几何初步与三角形 一. 知识要点: 相交线 对顶角，邻补角 几何初步 两直线相交 垂线及其性质 平行线 平行公理及其推论 判定及其性质 按边分 不等边三角形 等腰三角形 底与腰不等的等腰三角形 分类 等边三角形 三角形 斜三角形 按角分 锐角三角形 钝角三角形 直角三角形 全等的概念 全等 全等的性质 全等的判定 二. 典型例题： 例 1、已知：如图，ACBD，O 是线段 AB 上一点，且使 OAAC，OBBD求证：CO OD 分析：只需证COD90即可 自我解答： 证法一：AC1180，BD2180 （AB）（CD）（12）360

2、 又AC/BDAB180 AOAC，OBBDC1，2D CD12 1802（12）360 1290， 由于AOB 是一个平角，所以 COD180 （12）1809090 COOD 证法二：如图 2，作 OEAC， AC/BD，AC/OE/BD， C3，D4， OAAC，OBOD， 1C，4D， 13，24， 1324180， 3490， COOD 例 2、在ABC 中，ABC=123，M 是 AB 的中点，且CM=3，求ABC 的 面积 B M CA 自我解答： 分析： 由三个内角的比值可知ABC 是直角三角形，且有一个角是 30，于是由斜边 上的中线长得斜边长及 30角所对直角边长，再由勾股

3、定理求出另一条直角边长， 可以求得面积 解： 如图，设A=x， ABC=123， B=2x，C=3x， 而ABC=180， x2x3 x=180， x=30， A=30，B=60，C=90， 在 RtABC 中，CM 是 AB 边上的中线，CM=3， AB=2CM=6， 又A=30， BC 1 2 AB 1 2 6 3， AC AB2BC26232 3 3， SABC 1 2 ACBC 1 2 33 3 9 3 2 . 例 3、求证：等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等 分析: 解文字形式的证明题时，要根据题意画出图形，写出“已知”、“求证”和 “证明”； 已知：如图，在ABC 中，ABAC，

4、DBDC，DMAB 于 M，DNAC 于 N求证： DMDN 自我解答： A MN B D C 证明一： ABAC，BC， DMAB，DNAC， BMDCND90， 又BDDC， BDMCDN， DMDN 证明二： 如图，连结 AD， ABAC，BDDC， AD 平分BAC， 而 DMAB，DNAC， DMDN A MN B D C 证明三：如图，连结 AD， D 是 BC 的中点， S ABDSACD 又DMAB，DNAC， 1 ABDM 1 22 ACDN 而 ABAC， DMDN 点评：在等腰三角形中，作底边上的中线或高或顶角的平分线是常用的辅助线 例 4、如图，点 B 是线段 AC 上

5、一点，分别以 AB、BC 为边作等边ABD、BCE，连 结 AE、CD，AE 交 BD 于 M，CD 交 BE 于 N，连结 MN 求证：（1）AECD；（2）BMBN；（3）MNAC DD E5E MM N A 41 3 2N B CA B C 自我解答： 分析： 结论（1）、（2）中要证明两条线段相等，通过选择恰当的两个三角形全等达 到目的；结论（3）要证明 MN 与 AC 的平行位置关系，可以通过找角与角之间的相 等关系来实现 证明： （1）ABD、BCE 是等边三角形， ABBD，BEBC，1260， 1323，即ABEDBC， ABEDBC，AEDC （2）ABEDBC 45， 而1

6、260，123180， 3160， 在ABM 和DBN 中， ABBD，45，31， ABMDBN， BMBN （3）BMBN，360， BMN 是等边三角形， BMN160， MNBC 例 5.已知如图(1)，ABC 中，BAC90，ABAC，AE 是过 A 的一条直线，且 B、 C 在 AE 的异侧，BDAE 于 D，CEAE 于 E，求证：(1)BDDECE；(2)若直线 AE 绕 A 点旋转到图(2)位置时(BDCE)，其余条件不变，问BD 与 DE、CE 的关系如何? 请予证明. (3)若直线 AE 绕 A 点旋转到图(3)位置时，(BDCE)，其余条件不变，问BD 与 DE、CE

7、的关系如何?请直接写出结果，不须证明.(4)归纳(1)、(2)、(3)，请用简捷 语言表述 BD、DE、CE 的关系. 自我解答： 证明：(1)BDAE，CEAE(已知)， BDAAEC90(垂直定义) BADCAE90，BADABD90， CAEABD(同角的余角相等) 在ABD ABD CAE(已证) 和CAE 中 ADB CEA 90(已证) AB AC(已知) ABDCAE(AAS) BDAE，ADCE(全等三角形的对应边相等) AEADDEAECEDE， BDCEDE (2)BDDECE，证明方法与(1)相同 (3)BDDECE (4)归纳(1)，(2)，(3)可知：结论表述为： 当

