初中数学一轮复习 方程与函数篇 第八节 反比例函数导学练案导学练

1、反比例函数学习目标：1.在具体问题中探索数量关系和变化规律的过程，抽象出反比例函数的概念，并结合具体情境领会反比例函数作为一种数学模型的意义.2.能画出反比例函数的图像，根据图像和解析表达式探索并理解反比例函数的主要性质.3.逐步提高观察和归纳分析能力，体验数形结合的数学思想方法.4.能依据已经条件确定反比例函数，领悟用函数观点解决某些实际问题的基本思路.复习反馈：1.一般地，形如 的函数叫反比例函数，其中，且为 数，自变量的取值范围是 .2.反比例函数的图像是一条 ，当时，图像在第 象限，在每个象限内，随的增大而 ，当，图像在第 象限，在每个象限内，随的增大而 .3.反比例函数中的的几何意义

2、是：如图，若点P（）是双曲线上任意一点，过P做PB轴，做PA轴，则 ，= .4.已知的图像上一点P，过P作轴及轴的垂线，垂足分别为A.B，则矩形AOPB的面积为 .合作探究：考点1 反比例函数的概念例题1：（2015，广西柳州，5，3分）下列图象中是反比例函数y=图象的是（）考点：反比例函数的图象分析：利用反比例函数图象是双曲线进而判断得出即可解答：解：反比例函数y=图象的是C故选：C点评：此题主要考查了反比例函数的图象，正确掌握反比例函数图象的形状是解题关键考点2 反比例函数的图像和性质的探究例题2：（2015福建第10题 4分）如图，已知点A是双曲线y=在第一象限的分支上的一个动点，连接A

3、O并延长交另一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点C，随着点A的运动，点C的位置也随之变化设点C的坐标为（m，n），则m，n满足的关系式为（）An=2mBn=Cn=4mDn=考点：反比例函数图象上点的坐标特征.分析：首先根据点C的坐标为（m，n），分别求出点A的坐标、点B的坐标；然后根据AO、BO所在的直线的斜率相同，求出m，n满足的关系式即可解答：解：点C的坐标为（m，n），点A的纵坐标是n，横坐标是：，点A的坐标为（，n），点C的坐标为（m，n），点B的横坐标是m，纵坐标是：，点B的坐标为（m，），又，mn=m2n2=4，又m0，n0，mn=2，n=故选：B点评

4、：此题主要考查了反比例函数的图象上点的坐标的特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；在xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|例题3：（2015河北,第10题3分）一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间x（年）成反比例关系，当x=2时，y=20则y与x的函数图象大致是（）A B C D 考点： 反比例函数的应用；反比例函数的图象分析： 设y=（k0），根据当x=2时，y=20，求出k，即可得出y与x的函数图象解答：

5、解：设y=（k0），当x=2时，y=20，k=40，y=，则y与x的函数图象大致是C，故选：C点评： 此题考查了反比例函数的应用，关键是根据题意设出解析式，根据函数的解析式得出函数的图象考点3反比例函数解析式中的的几何意义.例题4：（2015宁德 第61题 4分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x0）的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC若四边形ODBE的面积为6，则k=3考点：反比例函数系数k的几何意义分析：连接OB，由矩形的性质和已知条件得出OBD的面积=OBE的面积=四边形ODBE的面积=3，在求出OCE的面积，即可得出k的值解答：解：连接OB，如图

6、所示：四边形OABC是矩形，OAD=OCE=DBE=90，OAB的面积=OBC的面积，D、E在反比例函数y=（x0）的图象上，OAD的面积=OCB的面积，OBD的面积=OBE的面积=四边形ODBE的面积=3，BE=2EC，OCE的面积=OBE的面积=，k=3；故答案为：3点评：本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象与解析式的求法；熟练掌握矩形的性质和反比例函数解析式的求法是解决问题的关键考点4反比例函数与一次函数的综合训练.例题5：（2015丹东，第8题3分）一次函数y=x+a3（a为常数）与反比例函数y=的图象交于A、B两点，当A、B两点关于原点对称时a的值是（）A 0 B

