第五章 数字控制器的最优化设计.ppt

1、第五章 数字控制器的最优化设计 5-1 基于状态空间模型的极点配置设计法,设计目的：在已知被控对象的状态空间模型的前提下，可按极点配置来设计控制器，使闭环系统既有克服扰动的能力，又有跟踪给定值的能力。,思路：如果上述框图中控制器的加入等效于改变控制量对输出的影响，其作用相当于改变了闭环的极点位置。而改变闭环的极点位置不一定非要输出反馈，可用下面所谓状态反馈来实现。下面介绍状态变量及反馈。,控制器组成： 1、 状态观测器（状态不可测时使用）；2、控制规律,矢量方框图,5-1-1 按极点配置设计控制规律,设：连续控制对象的状态方程,相应的离散状态方程(现代控制理论P74 刘豹编）,其中：,注：应用

2、差分变换法可得到近似差分方程，此处从略。,假设控制规律是线性状态反馈,闭环系统的状态方程（设输入为 0）,闭环矩阵特征方程：,设计反馈控制规律K，使得闭环系统具有所需要的极点配置。,设系统的状态变量可测得，又,期望闭环控制极点：,求得闭环特征方程为：,反馈控制矩阵 K 应满足方程：,通过状态反馈进行极点任意配置的充要条件是：系统完全能控，即满足,系统满足秩的要求，K 就有唯一的解。,或者说在确定期望闭环极点的情况下，能解出一组 K 值。,例：设被控对象完全能控，且对象离散状态方程为：,假设采样周期T=0.1s , 要求闭环系统的的动态响应性能相当于阻尼系数 =0.5 和无阻尼自然振荡频率n=3

3、.6 的二阶连续系统，用极点配置的方法设计状态反馈控制规律 K。,解：根据已知和n，求S平面的极点,特征方程：,设状态反馈矩阵,上述例子只适应于系统阶次较低的情况，当系统阶次较高时，可用卡尔曼法，为了说明此法，设系统为单输入。,卡尔曼法,对于高阶系统，式,的展开非常困难，为此常采用卡尔曼法，介绍如下：,是能控性矩阵。由现代控制理论可知，若系统能控，其初始状态 可以在n步内达到终值状态 ，所需的输入变量可由上式导出,为了得到u(k)的表达式,只需求出上式的最后一行。由上式得：,式中,由式,得：,带状态反馈的闭环系统希望特征方程具有如下形式,根据凯莱哈密尔顿定理，矩阵（A-BK）满足如下方程,因此

4、，,可以证明,代入上式得：,待求的反馈矩阵为：,举例（见教材例5-1、例5-2）：,二、状态观测器设计法 上述的用状态反馈法进行极点配置前题是状态变量都可以直接测得，而实际中状态变量往往难以直接测得，此时就要考虑用所谓状态观测器来间接得到，本节的状态观测器设计法就是利用状态观测器来获得状态变量，然后再通过反馈矩阵返回到输入端形成闭环状态反馈，以得到期望的闭环极点。,（一）全维状态观测器,1、开环全维状态观测器、 （参看教材）,开环全维状态观测器应用于实际中存在下述严重缺点：,状态重构误差的动态特性取决于系数矩阵A，即取决于对象的动态特性，无法按实际需要进行调整，这往往使它的动态特性不符合要求。

5、另外，当A有不稳定的特征值时，根本不能采用这种类型的观测器。另外，初始值不一致也会带来误差。,2、闭环观测器,根据上图写出闭环观测器的状态方程,将控制对象的状态方程（5-13）与式（5-16）相减，得到状态重构误差方程为,由式（5-17）可见，状态重构误差的动态性能取决于矩阵A-LC。只要适当地选择增益矩阵L，便可获得希望的状态重构特性。因此，设计观测器就是设法合理地选取L 。由式（5-17），状态重构误差的特征方程为,只要适当地选择特征根，即可求出对应的增益矩阵L,对于低阶系统，利用教材中式（5-19）,可确定 L 矩阵，对于高阶系统，采用与卡尔曼 极点配置法类似的方法可推导出,注意： L

6、与 B 的位置有区别，这里结果也有区别。,(二）降维观测器(略，也可参看现代控制理论P195，刘豹编),当某个（或几个）状态变量可有输出量得到时，就不需要构造全维观测器，就可设计降维观测器。,(三)观测器对闭环系统动态特性的影响 将观测器重构出来的状态变量反馈到被控对象的输入端,组成图5- 4所示的闭环系统,其中重构的状态变量 通过反馈矩阵K构成控制变量。这种系统的特点是，反馈的状态变量是重构量 而 不是 ，这会对系统的动态特性产生怎样的影响呢？,状态观测器,图5- 4 带状态观测器的闭环系统,在图5- 4中,其中,是参考输入。令,于是有,由式（517）并结合上式，得到描述闭环系统的动态方程,

