(理数)惠州市高三第三次调研考试

1、惠州市 2009 届高三第三次调研考试数学试题 （理科） 第卷第卷选择题选择题（共 （共 4040 分）分） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 4040 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 2 1若集合A 1,3,x,B 1,x , A B 1,3,x,则满足条件的实数 x 的个数有（） A. 1 个 B. 2个 C.3 个 D. 4 个 2已知m,n是两条不同直线，,是三个不同平面，下列命题中正确的是（） A若m,n,则mn C若m,m,则 B若,则

2、 D若m ,n ,则mn 3已知复数z1 2i，z21i，则z z1z2在复平面上对应的点位于（） 第一象限第二象限第三象限第四象限 uuu rr uuu rr uuu rrr rr rr r 4 在边长为 1 的等边ABC中， 设BC a,CA b, AB c，则abbcca （） A 33 B0 C D3 22 5已知等比数列a n的前三项依次为 a2，a2，a8，则a n （ ） 3 2 3 A8 B8 C8 232 2 nnn1 2 D8 3 n1 x2y2 1的右焦点重合，则p的值为（ ）6若抛物线y 2px的焦点与椭圆 62 A2 B2 C4 D4 7. 为了考察两个变量 x 和

3、y 之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做10 次和 15 次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为 l1和 l2，已知两个人在试验中发现 对变量 x 的观测数据的平均值都是s，对变量 y 的观测数据的平均值都是t，那么下列说法 正确的是（） Al1和 l2必定平行Bl1与 l2必定重合 Cl1和 l2有交点（s，t）Dl1与 l2相交，但交点不一定是（s，t） 3x y 0 uuu r 8 已知点A(3, 3)， O 是坐标原点， 点P(x , y)的坐标满足x3y2 0， 设 z 为OA y 0 uuu r 在OP上的投影，则 z 的取值范围是（） A. 3 , 3 B.3,

4、3 C. 3 ,3 D.3,3 第卷第卷非选择题非选择题（共 （共 110110 分）分） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 7 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 3030 分其中分其中 13131515 题是选做题，考生题是选做题，考生 只需选做二题，三题全答的，只计算前两题得分只需选做二题，三题全答的，只计算前两题得分 ） 9. 按下列程序框图来计算： 开始x输入 x=3x2x200 否 是 输出 x结束 如果输入的 x=5,应该运算_次才停止。 10. 已知函数y ax bx，当x 1时，有极大值3；则2ab=_. 22 11. 若经过点 P（1，0）的直线

5、与圆x y 4x2y 3 0相切，则此直线在 y 轴上的 32 截距是 _ _. 12. 已知定义在R上的偶函数f (x)满足f (x2) f (x) 1对于xR恒成立，且 f (x) 0，则f (119) _； （请考生在以下三个小题中任选做二题，三题全答的，只计算前两题得分（请考生在以下三个小题中任选做二题，三题全答的，只计算前两题得分 ） 13. 在极坐标系中,过圆 6cos的圆心, 且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 14函数y x1 x1的最大值是 . 15如图，PA 切e O于点 A，割线 PBC 经过圆心 O， OB=PB=1，OA 绕点 O 逆时针旋转 60到 OD，则 PD 的

6、长为 三、解答题三、解答题 （本部分共计（本部分共计 6 6 小题，满分小题，满分8080 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 请在指定区域内作答，否则该题计为零分请在指定区域内作答，否则该题计为零分 ） 16 （本小题满分 12 分） C DA OB P xx 2cos 0 22 （1）求tanx的值； cos2x 已知sin （2）求 2cos( x)sin x 4 的值 17 （本小题满分 12 分） 计算机考试分理论考试与上机操作考试两部分进行， 每部分考试成绩只记 “合格” 与 “不 合格” ，两部分考试都“合格”则计算机考试“合

7、格”并颁发“合格证书”甲、乙、丙三人 在理论考试中合格的概率分别为 33295 ，； 在上机操作考试中合格的概率分别为， 543106 7 所有考试是否合格相互之间没有影响 8 （1）甲、乙、丙三人在同一次计算机考试中谁获得“合格证书”可能性最大？ （2）求这三人计算机考试都获得“合格证书”的概率； （3）用表示甲、乙、丙三人在理论考核中合格人数，求的分布列和数学期望 E 18 （本小题满分 14 分） 如图，已知正三棱柱ABC A 1B1C1 的底面边长是2，D是侧棱CC1的中点，直线AD与 侧面BB1C1C所成的角为45 （1）求此正三棱柱的侧棱长； （2）求二面角A BD C的正切值；