8、 B、C 在 AE 异侧时，BDDECE；当 B、C 在 AE 同侧时，BDDECE； 点评：本题考查动态几何中的量的关系，其关键是猜想规律 .再运用几何知识 予以证明. 例 6、如图，在ABC 中，C2B，12，求证：ABAC+DC A 12 A 12 B 3 D 4 C B D C E 分析： 要证明 AB 是两线段 AC、CD 之和，只要把AC、CD 放在同一条直线上，使其拼成 为一条线段；即延长AC 至 E，使AEAB，再证明延长部分等于CD（或延长 AC 至 E，使 CECD，再证明 AEAB） 自我解答： 证明一： 如图，延长 AC 到 E，使 AEAB，连结 DE， ABAE，1

9、2，ADAD， ABDAED， BE， 又ACB32B， 32E， 而3E4， 2EE4， E4， DCCE， ABAEACCE， ABACDC 证明二. A 12 F 3 B 4 D C 证明： 如图，在 AB 上截取 AFAC，连结 DF， 在ADF 和ADC 中， AFAC，12，ADAD， ADFADC，DFDC，3C， 又C2B，32B， 而3B4， B42B， 4B，BFDF， BFDC， AFBFACDC，即 ABACDC 点评： 证明一条线段等于两条线段的和的常用方法是： （1）延长一条短线段等于长线段，再证明延长部分与另一条短线段相等，或延 长短线段， 使延长的部分与另一条短

10、线段相等， 再证明延长后的线段与长线段相等； （2） 在长线段上截取一条线段等于短线段， 再证明余下部分等于另一条短线段 这种方法叫做截长或者补短法在证明线段间的和（或差）关系时常用到 例 7. 如图所示，南北向的直线 MN 为我国领海线，即 MN 以西为我国领海，以东 为公海上午 9 点 50 分，我缉私艇 A 发现正东方有一走私船 C 以每小时 13 海里 的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在 MN 线上巡逻的我国缉私艇 B 密切注 意A 和 C 两艇的距离为 13 海里，A、B 两艇的距离为 5 海里，缉私艇 B 测得 B、 C 距离为 12 海里若走私船 C 的速度不变，最早会在什么

11、时间进入我国领海？ 分析为降低题目难度，可将综合题化为若干个基本问题来解决思考： （1）ABC 是什么类型的三角形？ （2）走私船 C 距我领海最近距离是多少？ （3）走私船 C 最早在什么时间进入我领海？ 将问题分解成几个基本问题，达到了化繁为简的目的 自我解答： 解设 MN 与 AC 相交于 E，则BEC =90 又 AB2 BC2 52122132 AC2， ABC 为直角三角形，ABC =90 由于 MNCE，走私船 C 进入我领海的最近距离 CE设CE x,BE y，则 x2 y2122, y2144 x2, (13 x)2 y252. 即 25(13 x) . y 22 144 x

12、2 25 (13 x)2. 解得 x 144 13 .144 13 13 0.85（h）， 0.8560 51（min） 9 时 50 分51 分10 时 41 分 答：走私船 C 最早在 10 时 41 分进入我领海 例 8. 如图所示，在ABC 中，ABAC5，P 为 BC 边上任意一点求证：AP2 PBPC25 分析在要证的结论中出现了线段的平方，联想勾股定理，因此作辅助线构造 直角三角形 自我解答： 证明过 A 作AD BC于 D，则有BD DC. 在 RtAPD 中，由勾股定理，得AP2 AD2PD2， 又由勾股定理，有AD2 AB2BD2， 所以 AP2 AB2BD2PD2 52(

13、PD BD)(PDBD) 52PCBP. 因此AP2PBPC25 说明：涉及有关线段长的关系式或计算时，常作高构造直角三角形，把已知线 段和要求的线段集中在一个三角形中，利用勾股定理来解决问题 例 9. 已知 a、b、c 为ABC 的三边，且满足a2 b2 c2338 10a 24b 26c. 求证：这个三角形是直角三角形. 分析： 要证明ABC是直角三角形， 应从它的三边 a、 b、 c 入手， 如果有关系a2 b2 c2 或b2 c2 a2或c2 a2b2成立，那么这个三角形一定是直角三角形. 从已知条件， 可以求出a、b、c的长. 自我解答： 解答：由已知得：a2 b2 c210a 24

