第五章 和差 倍数问.ppt

1、第五章 和差 倍数问题,一、和差问题 二、和倍、差倍问题 三、年龄问题,第一节 和差问题,问题5.1.1 84，48，？ 问题5.1.2 两质数之和是28、之差是6，这两质数各是多少？ 问题5.1.3 某日，白天比黑夜长6小时，问这一天白天、黑夜各有几小时？,这三个题目中数量关系的共同特征是 :已知两个数的和与差，求这两个数. 类似这样的数学问题，称“和差问题” 和差问题的基本数量关系式如下： (和差)2大数 (和差)2小数,问题5.1.4 分数单位相同的甲、乙两数，相加结果为1，甲数比乙数多一个单位1/3，这两个分数各是多少？,问题5.1.5将等高不等底的两直角梯形纸板，粘接成(无重叠部分)

2、一块长5分米、宽3分米的长方形纸板.已知小梯形纸板上下底的和比大梯形上下底的和少4分米，大、小梯形两纸板面积分别是多少平方分米？ 分析 :据条件知大、小两梯形上下底和的差，大、小两梯形上下底和的“和”，即为长方形的2个长，从而可分别求出大、小两梯形上、下底的和；大、小两梯形的高，就是长方形的宽.,问题5.1.6 小李和小王共储蓄2000元，如果小李借给小王200元，两人储蓄的钱恰好相等，问两人各储蓄多少元？ 问题5.1.7 有1元和5元的人民币共17张，合计49元，两种面值的人民币各有多少张？ 分析:假设17张人民币全是5元的，总钱数则为51785(元)，比实际的49元多出854936(元).

3、多的原因是把1元的人民币假设为5元的人民币了.用数量关系式表示为：,根据这一数量关系式,可先求出1元人民币的张数:(51749) (5 1)=364=9(张) 于是可得5元人民币张数:17 9=8(张) 也可以假设17张人民币全是1元的，便可有另一解法: (49117)(51) = 8(张) 问题5.1.6与问题5.1.7的数量关系及其解答方法有什么异同? 都属和差问题,但问题5.1.6中已知或未知的数量是同类量，可运用和差问题的数量关系式求解；而问题5.1.7含三种有联系的不同类量(票面值、总值、钱的张数)，且所求两数的差难以确定，解答时须通过假设分析法(从假定的条件入手分析题意)，将和差问

4、题转化为“两个差问题”(利用两个相关联的差求未知数)求解.,问题5.1.8 100名师生参加植树，老师每人栽3棵，学生每2人栽1棵，总共植树100棵.问老师和学生各有多少人？ 提示：可假设老师每人植树的棵树与学生同样多(学生每2人植一棵.即每人植120.5棵)，或假设学生每人植树与老师每人植树同样多.,问题5.1.9 两缸金鱼共46尾，若甲缸再放入5尾，乙缸取出2尾，这时乙缸仍比甲缸多3尾，甲、乙两缸原有金鱼多少尾？ 分析：这题的数量关系比较复杂，可先画线段图(图111)，使其数量关系明朗化.,解法1：46+（5+2+3） 2 =（46+10）2=56 2=28（尾） 462818(尾). 答

5、：甲缸原有金鱼18尾，乙缸原有28尾.,解法2 ：原题告诉甲、乙两缸放入或取出金鱼后，乙缸仍比甲缸多3尾.现在知放入或取出后，两缸金鱼尾数之和及相差数. (1)甲缸放入5尾后金鱼的尾数： (4652)3223(尾). (2)甲缸原有金鱼的尾数： 23518(尾). (3)乙缸原有金鱼的尾数：233228(尾).,第二节 和倍、差倍问题,问题5.2.1 小华和小瓜分别栽花和种瓜，一共88棵，小华栽花的棵数是小瓜种瓜棵数的3倍.小华栽了多少花？小瓜种了多少瓜？ 类似问题5.2.1，已知几个数的和，及相互间的倍数关系，分别求这几个数的问题称为和倍问题.,问题5.2.2 一篮苹果比一篮梨少21个，梨的

6、数量是苹果的4倍.苹果和梨各多少个？ 类似问题5.2.2，已知几个数的差，及相互间的倍数关系.分别求这几个数的问题称为差倍问题.,解答基本的(只含两数间关系)和倍、差倍问题，先确定其中一数(通常定较小数比较方便)作为标准数(1倍数)，再找出两数的和(或差)，及与其相对应的倍数关系，这样就可以求出这个标准数，随之即可求出另一数(较大数).,对应关系： 较小数？1倍， 较大数？几倍， (和) (和) 两数倍数 (差) (差),数量关系式：,较小数倍数较大数， 或者:,问题5.2.1,对应关系： 种瓜的棵数？1倍 栽花的棵数？3倍 棵数和88棵(31)倍,解： 88(31)22(棵) 22366(棵

7、). 答：小华栽花66棵，小瓜种瓜22棵.,问题5.2.2,对应关系： 苹果的数量？1倍 梨的数量？4倍 数量差21个(41)倍,解： 21(41)7(个)， 7428(个). 答：一篮苹果7个，一篮梨28个.,1.变换表述语,问题5.2.3 甲数是乙数的10倍，两数相差72，求这两数. 问题5.2.4 大数比小数多72，把大数个位上的0去掉，则与小数同样多，大、小数各是多少？ 问题5.2.5 一个数的小数点向左移动一位，比原数小72，原数是多少？,2.隐蔽性表述,问题5.2.6 两数相除，商3余4；被除数、除数、商及余数的和是43.求被除数和除数. 提示：根据被除数除数四数之和(商余数)这一