7、 3 C 3 D 4考点： 反比例函数与一次函数的交点问题；关于原点对称的点的坐标专题： 计算题分析： 设A（t，），根据关于原点对称的点的坐标特征得B（t，），然后把A（t，），B（t，）分别代入y=x+a3得=t+a3，=t+a3，两式相加消去t得2a6=0，再解关于a的一次方程即可解答： 解：设A（t，），A、B两点关于原点对称，B（t，），把A（t，），B（t，）分别代入y=x+a3得=t+a3，=t+a3，两式相加得2a6=0，a=3故选C点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方

8、程组无解，则两者无交点考点5反比例函数综合应用例题6：（2015吉林，第23题8分）如图，点A（3，5）关于原点O的对称点为点C，分别过点A，C作y轴的平行线，与反比例函数y=（0k15）的图象交于点B，D，连接AD，BC，AD与x轴交于点E（2，0）（1）求k的值；（2）直接写出阴影部分面积之和考点： 反比例函数与一次函数的交点问题分析： （1）根据点A和点E的坐标求得直线AE的解析式，然后设出点D的纵坐标，代入直线AE的解析式即可求得点D的坐标，从而求得k值；（2）根据中心对称的性质得到阴影部分的面积等于平行四边形CDGF的面积即可解答： 解：（1）A（3，5）、E（2，0），设直线AE的

9、解析式为y=kx+b，则，解得：，直线AE的解析式为y=x+2，点A（3，5）关于原点O的对称点为点C，点C的坐标为（3，5），CDy轴，设点D的坐标为（3，a），a=3+2=1，点D的坐标为（3，1），反比例函数y=（0k15）的图象经过点D，k=3（1）=3；（2）如图：点A和点C关于原点对称，阴影部分的面积等于平行四边形CDGF的面积，S阴影=43=12点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是能够确定点D的坐标，难度不大例题7：（2015广东东莞23，9分）如图，反比例函数y=（k0，x0）的图象与直线y=3x相交于点C，过直线上点A（1，3）作ABx轴于点B，交反

10、比例函数图象于点D，且AB=3BD（1）求k的值；（2）求点C的坐标；（3）在y轴上确定一点M，使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD最小，求点M的坐标考点： 反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称-最短路线问题分析： （1）根据A坐标，以及AB=3BD求出D坐标，代入反比例解析式求出k的值；（2）直线y=3x与反比例解析式联立方程组即可求出点C坐标；（3）作C关于y轴的对称点C，连接CD交y轴于M，则d=MC+MD最小，得到C（，），求得直线CD的解析式为y=x+1+，直线与y轴的交点即为所求解答： 解：（1）A（1，3），AB=3，OB=1，AB=3BD，BD=2，D（1，1）将D坐标代

11、入反比例解析式得：k=1；（2）由（1）知，k=1，反比例函数的解析式为；y=，解：，解得：或，x0，C（，）；（3）如图，作C关于y轴的对称点C，连接CD交y轴于M，则d=MC+MD最小，C（，），设直线CD的解析式为：y=kx+b，y=（32）x+22，当x=0时，y=22，M（0，22）点评： 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，以及直线与反比例的交点求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键形成提升：1. （2015，广西钦州，9，3分）对于函数，下列说法错误的是（）A这个函数的图象位于第一、第三象限B这个函数的图象既是轴对称图

12、形又是中心对称图形C当x0时，y随x的增大而增大D当x0时，y随x的增大而减小2. （2015青海，第19题3分）已知一次函数y=2x3与反比例函数y=，那么它们在同一坐标系中的图象可能是（）ABCD3. （2015黑龙江哈尔滨，第4题3分）（2015哈尔滨）点A（1，y1），B（2，y2）在反比例函数y=的图象上，则y1，y2的大小关系是（）A y1y2 B y1=y2 C y1y2 D 不能确定4. （2015天津,第9题3分）（2015天津）己知反比例函数y=，当1x3时，y的取值范围是（）A0ylB1y2C2y6Dy65. （2015福建龙岩9，4分）已知点P（a，b）是反比例函数y=

