第四章-功和能.ppt

1、1,2,1质心 C 的位矢为：,2质心运动定理,3. 质心系,各质点相对于质心的运动 ,在质心系中考察质点系的运动。,4 质点的角动量,5 质点角动量定理,3,6 力矩,7 力对轴的力矩,8.质点对轴的角动量,9.对轴的角动量定理,10 质点角动量守恒定律,4,4.1 功,4.2 动能定理,4.3 一对力的功,4.4 保守力,4.5 势能（书4.5，4.6，4.7节）,4.6 由势能求保守力（书4.8节）,4.7 功能原理，机械能守恒定律（书4.9节）,4.8 守恒定律的意义（书4.10节）,4.9 碰撞（书4.11节）,前言,本章目录,5,前 言,机械能守恒定律。, 功的计算是否依赖参考系？

2、 势能是否与参考系的选择有关？ 机械能守恒是否与惯性系的选择有关？ 摩擦生热是否与参考系选择有关？,本章讨论力对空间的积累效应, 功、,动能、,势能、,动能定理、,要求：,1.深入理解以上概念，,搞清它们是属于质点、,还是属于系统？,与参考系的选择有无关系？,2.搞清规律的内容、,来源、,对象、,适用条件、,与参考系的关系等。,如：,6, 4.1 功（work）,功：力和力所作用的质点（或质元）的位移的, 功依赖于参考系； 功是标量，,标量积。,有正、负之分。,7,例1 一物体按规律 在媒质中 作直线运动，式中 为常数， 为时间。 设媒质对物体的阻力正比于速率的平方， 阻力系数为 ，试求物体由

3、 运 动到 时，阻力所作的功。,解：,8,例2（ ）有一倔强系数为 的轻弹簧，原 长为 ，将它吊在天花板上。当它下端 挂一托盘平衡时，其长度变为 。然后 在托盘中放一重物，弹簧长度变为 。 则由 伸长至 的过程中，弹性力所 做的功 A=？,解：,9,例3（ ）一质点在如图所示的坐标平面 内作圆周运动，有一力 作用在质点上。在该质点从坐标原点运 动到 位置过程中，力对它所做 的功为多少？,10,4.2 动能定理（kinetic energy theorem）, 对质点，由牛顿第二定律，有动能定理：, 动能,（对惯性系）, 对质点系，有动能定理：,（各质点位移不一定相同）。,注意：,内力虽成对出现

4、，,但内力功的和不一定,为零,11,例4（ ）试就质点受变力作用而且做一般 曲线运动的情况推导质点的动能定理。并 说明定理的物理意义。,推导：,方法一：书 P181182,方法二：,12,物理意义：合外力对质点所做的功等于质点 动能的增量,13,例5（ ）一质点在二恒力作用下，位移为: ,在此过程中，动能增量为24J，已知其中一恒力 则另一恒力所作的功 = ？,解：,14,4.3 一对力的功,一. 一对力：,：m2相对m1 的,分别作用在两个物体上的大小相等、,它们通常是作用力与反作用力，,但也可不是。,元位移。,方向相反的力。,二. 一对力的功,15,(1)表示初位形，即 m1在A1，m2在

5、A2；,(2)表示末位形，即 m1在B1，m2在B2 。,况下，,1.W对 与参考系选取无关。,说明：,2.一对滑动摩擦力的功恒小于零。,（摩擦生热是一对滑动摩擦力作功的结果）,3.在无相对位移或相对位移与一对力垂直的情,一对力的功必为零。,16,例如：,17,4.4 保守力（conservative force）,一. 定义,这样的力称为保守力。,若 为保守力，,如果一对力的功与相对移动的路径无关，,而只决定于相互作用物体的始末相对位置，,则：,（此式也可作为保守力的定义）,18,二. 几种保守力,1.万有引力,任何中心力 都是保守力。,19,2. 弹力,一维运动时,x 对自然长度的增加量，

6、 k 弹簧的劲度（stiffness）。,3. 重力,重力并不是地球表面附近的万有引力。,三. 非保守力 作功与路径有关的力称为非保守力。 例如： 摩擦力（耗散力）： 一对滑动摩擦力作功恒为负； 爆炸力：作功为正。,20,4.5 势能（potential energy）,利用保守力的功与路径无关的特点，可引入,一. 系统的势能 Ep,其势能的减少(增量的负值)等于保守内力的功。,若规定系统在位形（0）的势能为零， 则：,“势能” 的概念。,定义：,系统由位形(1)变到位形(2)的过程中，,21,说明：,零点的选择与参考系的选择相混淆。,二. 几种势能,1.万有引力势能,令,有,则 C = 0，