14、b 26c 338 0. a210a 25b2 24b 144 c2 26c 169 0 即 (a 5)2 (b 12)2 (c 13)2 0 (a 5)2 0,(b 12)2 0,(c 13)2 0 a 5 0,b 12 0,c 13 0，即a 5,b 12,c 13 52 122132，即有a2 b2 c2，ABC是直角三角形. 点评：直角三角形适用于勾股定理，而利用逆定理是判断一个三角形是直角三角形 的方法，当由边之间的关系判断三角形的形状时，我们用勾股定理先行考证，没有 条件时，创造条件，从而求出边长或边长之间的关系，进而判断. 2010 年秋季初一升初二数学衔接第 6 讲课后练习 姓

15、名： 一、填空题（每小题 2 分，共 20 分） 1若B=A-C，则ABC 是三角形；2A=B=C，则ABC 是三角形。 2如图，若1=30，2=95，3=40，则4=。 3ABC 中，若A=100，I 为三条角平分线的交点，则BIC=。 4如图，ABC 中，ADBC 于 D，要使ABDACD，若加条件B=C， 则可用判定,若根据“HL”判定，还需要加条件。 5 如图， 在ABC 中， ADBC， BEAC， CFAB， 它们相交于 H 点， 则1=35， 则2=_. 6到三角形三边距离相等的点是的交点；到三角形三顶点距离相等的 点是的交点。 7如图，BAC=30，P 是BAC 平分线上一点，

16、PMAC，PDAC，AM=4， 则 PD=。 8如图，已知 ABC 的B 和C 的外角平分线交于D，D=65，那么 A=。 9如图，B=40，C=20，1=2A，那么A=。 10已知 AD 是ABC 的高，BAD=62，CAD=28，则ABC 按角的大小分 类是。 二、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1已知等腰三角形的两边长是 5cm 和 9cm，则此三角形的周长是（） A19cmB23cmC22cmD19cm 或 23cm 2.如图，ACB 90,CD AB,则图中互余的锐角有（） A1 对B2 对C3 对D4 对 3有四根木条，长度为 12cm,10cm,8cm,4cm，选其中三根

17、能组成三角形的组数是 （） A1B2C3D4 4只有一条高线在三角形内部的三角形是（） A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D钝角三角形或直 角三角形 5如图直线l 1 ,l 2 ,l 3 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到 三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（） A一处B二处C三处D四处 6直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（） A45B135C45或 135D都不对 7在四边形ABCD 中，ABCD，ADBC，AC，BD 相交于 O，则图中能够全等 的三角形共有（ ）对。 A1B2C3D4 8.如图,把CDE 纸片沿 AB 折叠,当点 E 落在四边形 AB

18、CD 内部时,若1=15， 2=20，则3 为 () A. 20B.15C.17.5D.18 9.如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块 ,现在要到玻璃店去配一块完全一 样的玻璃,那么最省事的方法是() A.带去B.带去C.带去D.带和去 10.如图，ABC 中，C=90,AC=BC,AD 是ABC 的角平分线，DEAB 于 E， 若 AB=6cm，则BDE 的周长为（） A.5cmB. 6cmC. 7cmD.8cm 三、计算与说理（共 34 分） 1.已知ABC 中,BC=2cm，AB=8cm，AC 的长度是奇数，求ABC 的周长.（4 分） 2.已知:如图,在 ABC 中 AB=AC,

19、 AD=BD=BC，则A 的度数为多少?（5 分） 3. 已知:如图,在 RtABC 中 AB=AC,BAC=90.分别过 B、C 作过 A 点的直线的 垂线，垂足为 D、E，若 BD=4cm，CE=3cm，求 DE 的长度。（6 分） 4已知，如图：点D、E 在ABC 的边 BC 所在的直线上，BD=CE，1=2，那 么 AD=AE 吗？你能说明理由吗？（6 分） 5已知:如图, AC、BD 交于 O，AC=BD，AB=CD，试判断 OA 与 OD 的关系，说 明理由。（6 分） 6已知：如图，AD 是等腰 RtABC 的底角的平分线，C=90，试探索 AC+CD 与 AB 的关系。（7 分） 四、作图题（6 分） 如图，在公路 L 的同旁有两个仓库 A、B。现需要在公路旁建一个货物中转站，要 求到 A、 B 两仓库的距离和最短，这个中转站 M 应建在公路的哪个位置比较合理？ 保留作图痕迹，说明 M 的位置。 五、探索与思考（共 10 分） （1）如图，A、B、C 三点在一直线上，分别以 AB、BC 为边在