13、图象上异于点（1，1）的一个动点，则+=（）A2B1CD6. （2015重庆A12，4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与轴平行，A,B两点的纵坐标分别为3,1，反比例函数的图像经过A,B两点，则菱形对ABCD的面积为（ ）A. 2 B. 4 C. D. 7. （2015黑龙江省大庆,第10题3分）已知点A（2，0），B为直线x=1上一个动点，P为直线AB与双曲线y=的交点，且AP=2AB，则满足条件的点P的个数是（）A 0个 B 1个 C 2个 D 3个8、（2015辽宁省朝阳,第10题3分）如图，在直角坐标系中，直线y1=2x2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y

14、2=（x0）交于点C，过点C作CDx轴，垂足为D，且OA=AD，则以下结论：SADB=SADC；当0x3时，y1y2；如图，当x=3时，EF=；当x0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小其中正确结论的个数是（）A1B2C3D49。（2015甘南州第25题 4分）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线y=上，且ABx轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为210. （2015湖北十堰，第22题8分）如图，点A（1，1+）在双曲线y=（x0）上（1）求k的值；（2）在y轴上取点B（0，1），为双曲线上是否存在点D，使得以AB，AD为邻边的平行四边形ABCD的顶点C在x轴的负半

15、轴上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由【归纳总结】【形成提升参考答案】1. （2015，广西钦州，9，3分）对于函数，下列说法错误的是（）A这个函数的图象位于第一、第三象限B这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C当x0时，y随x的增大而增大D当x0时，y随x的增大而减小考点：反比例函数的性质分析：根据反比例函数的性质：对于反比例函数y=，当k0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大解答即可解答：解：函数y=的图象位于第一、第三象限，A正确；图象既是轴对称图形又是中心对称图形，B正确；当x0时，y随x的增大而

16、减小，C错误；当x0时，y随x的增大而减小，D正确，故选：C点评：本题考查的是反比例函数的性质，掌握对于反比例函数y=，当k0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大是解题的关键2. （2015青海，第19题3分）已知一次函数y=2x3与反比例函数y=，那么它们在同一坐标系中的图象可能是（）ABCD考点：反比例函数的图象；一次函数的图象专题：数形结合分析：根据一次函数图象与反比例函数图象与系数的关系进行判断解答：解：一次函数y=2x3经过第一、三、四象限，反比例函数y=的图象分布在第二、四象限故选D点评：本题考查了反比例函数图象

17、：反比例函数y=的图象为双曲线，当k0时，图象分布在第一、三象限，当k0，图象分布在第二、四象限也考查了一次函数图象3. （2015黑龙江哈尔滨，第4题3分）（2015哈尔滨）点A（1，y1），B（2，y2）在反比例函数y=的图象上，则y1，y2的大小关系是（）A y1y2 B y1=y2 C y1y2 D 不能确定考点： 反比例函数图象上点的坐标特征分析： 先根据反比例函数的解析式判断出反比例函数的图象所在的象限及其增减性，再根据A、B两点的横坐标判断出两点所在的象限，进而可得出结论解答： 解：反比例函数y=中，k=20，此函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减

18、小，10，20，点A（1，y1）、B（2，y2）均位于第三象限，12，y1y2故选C点评： 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键4. （2015天津,第9题3分）（2015天津）己知反比例函数y=，当1x3时，y的取值范围是（）A0ylB1y2C2y6Dy6考点：反比例函数的性质分析：利用反比例函数的性质，由x的取值范围并结合反比例函数的图象解答即可解答：解：k=60，在每个象限内y随x的增大而减小，又当x=1时，y=6，当x=3时，y=2，当1x3时，2y6故选C点评：本题主要考查反比例函数的性质，当k0时，在每一个象

