图象变换基础.ppt

1、第5章 图象变换基础,为了有效和快速地对图象进行处理，常常 需要将原定义在图象空间的图象以某种形式转换到另外一些空间，并利用在这些空间的特有性质方便地进行一定的加工，最后再转换回图象空间以得到所需的效果。这些转换方法就是本章要着重介绍和讨论的图象变换技术 变换是双向的，或者说需要双向的变换。在图象处理中，一般将从图象空间向其他空间的变换称为正变换，而将从其他空间向图象空间的变换称为反变换或逆变换,第5章 图象变换基础,5.1可分离和正交图象变换 5.2傅里叶变换 5.3沃尔什/哈达玛变换 5.4离散余弦变换 5.5Radon变换,5.1 可分离和正交图象变换,1-D可分离变换 正变换 反变换,

2、正向变换核,反向变换核,5.1 可分离和正交图象变换,2-D可分离变换 （傅里叶变换是一个例子）,反向变换核,正向变换核,变换核与 原始函数及 变换后函数无关,可分离 1个2-D变换分成2个1-D变换 对称 (h1与h2的函数形式一样),5.1 可分离和正交图象变换,可分离且对称,图象矩阵,对称变换矩阵,反变换矩阵,变换结果,5.1 可分离和正交图象变换,反变换,正交 考虑变换矩阵： 酉矩阵（*代表共轭 ）： 如果A为实矩阵，且： 则A为正交矩阵， 式(5.1.3)和式(5.1.4)构成正交变换对,5.1 可分离和正交图象变换,5.2傅里叶变换,5.2.1 2-D傅里叶变换 5.2.2 傅里叶

3、变换定理 5.2.3 快速傅里叶变换,傅里叶生平,1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示” 1829年狄里赫利第一个给出收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表在“热的分析理论” 一书中,5.2.1 1-D傅里叶变换回顾,1-D正变换 对1个连续函数 f (x) 等间隔采样,5.2.1 1-D傅里叶变换回顾,1-D反变换 变换表达 频谱（幅度） 相位角,5.2.1 1-D傅里叶变换回顾,5.2.1 1-D傅里叶变换回顾,5.2.1 1-D傅里叶变换回顾,5.2.1 1-D傅里叶变换回顾,5.2.1 1-D傅里叶变换回顾,5.2.1 1-D傅里叶变换回顾,5

4、.2.1 1-D傅里叶变换回顾,5.2.1 1-D傅里叶变换回顾,5.2.1 1-D傅里叶变换回顾,5.2.1 1-D傅里叶变换回顾,5.2.1 1-D傅里叶变换回顾,5.2.1 1-D傅里叶变换回顾,5.2.1 1-D傅里叶变换回顾,5.2.1 1-D傅里叶变换回顾,5.2.1 1-D傅里叶变换回顾,5.2.1 1-D傅里叶变换回顾,5.2.1 1-D傅里叶变换回顾,5.2.1 1-D傅里叶变换回顾,5.2.1 1-D傅里叶变换回顾,5.2.1 1-D傅里叶变换回顾,5.2.1 1-D傅里叶变换回顾,5.2.1 1-D傅里叶变换回顾,5.2.1 1-D傅里叶变换回顾,5.2.1 1-D傅里叶

5、变换回顾,5.2.1 1-D傅里叶变换回顾,5.2.1 1-D傅里叶变换回顾,5.2.1 1-D傅里叶变换回顾,5.2.1 1-D傅里叶变换回顾,5.2.1 1-D傅里叶变换回顾,5.2.1 1-D傅里叶变换回顾,5.2.1 1-D傅里叶变换回顾,5.2.1 2-D傅里叶变换,变换对公式 频谱（幅度） 相位角 功率谱,5.2.1 2-D傅里叶变换,2-D离散函数的平均值,5.2.2 傅里叶变换定理,2-D图像函数和傅里叶频谱的显示,5.2.2 傅里叶变换定理,灰度图像和它的傅里叶频谱,5.2.2 傅里叶变换定理,分离性质 正反傅里叶变换都是可分离变量和对称的 1次2-D 2次1-D O(N 4

6、)减为O(N 2),1、平移定理 f(x,y)的平移不影响其傅里叶变换的幅值,5.2.2 傅里叶变换定理,f在空间平移相当于把其变换在频域与一个指数项相乘,f在空间与一个指数项相乘相当于把其变换在频域平移,2、旋转定理 f(x,y)旋转q0对应于将其傅里叶变换F(u,v)也旋转q0； F(u,v)旋转q0对应于将其傅里叶反变换f(x,y)也旋转q0。,5.2.2 傅里叶变换定理,2、旋转定理,5.2.2 傅里叶变换定理,3、尺寸定理 f(x,y)在幅度方面的尺寸变换导致对其傅里叶变换F(u,v)在幅度方面的对应尺度变换；对 f(x,y) 在空间尺度方面的放缩则导致对其傅里叶变换F(u,v)在频