8、（3）求点C到平面ABD的距离 19 （本小题满分 14 分） 已知点(x, y) 在曲线 C 上， 将此点的纵坐标变为原来的2 倍,对应的横坐标不变,得到 的点满足方程x y 8； 定点 M(2,1)， 平行于 OM 的直线l在 y 轴上的截距为 m(m0), 直线l与曲线 C 交于 A、B 两个不同点. (1)求曲线C的方程； (2)求 m 的取值范围. 20 (本小题满分 14 分) 已知数列an、bn满足：a 1 22 b n 1 ,a n b n 1,b n1 4(1a n )(1a n ) (1)求b 1,b2 ,b 3 ,b 4 ； (2)求数列bn的通项公式； (3)设Sn a

9、 1a2 a 2a3 a 3a4 .a nan1 ，求实数a为何值时4aSn bn恒成立 21 （本小题满分 14 分） 1 已知二次函数f (x) ax2bx c, 满足f (0) f (1) 0,且f (x)的最小值是 4 (1)求f (x)的解析式； (2)设直线l: y t2t (其中0t ,t为常数),若直线l与f (x)的图象以及y轴所围成 封闭图形的面积是S 1(t) , 直线l与f (x)的图象所围成封闭图形的面积是S 2 (t),设 1 2 1 g(t) S 1(t) S 2 (t),当g(t)取最小值时,求t的值 2 11 (3)已知m 0,n 0, 求证:(mn)2(mn

10、) m n n m 24 参考答案 一选择题（本大题共一选择题（本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 4040 分）分） 题号 答案 1 C 2 D 3 D 4 A 5 C 6 D 7 C 8 B 22 1、解析：A B 1,3, x,所以x 3,x x 解得x 3,x 1(舍去)x 0即满足条件 的有 3 个；答案：C 2、解：m,n均为直线，其中m,n平行，m,n可以相交也可以异面，故A 不正确； m，n则同垂直于一个平面的两条直线平行；选D。 3、解析：z1z2 3i, ,故选 D r rr rr rrr 13 o 4、解析：abbcca 3 a b co

11、s120 3( ) 选 A 22 3 2 5、(a2) (a2)(a8),a 10所以数列首项 8，公比为；答案：C 2 6、解析：由 p 2得 p=4，选 D 2 7、解析：回归直线经过样本的中心点（x, y）选 C uuu r uuu r r OAOP uuu r =OA cosAOP=2 3cosAOP，8、 解析：z uuu |OP| AOP 5 6 , 6 ， 当AOP 当AOP 6 时，zmax 2 3cos 6 =3， 55 时，zmin 2 3cos=3， 66 z 的取值范围是3,3选 B 二填空题（本大题共二填空题（本大题共 7 7 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满

12、分分，满分 3030 分其中分其中 13131515 题是选做题，考生题是选做题，考生 只需选做二题，三题全答的，只计算前两题得分只需选做二题，三题全答的，只计算前两题得分 ） 9、4 10、-3 11、1 12、1 13、cos 3 14、2 15、 7 9、解析：xn13xn2,x 1 5,x 2 13,x 3 37,x 4 99,x 5 295 200，所以运行 4 次。 2 10、解析：y 3ax 2bx,当x 1时，y |x1 3a 2b 0, y |x1 a b 3， 即 3a2b 0 ,a 6,b 9，2ab=-3.（也可上两式直接相减得到答案） ab 3 11、解析：点 P 在

13、圆上，圆心坐标为 C（-2，1） ，kPC 1，方程为y x1，在 y 轴上的截距是 1 12、解析： f (x 2) 01 1,所以此直线的斜率为 1(2) 1 , f (x 4) f (x),所以周期T 4，f（119） f（3）. . f (x) 1 1 （）f 1 f 1 f1） 1， （）f 1 1，（f 3） 令 x=-1，（）（ 22 13、解析：由题意可知圆的标准方程为(x3) y 9，圆心是（3，0） ， 所求直线标准方程为 x=3,则极坐标方程为cos 3. 14、解析：x1 x1 x1 x1 2 15、解析 1：PA切e O于点 A，B 为 PO 中点，AB=OB=OA,

14、 AOB 60,POD 120,在POD 中由余弦定理， 得：PD PO DO 2PODOcosPOD=414( ) 7PD 解析 2：过点 D 作 DEPC 垂足为 E，POD 120，DOB 60, oo oo 222 1 2 7. 31 可得OE ,DE ，在RtPED中， 22 C DA PD PE2 DE2 253 7 44 EOB P 三解答题（本部分共计6 小题，满分80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16 （本小题满分 12 分） xxx 2cos 0,tan 2， 2 分 222 x 2tan 2 22 4 5 分tan x 31 22 2 x 1 tan 2