19、限内，y随x的增大而减小；当k0时，在每一个象限，y随x的增大而增大5. （2015福建龙岩9，4分）已知点P（a，b）是反比例函数y=图象上异于点（1，1）的一个动点，则+=（）A2B1CD考点：反比例函数图象上点的坐标特征；分式的化简求值分析：利用反比例函数图象上点的坐标性质得出ab=1，再利用分式的混合运算法则求出即可解答：解：点P（a，b）是反比例函数y=图象上异于点（1，1）的一个动点，ab=1，+=+=1故选：B点评：此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标性质以及分式的混合运算，正确化简分式是解题关键6. （2015重庆A12，4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限

20、内，边BC与轴平行，A,B两点的纵坐标分别为3,1，反比例函数的图像经过A,B两点，则菱形对ABCD的面积为（ ）A. 2 B. 4 C. D. 考点：菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征 分析：过点A 作x 轴的垂线，与CB 的延长线交于点E，根据A，B 两 点的纵坐标分别为3，1，可得出横坐标，即可求得AE，BE ，再 根据勾股定理得出AB，根据菱形的面积公 式：底乘高即可得出答 案 解答：解：过点A 作x 轴的垂线，与CB 的延长线交于点E， A，B 两点在反比例函数y= 的图象上且纵坐标分别为3，1， A，B 横坐标分别为 1，3， AE=2 ，BE=2 ， AB=2， S 菱形A

21、BCD=底高=22=4， 故选D 点评：本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是 解题的关键 7. （2015黑龙江省大庆,第10题3分）已知点A（2，0），B为直线x=1上一个动点，P为直线AB与双曲线y=的交点，且AP=2AB，则满足条件的点P的个数是（）A 0个 B 1个 C 2个 D 3个考点： 反比例函数与一次函数的交点问题分析： 如图，设P（m，），B（1，n），直线x=1与x轴交于C，有A（2，0），得到OA=2，OC=1，AC=1，BCy轴，推出，于是得到这样的点P不存在，点P4在AB之间，不满足AP=2AB，过P2作P2Qx轴于Q，求得满足条

22、件的点P（4，），于是得到满足条件的点P的个数是1，解答： 解：如图，设P（m，），B（1，n），直线x=1与x轴交于C，A（2，0），OA=2，OC=1，AC=1，BCy轴，P1，P3在y轴上，这样的点P不存在，点P4在AB之间，不满足AP=2AB，过P2作P2Qx轴于Q，P2QB1C，=，=，m=4，P（4，），满足条件的点P的个数是1，故选B点评： 本题考查了一次函数与反比例函数的焦点问题，平行线分线段成比例，注意数形结合思想的应用8、（2015辽宁省朝阳,第10题3分）如图，在直角坐标系中，直线y1=2x2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y2=（x0）交于点C，过点C作CDx轴，垂足为

23、D，且OA=AD，则以下结论：SADB=SADC；当0x3时，y1y2；如图，当x=3时，EF=；当x0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小其中正确结论的个数是（）A1B2C3D4考点：反比例函数与一次函数的交点问题专题：计算题分析：对于直线解析式，分别令x与y为0求出y与x的值，确定出A与B坐标，利用AAS得到三角形OBA与三角形CDA全等，利用全等三角形对应边相等得到CD=OB，确定出C坐标，代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式，由图象判断y1y2时x的范围，以及y1与y2的增减性，把x=3分别代入直线与反比例解析式，相减求出EF的长，即可做出判断解答：解：对于直线y1=2x2，令x=0，得到y=2；令y=0，得到x=1，A（1，0），B（0，2），即OA=1，OB=2，在OBA和CDA中，OBACDA（AAS），CD=OB=2，OA=AD=1，SADB=SADC（同底等高三角形面积相等），选项正确；C（2，2），把C坐标代入反比例解析式得：k=4，即y2= ，由函数图象得：当0x2时，y1y2，选项错误；当x=3时，y1=4，y2=，即EF=4= ，选项正确；当x0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，选项正确，故选C点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点，涉及的知识有：一次函数与坐标系的交点，待定系数法确定反比