7、它的特征方程,定义,上式表示，闭环系统的极点是由不带观测器闭环系统极点加上观测器的极点组成的。实际设计系统时，可将两部分极点分开来考虑，先由系统特征方程,确定出原系统的最小时间常数（或期望极点）。然后，令观测器的时间常数是它的1/4左右，即可确定观测器的极点。,又根据图（5- 4）可写出,取两式Z变换，经整理得,当,时,由上两式可解出,前者总是成立，后者除非进入稳态，即,代入上一方程得,此结果说明 , 在,时,原系统的动态特性在观测器进入稳态时与观测器的接入无关。,（观测器进入稳态时此式成立）,三、离散二次型指标函数最优控制,设系统状态方程为,初始状态,已知，取目标函数,式中第一项：对终端状态

8、的约束,式中第二项：x(k+1)与x(k)只差一个采样周期，可替代,式中第三项：对输入量幅值的限制,现在要求设计调节器，使式（ 533）表示的系统从初始状态,转移到终态,（533）,（534）,，并使 J 最小。,下面用最优性原理（见现代控制理论中动态规划）求解这个最优控制问题，最优性原理叙述见教材。最优性原理说明，从k=0到k=N-1的N级控制如果是最优控制，则其后N-m级控制也是最优的。这样，若从终端倒推计算最优控制，就可将N级控制问题转化为N个单级控制问题。 根据式（534），可得从k = m (m = 0, 1, 2, ,N-1 )到k=N的性能指标 为,（535）,时，最后一级性能指

9、标函数为,（536）,当,时，,并利用(531)式,(537),为使,最小，令,值得指出的是：上述求导过程中，只是对控制量 ，而并未对 求导。原因是控制量是可以改变的，而状态变量是由上一级的控制所决定的，在本级是不能改变的，它是作为本级的初始条件（或初始状态）存在的。,可得,最优控制,(538),将上式代入（537）式，得到最后一级最优性能指标,对照式（5-36），在上式中，令：,于是，由式（536）和式（539） ，有,（539）,推广到一般，有,式中,最优控制 和反馈矩阵 为,（540）,（541）,（542）,（543）,由式（5-41）和式（5-43）可得出,K = 0时，最优性能指标

10、为,（545）,（544）,式（541）称为 方程， 称为 增益矩阵,例53 二阶系统的状态方程为,式中,已知 , 试求最优控制 使性能指标,最小。,解：由给定的性能指标，可知,由式（544），有,（546）,（547）,（548）,由终端的边界条件开始计算 增益 矩阵,由式（547）和（548）的递归关系，解出,当 时， 增益矩阵趋近于常数,算出的最优控制、最优轨线如表51,图5-1具有状态反馈的闭环系统,设一阶离散系统,求最优控制,及最优轨线,。,解：为简单，取N=2。问题是要确定最优控制,，,；最优轨线,，,及最优性能泛函,，见图 先求最后一步， 即由状态,转移到,这一步。如果采用控制,

11、，则有,最优控制,应使由状态,出发时,为最小，故有,由此得,则有,实际上，它们都是这一段初始状态,的函数 。,再考虑倒数第二步 ，即由初始状态,转移到,的这一步。,如果采用,，则有,为使,为最优控制，必须满足,故有：,它们也都是初始状态,的函数。,综上可得最优控制：,最优轨线：,最优性能泛函,基于非参数模型的两种预测控制算法: 5-1-1 模型算法控制 模型算法控制(Model Algorithmic Control)简称为MAC，是一类基于系统脉冲响应的控制算法。 模型算法控制适用于渐近稳定系统，对于开环不稳定系统，可先使用常规调节器使之稳定，然后再使用MAC。,5 - 2 基于系统非参数模型的控制算法,基于非参数模型的预测控制，通常选用系统的脉冲响应模型或阶跃响应模型来描述被控对象，并采用滚动优化目标函数求解最优预测控制律。,由于实际可使用的只能是经测量得到的脉冲响应，它与实际系统的脉冲响应是有差别的。 由系统控制量u(k)和gT的离散卷积可得出系统在t(k+1)T时刻输出量的预测值,要达到控制目的设法使系统输出量y(t)沿着一条希望的曲线到达预期的给定值 参考轨迹。,参考轨迹在kT以后各时刻的值为：,Tr为参考轨迹的时间常数。若记aexp(-T/Tr)，则有,常用的指标函数：,Wi为非负的权系数，它决定各采样时刻的误差在jz中占的比重；zN，称为预测时域，或