15、 解： （1）由sin （2） 原式 cos2x sin2x 2( 22 cosx sin x)sin x 22 (cosx sin x)(cosx sin x) (cosx sin x)sin x cosx sin x 10 分 sin x cot x 1 31 ( )1 12 分 44 17 （本小题满分 12 分） 解：记“甲理论考试合格”为事件A 1， “乙理论考试合格”为事件 A 2 ， “丙理论考试合格” 为事件A 3 ， 记A i 为A i 的对立事件，i 1,2,3；记“甲上机考试合格” 为事件B 1 ， “乙 上机考试合格”为事件B2， “丙上机考试合格”为事件B3 （1）记

16、“甲计算机考试获得合格证书”为事件A，记“乙计算机考试获得合格证书” 为事件 B，记“丙计算机考试获得合格证书”为事件C， 则P(A) 3927355277 ，P(B) ，P(C) ， 510504683812 有P(B) P(C) P(A)， 故乙获得“合格证书”可能性最大；3 分 （2）记“三人该课程考核都合格” 为事件D PD P A 1 B 1 A 2 B 2 A 3 B 3 PA 1 B 1 PA 2 B 2 PA 3 B 3 PA 1 PB 1 PA 2 PB 2 PA 3 PB 3 393527 5104638 63 =， 320 63 所以，这三人该课程考核都合格的概率为7 分

17、 320 = （3）用表示甲、乙、丙三人在理论考核中合格人数，则可以取 0，1，2，3， 故的分布列如下： P（） 012 3 10 分 1 30 13 60 9 20 3 10 的数学期望： E =0 113931 +1+2+3=212 分 3060201060 18.(本小题满分 14 分) （1）设正三棱柱ABC A 1B1C1 的侧棱长为x. 取BC中点E，连结AE. ABC是正三角形，AE BC. 2 分 又底面ABC 侧面BB1C1C,且交线为BC, AE 侧面BB1C1C. 连结ED， 则直线AD与侧面BB1C1C所成的角为ADE 45 在RtAED中，tan45 AE ED 3

18、 1 x 4 2 ，解得x 2 2. 4 分 （2）过E作EF BD于F，连结AF，AE 侧面BB1C1C，AF BD. AFE为二面角 CD BD A BD C 的平面角.在RtBEF中， 2 22 ( 2)2 3 ， 3 6 分EF BEsinEBF 又BE 1,sinEBF 3 ,又AE 3 8 分 3 AE 在RtAEF中，tanAFE 3. EF EF 故二面角A BD C的正切值为 3.9 分 （3） 由（2）可知，BD 平面AEF，平面AEF平面ABD，且交线为AF， 过E作EG AF于G，则EG 平面ABD. 在RtAEF中，EG AEEF AF 3 3 3 3 2) 3 (

19、3)2( 30 12 分 10 30 . 14 分 5 E为BC中点，点C到平面ABD的距离为2EG （注： （2） 、 （3）也可用向量法求解， （3）还可以用等体积法） 19 （本小题满分 14 分） 解：(1)在曲线C上任取一个动点 P(x,y), 则点(x,2y)在圆x y 8上. 3 分 22 x2y2 1. 6 分 所以有x (2y) 8.整理得曲线 C 的方程为 82 22 (2)直线l平行于 OM，且在 y 轴上的截距为 m,又KOM 直线l的方程为y 1 , 2 1 x m. 9 分 2 1y xm, 2 22 由 2 ,得x 2mx2m 40 10 分 2 x y 1. 8

20、2 直线l与椭圆交于 A、B 两个不同点， (2m) 4(2m 4)0, 12 分 解得2 m 2且m 0. m 的取值范围是2 m 0或0 m 2. 14 分 20 （本小题满分 14 分） 解: （1) b n1 a 1 22 b n b n 1 (1a n )(1 a n )b n (2b n )2b n 13456 ,b 1 b2,b 3 ,b 4 3 分 44567 2b n 111 1 1 5 分 2b n b n1 1b n 1b n 1 （2）bn11 数列 1 是以4 为首项，1 为公差的等差数列 b n 1 1 4(n1) n3 7 分 b n 1 1n2 9 分 n3n3 1 (3)an1bn n3 bn1 111n S n a 1a2 a 2a3 a nan1 1 1 4556(n3)(n4)4n44(n4) ann2(a1)n2(3a6)n8 4aSnbn11分 n4n3(n3)(n4) 由条件可知(a 1)n (3a 6)n 8 0恒成立即可满足条件，设 2 f (n) (a 1)n2 (3a 6)n 8 当a 1时，f (n) 3n8 0恒成立 当a 1时，由二次函数的性质知不可能成立 当a 1时，对称轴n 3 a 231 (1) 0 2a 12a 1 f (n)在(1,)为单调递减函数 f (1) (a1)n (3a6)n8 (