7、,1.势能属于相互作用的系统；,2.势能不依赖于参考系的选择，,不要将势能,22,2.重力势能,令,3.弹性势能,令,有,有,23,4.6 由势能求保守力,一. 由势能函数求保守力,所以有：,24,通常 EP 可以是几个坐标的函数，,若,则有：, EP 的梯度（gradient）,此时有：,25,二 . 由势能曲线求保守力,例：双原子分子势能曲线,是引力。,是斥力。,则有,26,4.7 功能原理，机械能守恒定律,一. 功能原理（work-energy theorem）,对质点系有：,引入系统的机械能,（积分形式）,（微分形式）,27,二. 机械能守恒定律 （ law of conservati

8、on of mechanical energy）,在只有保守内力作功时，系统的机械能不变。,即, 机械能守恒定律,显然，孤立的保守系统机械能守恒。,即,28,三. 普遍的能量守恒定律,如果考虑各种物理现象，计及各种能量， 则 一个孤立系统不管经历何种变化， 系统所有能量的总和保持不变。 普遍的能量守恒定律,机械运动范围内的体现。,机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在,保守内力作功是系统势能与动能相互转化,的手段和度量。,29,四.守恒定律联合应用举例,例1,已知：m = 0.2kg， M=2kg， v = 4.9m/s 。,求：hmax = ?,解：,m + M + 地球：,W外= 0，W内非

9、 = 0 ，,当 h= h max 时，M 与 m有相同的水平速度 。,取地面 Ep = 0，有：,故机械能守恒。,30,分析结果的合理性：, 量纲对。,代入数据：,正确。,m + M：,水平方向F外= 0，故水平方向动量守恒,mv =（m+M）V,(2),31, 4.9 碰撞（Collision）（书4.11节）,碰撞）等规律对问题求解。,碰撞过程一般都十分复杂，难于对过程的,细节进行分析。,但是通常我们只关心物体在,碰撞前后运动状态的变化，,而在碰撞中相对于,内力（往往是冲击力）来说，,外力又往往可以,忽略。,因而碰撞中我们就可以利用动量守恒、,角动量守恒,和碰撞前后总动能不变（对弹性,书

10、上的例题要认真阅读。,32,例6（ ）半径为R、质量为M、表面光滑 的半球，放在光滑的水平面上，在其正 上方放置一质量为m的小滑块，当小滑 块从顶端无初速地下滑，在如图所示的 角位置处，开始脱离半球，试求： （1） 角满足的关系式 （2）分别讨论 和 时 的取值,33,（1） 角满足的关系式,解：,当m脱离M时， ，,M所受合外力,M的加速度,选M为参照系， 为m相对于M的速度.,34,（m+M）水平方向动量守恒：,(m+M+地球)机械能守恒,35,36, 结果：,（1）,（2）,（舍掉）,即：M一下滑出，m竖直落地,当：,当：,37,例7（ ）一质量为m的小球从内壁为半球形的 容器边缘无摩擦

11、地滑下，容器质量为M，内 壁半径为R，放在光滑的水平面上，如图所 示。开始小球与容器都处于静止状态，有人 为了求出小球自容器边缘B滑至底部A处时， 容器对小球的作用力，列出了如下方程,38,式中 和 分别为小球到达A处时小球和容器对地的速度。试指出上述方程中哪个是错的，错在何处？说明原因并改正之。, 第一式错。,因为小球沿球形内壁滑下时，它相对于容器作圆周运动，由于小球下滑，容器同时在桌面上滑动，小球相对桌面作曲线运动，轨迹不是圆周。此人列的第一式中的R应是小球的轨迹在A点时的曲率半径，而不是圆的半径R，此式错了。,39, 正确解法是：,选容器为参照系，小球相对容器作圆周运动，在小球落至A处这一时刻，容器无竖直方向（法向）加速度，竖直方向惯性力等于零。因此,40,练习（ ）如图所示，一个质量为M=4kg 表面光滑的圆弧形凹槽，半径R=0.2m， 静止放在光滑的水平地面上。槽的A端 与圆弧中心O在同一水平面上，B端和 O的连线与竖直线夹角为 ，有 一质量为m=1kg的小滑块自A端从静止 开始沿槽面下滑，求：滑块由B端滑出 时，槽相对地面的速度。,41,42,练习（）解答,设凹槽对地速度为V1向右，小滑块相对凹槽速度为V2 ,相对地速度为V2。,43,4