数实验03.ppt

1、机动下页开门结束，数学实验，数学实验，建立第三章微分方程，周寅亮，机动前页开门结束，数学实验，3.1序言，实验目的，求1微分方程的三种解法：解析法，数值解法，求2微分方程的数值解的4微分方程的模型和分析问题，如何建立龙格理解用MATLAB软件求出解析解、数值解和图形解。 库塔方法的思想，机动前页的下一页结束符。 数学实验，3.2引例：引例13360墙上的刻度问题，d，V=D2x/4 (D为常数)，o，x，坐标系图，刻度：葫芦形状容器，直径函数D(x )， 了解放射性废弃物的处理问题，让放射性废弃物收缩。他们把废弃物放入密封性能好的圆桶里，扔到水深300英尺的海里。这种做法是否可行，会引起放射性

2、污染，自然引起生态学家和社会各界的关注原子能委员会反复保证，圆桶非常大，但是一部分工程师怀疑桶在海底碰撞时有可能破裂。 由此双方展开了笔墨诉讼。 到底谁的意见对？ 只好说事实！ 自动前页翻到下一页结束，数学实验，问题的关键是桶能承受多少速度的碰撞，1 .问题分析，桶和海底碰撞时的速度是多少，工程师们进行了大量的破坏性实验，桶是直线的，速度是40 ft/s的碰撞(1)使用55加仑的滚筒，(1加仑=3.7854升)，2 .问题是，(2)满足放射性废弃物时的滚筒重量为，W=527.436磅(1磅=0.4526公斤)，修正测量的： C=0.08 . o，自动前页末页，数学实验，坐标系图制作，海面坐标原

3、点，y轴垂直向下，y，3 .模型制作，根据牛顿第二定律f自动前页末页，数学实验，4 .求解模型，得出： 由于v=45.1 ft/s，显然是v 40 ft/s .所以鼓一碰撞就破裂，n次微分方程式的一般形式：默认： F(x，y，y(n) )=0，f (x，y(x )，y (x ) )=0，3.4微分方程式的求解方法，例如求解析解，2 .求解不能解的类型或复杂的方程式数值解或图形解，用例子2:放射性废弃物的处理问题，(1)欧拉法，(3)改良欧拉法机动前页翻页结束，数学实验，3.5matlab软件求解，1 .求解析解自动翻到前一页的下一页结束，数学实验，例1 .输入： y=d solve (dy=1

4、y2) y1=d solve (dy=1y 2，y(0)=1自动翻到前一页的下一页结束，数学实验，例2 .常数系数的二次微分方程式，y=。 y=dsolve(d2y-2，自动转到前一页的下一页结束，有数学实验，x=dsolve(Dx)2 x2=1，x(0)=0)，例3 .非线性微分方程式，x=sin(t)-即eval(x )，输入：要求的数值解x(0)=0，y(0)=1)，例4 .求解微分方程式的组，输出：x=exp(3*t)*(cos(4*t)*cos (解)，(特解)，转到自动前页的下一页结束，数学实验，例5 .非常系数的二次微分方程式，x=d solve (d 2 对于一阶常微分方程式的

5、数值问题，使自变量离散化，导入自变量点序列xn，在x0 x1 x2 xn求y(xn )的近似值yn .通常取等步h、即xn=x0 nh或xn=xn-1 h的欧拉法(微分方程式y=f (x，y ) ) 对xn 1使用差商(近似)代替微商(近似)的yn 1 yn h f (xn，yn ) (近似式)，特征：从yn向前修正yn 1的数值，向后欧拉算法式：yn 1 yn h f (xn 1，yn 1)，特征：该式暗精确的解，解：先求解析解，与行相比，误差有多少？ 输入3360 y=d求解(dy=-y x 1，y(0)=1，x )，并且输出： y=x exp(-x )，即，分析结果是：y=xe。 y)=

6、-y x 1，前向欧拉算法反复式，yn 1 yn h(-yn xn 1)，=(1-h) yn h xn h，后向欧拉算法反复式，yn1ynh(-yn1xn1)，y1(1)=1； y2(1)=1； h=0.1； 一个(k1)=x1(k ) h=1:10 x1(k1)。 y1(k 1)=(1-h)*y1(k) h*x1(k) h y2(k 1)=(y2(k) h*x1(k 1) h)/(1 h )。 end x1、y1、y2、%y1前向欧拉解析、y2后向欧拉解析x=0:0.1:1； 解析解plot(x，y，x1，y1，k3360，x1，y2)， r- )输入以下步骤： (步骤h=)，自动上页下页翻

7、页结束、数学实验、图表显示、后向欧拉法、前向欧拉法、曲线y=x e-x、精密解、近似解、近似解、自动上页下页翻页结束、数学方程式y=f (x， 从y )的两侧，从梯形式：xi到xi 1进行积分，利用梯形式，自动前页的下一页结束，数学实验，梯形式，得到改良欧拉式：求出yn 1，例6 .y (1)的值.用该公式编辑程序(略)进行修正、自动上页翻页结束、数学实验、步骤h=0.1的数值解比较表、用改良的欧拉式进行修正的结果，精度比欧拉法高，基于自动上页翻页结束、数学实验、改良的欧拉法，用二次欧拉式展开f (x，y )，正整数，h为k的值越大，数值修正公式的精度越高。 欧拉法是一次式，改进的欧拉法是二次

8、式。 龙格-库塔法有二次式和四次式两种。 线性多阶段法有四阶亚当斯外推公式和内插公式。 机动前页下一页翻页结束，数学实验，t，x=solver(f，ts，x0，options )，ode23 :组合的2/3次龙格-后者算法ode45 : 机动前页的下一页结束了，数学实验，解.首先创建函数m文件(f Shiyan3_7. m ) function f=f Shiyan3_7(x，y) f=-y x 1。 例如，输入y=-y x 1、y(0)=1，用龙格-库塔法求出y(1)的值，然后输入程序：x、y=ode23(fshiyan3)。 绘图模式(x exp (-x )，0， 1)%与精确解进行比较，

9、机动前页的下一页结束，数学实验，输出： y(1)=1.3679与精确解一致.在数学实验中，在使用Matlab软件求出数值解时，高次微分方程式必须等效地变换成一次微分方程式的集合在假设y1=x(t )、y2=x (t )的数学实验中，求解3360得到输入3360、y=d求解(dy1=y 2、Dy2=(1-y12)*y2-y1、y1(0)=3、y2(0)的yp=。 (1-y(1)2)*y(2)-y(1)。 然后创建以下：并求出数值解：清除t、y=ode23(fshiyan3_9、0、20、3、0 )。 y1=y (:1 ):%原方程式的解x (t ) y2=y (:2，2 )； 绘图(t，y1，t，y2，r-) %y1(t )，y2(t )图形绘图(y1，y2)，栅格%相轨迹图。 机动前页下一页翻页结束，数学实验，机动前页下一页翻页结束，数学实验，例如求解Lorenz方程式，其中残奥仪=8/3，=10，=28，解：先求函数m文件(文件名3360fshiii 0，- 10，10； -x(2)、28、-1*x；三行三列的函数矩阵、三维列向量、自动前页下页翻页结束、数学实验，然后输入以下程序求出数值解，描绘三维相位平面轨道图。 t，x=ode45 (f Shiyan3_ 10，0，10，x0)。 plot(t，x (:1 )，-，t，x (:2 )