数值分析试题与答案

1、一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A4和3 B3和2 C3和4 D4和42. 已知求积公式，则（ ）A B C D3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（ ） A0， B 0， C1， D 1，4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A超线性 B平方 C线性 D三次5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A B C D 单项选择题答案1.A2.D3.D4.C5.B得 分评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设, 则 ， .2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数，

2、那么 4. 因为方程在区间上满足 ，所以在区间内有根。5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式 .填空题答案 1. 9和 2. 3. 4. 5. 得 分评卷人 三、计算题（每题15分，共60分）1. 已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值.计算题1.答案 1. 解 ， ，所以分段线性插值函数为 2. 已知线性方程组（1） 写出雅可比迭代公式、高斯塞德尔迭代公式；（2） 对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）.计算题2.答案 1.解 原方程组同解变形为雅可比迭代公式为高斯塞德尔迭代法公式用雅可比迭代公式得用高斯塞德尔迭代公式得3. 用

3、牛顿法求方程在之间的近似根（1）请指出为什么初值应取2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.计算题3.答案 3. 解 ， ，故取作初始值迭代公式为， ， 方程的根 4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分.计算题4.答案 4 解 梯形公式 应用梯形公式得 辛卜生公式为 应用辛卜生公式得 得 分评卷人 四、证明题（本题10分）确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度证明题答案 证明：求积公式中含有三个待定系数，即，将分别代入求积公式，并令其左右相等，得 得，。所求公式至少有两次代数精确度。又由于 故具有三次代数精确度。一、 填空（共20分，每题

4、2分）1. 设 ，取5位有效数字，则所得的近似值x= .2.设一阶差商 ， 则二阶差商 3. 设, 则 ， 。4求方程 的近似根，用迭代公式 ，取初始值 ， 那么 5解初始值问题 近似解的梯形公式是 6、 ，则A的谱半径 。 7、设 ，则 和 。 8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 。9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为 。10、为了使计算的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成 。 填空题答案1、2.31502、3、6 和 4、1.55、6、7、 8、 收敛 9、10、二、计算题 （共75 分，每题15分

5、）1设 （1）试求 在 上的三次Hermite插值多项式使满足 以升幂形式给出。（2）写出余项 的表达式计算题1.答案 1、（1） （2） 2已知 的 满足 ，试问如何利用 构造一个收敛的简单迭代函数 ，使 0，1收敛？计算题2.答案 2、由 ，可得 ， 3 试确定常数A，B，C和 a，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？计算题3.答案 3、 ，该数值求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的 4 推导常微分方程的初值问题 的数值解公式：（提示： 利用Simpson求积公式。）计算题4.答案 4、 数值积分方法构造该数值解公式

6、：对方程 在区间 上积分，得，记步长为h, 对积分 用Simpson求积公式得 所以得数值解公式： 5利用矩阵的LU分解法解方程 组 计算题5.答案 5、解：三、证明题 （5分）1设 ，证明解 的Newton迭代公式是线性收敛的。证明题答案 1、一、填空题（20分）(1).设是真值的近似值，则有 位有效数字。(2). 对, 差商( )。(3). 设, 则 。(4).牛顿柯特斯求积公式的系数和 。 填空题答案（1）3 （2）1 （3）7 （4）1二、计算题1).（15分）用二次拉格朗日插值多项式的值。插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。计算

7、题1.答案 1）2).（15分）用二分法求方程区间内的一个根，误差限。计算题2.答案 2) 3).（15分）用高斯-塞德尔方法解方程组 ，取，迭代三次(要求按五位有效数字计算).。计算题3.答案 3）迭代公式 4).（15分）求系数。计算题4.答案 4）5). (10分)对方程组 试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由计算题5.答案 5) 解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优 故对应的高斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为取,经7步迭代可得：.三、简答题1)（5分）在你学过的线性方程组的解法中, 你最喜欢那一种方法,为什么?2)（5分）先叙述Gauss求积公式, 再阐述为什么要引入它

8、。一、填空题（20分）1. 若a=2.42315是2.42247的近似值，则a有( )位有效数字.2. 是以为插值节点的Lagrange插值基函数，则 ( ).3. 设f (x)可微，则求方程的牛顿迭代格式是( ).4. 迭代公式收敛的充要条件是 。5. 解线性方程组Ax=b (其中A非奇异，b不为0) 的迭代格式中的B称为( ). 给定方程组，解此方程组的雅可比迭代格式为( )。填空题答案132.3.4. 5.迭代矩阵， 得 分评卷人 二、判断题（共10分）1. 若，则在内一定有根。 ( )2. 区间a,b上的三次样条函数是一个次数不超过三次的多项式。 ( )3. 若方阵A的谱半径，则解方程

9、组Ax=b 的Jacobi迭代法收敛。 ( )4. 若f (x)与g (x) 都是n次多项式，且在n+1个互异点上，则 。 ( )5. 用近似表示产生舍入误差。 ( )判断题答案 1. 2. 3. 4. 5.得 分评卷人 三、计算题（70分）1. （10分）已知f (0)1，f (3)2.4，f (4)5.2，求过这三点的二次插值基函数l1(x)=( )，=( ), 插值多项式P2(x)=( ), 用三点式求得( ).计算题1.答案 12. （15分） 已知一元方程。1）求方程的一个含正根的区间；2）给出在有根区间收敛的简单迭代法公式(判断收敛性)；3）给出在有根区间的Newton迭代法公式。

10、计算题2.答案 2.（1）（2）（3）3. （15分）确定求积公式 的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代数精度.计算题3.答案 4. （15分）设初值问题 .(1) 写出用Euler方法、步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式；(2) 写出用改进的Euler法（梯形法）、步长h=0.2解上述初值问题数值解的公式，并求解，保留两位小数。计算题4.答案 4.5. （15分）取节点，求函数在区间上的二次插值多项式，并估计误差。计算题5.答案 5 =1+2( ， 一、填空题( 每题4分，共20分)1、数值计算中主要研究的误差有 和 。2、设是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则 ； 。3、设

11、是区间上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为 ；插值型求积公式中求积系数 ；且 。4、辛普生求积公式具有 次代数精度，其余项表达式为 。5、则。填空题答案1.相对误差 绝对误差 2. 13. 至少是n b-a 4. 3 5. 1 0二、计算题1、已知函数的相关数据由牛顿插值公式求三次插值多项式，并计算的近似值。计算题1.答案 解：差商表由牛顿插值公式：2、（10分）利用尤拉公式求解初值问题，其中步长，。计算题2.答案 解：3、（15分）确定求积公式。中待定参数的值，使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度。计算题3.答案 解：分别将，代入求积公式，可得。令时求积公式成