7、域尺度方面的相反放缩。,5.2.2 傅里叶变换定理,3、尺寸定理,5.2.2 傅里叶变换定理,4、剪切定理 （水平方向）纯剪切 （垂直方向）纯剪切,5.2.2 傅里叶变换定理,对f(x,y)的纯剪会导致在UV平面的失真也是纯剪切，但处在正交的方向上,5、组合剪切定理 平移旋转尺度 水平剪切 垂直剪切,5.2.2 傅里叶变换定理,5、组合剪切定理,5.2.2 傅里叶变换定理,6、仿射定理 u = (eu dv)/D和v = ( bu + av)/D,5.2.2 傅里叶变换定理,7、卷积定理 2-D,5.2.2 傅里叶变换定理,8、相关定理 互相关：f (x) g(x) 自相关：f (x) = g

8、(x) 2-D,5.2.2 傅里叶变换定理,卷积与相关的区别 卷积：函数g(z) 沿g(z)轴对折得到g(-z ) ，将g(-z)平移x得到g(x-z)。对任意x，将f(z)和g(x-z)相乘积分得到 f (x)和 g(x) 的卷积。 相关：函数g(z)不需要沿g(z)轴对折，只需将g(z)平移x得到g(z+x)。对任意x，将f(z)的复共轭和g(z+x)相乘积分得到 f (x)和 g(x) 的相关结果。,5.2.2 傅里叶变换定理,5.2.3 快速傅里叶变换,直接进行一个N N的2-D傅里叶变换需要N4次复数乘法运算和N2(N2 1) 次复数加法运算 1-D：复数乘法和加法的次数都正比于N2

9、 快速傅里叶变换（FFT）： 将复数乘法和加法的次数减少为正比于N log2N 逐次加倍法：复数乘法次数由N2减少为(N log2 N)/2 复数加法次数由N2减少为N log2 N,5.3沃尔什/哈达玛变换,5.3.1 沃尔什变换 5.3.2 哈达玛变换 5.3.3 关于两种变换的讨论 沃尔什和哈达码变换都是可分离和正交变换,5.3.1 沃尔什变换,正变换核 N = 2n bk(z)： z 的二进制表达中的第 k 位 如 n = 3 对 z = 6（1102） 有 b0(z) = 0，b1(z) = 1，b2(z) = 1 对 z = 2（0102） 有 b0(z) = 0，b1(z) =

10、1，b2(z) = 0,5.3.1 沃尔什变换,二进制与十进制的转换 二进制转十进制：从右到左用二进制的每个数去乘以2的相应次方 1101（2）=1*20+0*21+1*22+1*23=1+0+4+8=13 十进制转二进制：用2辗转相除至结果为1；将余数和最后的1从下向上倒序写 就是结果 13/2=6 余1 6/2=3 余0 3/2=1 余1 1/2=0 余1 13的二进制为1101（2）,5.3.1 沃尔什变换,正变换 变换核组成的矩阵是一个对称矩阵 并且其行和列正交（反变换核与 正变换核只差1个常数1/N） 反变换核 反变换,反变换核与正变换核只差1个常数1/N，用于正变换的算法也适用于反

11、变换。,5.3.1 沃尔什变换,正变换核 N = 2n 对 z = 6（1102） 有 b0(z) = 0，b1(z) = 1，b2(z) = 1,5.3.1 沃尔什变换,N=2,4,8时的b值,5.3.1 沃尔什变换,N=2,4,8时的b值,5.3.1 沃尔什变换,N=2,4,8时的b值,5.3.1 沃尔什变换,N=2,4,8时的沃尔什变换核,5.3.1 沃尔什变换,N=2,4,8时的沃尔什变换核,5.3.1 沃尔什变换,N=2,4,8时的沃尔什变换核,5.3.1 沃尔什变换,u=0,u=3,u=6,u=5,u=1,u=2,u=7,u=4,方波型变换,2-D沃尔什变换 正 反,5.3.1 沃

12、尔什变换,2-D沃尔什变换核：可分离且对称 正反2-D Walsh 变换的变换核完全相同。,5.3.1 沃尔什变换,2-D沃尔什正、反变换 沃尔什正变换和反变换具有相同的形式。,5.3.1 沃尔什变换,2-D离散沃尔什变换,5.3.1 沃尔什变换,5.3.1 沃尔什变换,5.3.1 沃尔什变换,例：求N=4时沃尔什变换。,5.3.1 沃尔什变换,例：求下列数字图像信号矩阵的DWT。,5.3.1 沃尔什变换,Walsh 变换本质上将一个函数变换为取值为+1或 -1的基向量构成的级数； 类似于频率函数，但又不同于频率函数； 以过零点数目替代频率的概念，称为序率； 沃尔什变换具有某种能量集中。而且原