8、关系式，你知道：被除数与除数的和是多少？两数间的倍数关系是多少？ 问题5.2.7 在一个等腰三角形中，顶角的度数是一个底角的2倍，顶角和底角各多少度？,3.增加情节,问题5.2.8大、小两数之差为45，大数的1/3等于小数的1/2，求这两个数。 问题5.2.9 一个体育队，男队员的1/3与女队员的1/2相等，男队员比女队员多45人。男、女队员各多少人？,解：45(32)45(人)， 45290(人)， 453135(人). 答：男队员有135人，女队员有90人.,4.变换情节,问题5.2.10 一块长方形的地，长是宽的2倍，周长是108米，它的面积是多少平方米？ 问题5.2.11 两个物体的平

9、均重量是27千克，甲物体重量是乙物体重量的2倍，两物体各重多少千克？ 问题5.2.12 修一条1.08千米长的隧道，甲、乙两队同时从两头向中间开凿，20天开通，甲队每天凿进的米数是乙队的2倍，甲、乙两队每天各开凿多少米？,观察与思考： 以上三道题的数量关系是否一样？，仅“和”间接告诉而已.各是多少?为什么? 以上三道题的变化是什么？ 数量关系一致，只是题目内容运用的数学知识点不同.,5.扩展情节,问题5.2.13 甲水池有水100立方米，乙水池有水20立方米.现在以每分钟15立方米的速度，把甲池的水抽入乙水池，使乙水池水的体积是甲池水的2倍，需抽多少分钟 引导思考： 说出该题综合算式每步的意义

10、： (10020)(21)22015,6.增加数量关系,问题5.2.14 今年爸爸的年龄是小强的5倍，爷爷的年龄比小强多9倍，比爸爸大35岁.小强今年几岁？ 分析：该题虽然含三数间的数量关系，但仍可以小强的年龄为1倍数.题中已告诉两数间相差数，关键是找出与其对应的倍数差：爸爸的年龄是小强的5倍，爷爷的年龄是小强的(91)倍.那么可知，爷爷的年龄比爸爸多(91)5倍.,第三节 年龄问题,每个人都有年龄，年龄里面包含着许许多多有趣的数学问题，有的问题不是那么容易解决，确实还要好好动一番脑筋.现在我们来看一下几个简单的问题： 1.小明的爸爸去年比小明大25岁，明年小明的爸爸比小明大几岁？ 2.今年陈

11、老师的年龄是王芳的2倍，明年陈老师的年龄还是王芳的2倍吗？ 3.前年红红和姐姐的年龄加起来正好30岁，今年红红和姐姐的年龄之和为多少岁？,这三个问题也是关于年龄问题的三个基本问题，它告诉我们以下规律： (1)两人年龄的差是不变的量； (2)两个年龄的倍数关系是变化的量； (3)每个人的年龄随着时间的增加都增加相等的量.,问题5.3.1父亲年龄是女儿的4倍，三年前父女年龄之和是49岁，问父女现在各为多少岁？ 分析：因为三年前父女年龄之和为49岁,因此今年父女年龄之和就应为 493255(岁). 又因为今年父亲的年龄是女儿的4倍，所以女儿的年龄应为55(4l)11(岁). 父亲年龄为 11444(

12、岁).,问题5.3.2一家三口人，三人年龄之和是74岁，妈妈比爸爸小2岁，妈妈的年龄是儿子的4倍，问三人各是多少岁？ 分析：假设爸爸同妈妈年龄一样大.那么爸爸年龄也是儿子的4倍，这时全家年龄之和为：74272(岁). 儿子年龄为： 72(441)8(岁). 妈妈年龄为： 8432(岁). 爸爸实际年龄为： 32234(岁).,问题5.3.3已知祖孙三人，祖父和父亲年龄的差与父亲和孙子年龄的差相同，祖父和孙子年龄之和为82岁，明年祖父年龄恰好等于孙子年龄的5倍，求祖孙三人各多少岁。 分析：因祖父与父亲年龄的差等于父亲和孙子年龄的差，我们作一示意图(图131).,已知祖父和孙子年龄之和为82岁，由

13、图中容易看出，祖父和孙子年龄之和恰为父亲年龄的2倍，所以父亲年龄为：822=41(岁). 又因为明年祖父年龄恰好等于孙子的5倍，而明年祖父和孙子年龄的和为82+2=84(岁)，所以，明年孙子年龄为：84(5+1)=14(岁). 明年祖父年龄为： 145= 70(岁). 因此今年祖父69岁，孙子13岁.,问题5.3.4 王军父亲的年龄是王军的3倍，12年后王军的年龄是父亲的一半，问现在王军和他父亲各是多少岁？ 分析：一般，甲的年龄是乙的a倍，那么n年后甲的年龄是乙的a倍少n(a-1)岁. 题目条件是王军父亲现在年龄是王军的3倍，那么12年后，王军父亲和王军年龄都增加了12岁，因此王军父亲年龄不再是王军的3倍了.由此可见12年后王军父亲年龄是王军的3倍少12(3-1)=24岁.又由已知条件12年后王军父亲是王军年龄的2倍，说明24岁就相当于