13、始数据中数字越是均匀分布，经变换后的数据越集中于矩阵的边角上。因此沃尔什变换可以压缩图像信息，且变换比傅立叶变换快。,5.3.1 沃尔什变换,正变换核 bk(z)：z 的二进制表达中的第 k 位 指数上的求和以2为模 正变换,5.3.2 哈达玛变换,正变换核 bk(z)：z 的二进制表达中的第 k 位 如 n = 3对 z = 6（1102） 有 b0(6) = 0，b1(6) = 1，b2(6) = 1,5.3.2 哈达玛变换,课本P124有误！,反变换核 反变换核与正变换核只差1个常数1/N 反变换 用于正变换的算法也可用于反变换,5.3.2 哈达玛变换,5.3.2 哈达玛变换,5.3.2

14、 哈达玛变换,u=0,u=6,u=3,u=5,u=4,u=2,u=7,u=1,方波型变换,2-D变换核 2-D变换对,5.3.2 哈达玛变换,正反变换核相同，正反变换具有相同形式,2-D哈达玛变换核：可分离且对称 正反2-D 哈达玛变换都可以分城两个步骤计算，每个步骤用一个1-D变换实现。,5.3.2 哈达玛变换,哈达玛变换本质上是一种特殊排序的沃尔什变换； 其与沃尔什变换的区别是变换核矩阵行的次序不同； 哈达玛变换最大优点在于变换核矩阵具有简单的递推关系，即高阶的变换矩阵可以用低阶转换矩阵构成。,5.3.2 哈达玛变换,沃尔什变换和哈达玛变换核的值都是1和-1，但是在行和列的次序上沃尔什变换

15、和哈达玛变换不同（唯一不同点）。 沃尔什变换和哈达玛变换常混合使用。沃尔什哈达玛变换常用来指两者中的任一个。 沃尔什哈达玛变换只用做加减法，运算复杂度低，但相比于傅里叶变换，它们缺乏明确的物理意义和比较直观的解释。,5.3.3 关于两种变换的讨论,哈达玛矩阵的迭代 从最小阶（N=2）方便地获得N阶变换矩阵,5.3.3 关于两种变换的讨论,5.3.3 关于两种变换的讨论,求下列图像的哈达玛变换。,阶（序） 列中符号变换的次数 表5.3.2中8列的序依次为0，7，3，4，1，6，2，5 随 u 增加而序也增加 的哈达玛变换核,5.3.3 关于两种变换的讨论,5.3.2 哈达玛变换,u=0,u=6,

16、u=3,u=5,u=4,u=2,u=7,u=1,未排序哈达玛变换正负号改变次数（序）,N = 8 时经过排序的1-D哈达玛变换核的值 行和列都满足序单增的条件,5.3.3 关于两种变换的讨论,5.3.2 哈达玛变换,u=0,u=2,u=4,u=6,u=1,u=3,u=5,u=7,排序后哈达玛变换正负号改变次数（序）,沃尔什变换和哈达玛变换比较 可分离且对称，正反变换核相同 行列正交（即各行向量与各列向量的内积为0） 沃尔什变换特点 有快速算法（类似快速傅里叶变换） 哈达玛变换特点 有迭代性质,5.3.3 关于两种变换的讨论,问题的提出： 傅里叶变换的最大问题是它的参数都是复数，在数据的描述上相

17、当于实数的两倍。为此，我们希望有一种能达到相同功能但数据量又不大的变换。,5.4 离散余弦变换,由傅里叶变换的性质，当f(x)或f(x,y) 是实的偶函数时，傅里叶变换得到实的偶函数。 当f(x)或f(x,y) 是实的偶函数时，傅里叶变换计算公式的虚部为零，只有余弦项。 余弦变换是简化傅里叶变换的一种方法！,5.4 离散余弦变换,一种可分离、正交、对称的变换 1-D离散余弦变换（DCT）,5.4 离散余弦变换,1-D离散余弦变换（DCT）,5.4 离散余弦变换,5.4 离散余弦变换,例：当N=4时余弦变换核矩阵C为,5.4 离散余弦变换,例：计算f=1 3 3 1的余弦变换。,2-D离散余弦变换（DCT） + 讨论可分离性和对称性,5.4 离散余弦变换,5.4 离散