南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准（定稿）

1、南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试 数学参考答案及评分标准 2013.05说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 1(1，3 25 38 4 5 6 72 8 9 102112 122

2、xy20 13(12，17) 14二、解答题：本大题共6小题，共90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15解（1）方法一：因为tan2，所以2，即sin2cos 2分又sin2cos21，解得sin2，cos2 4分所以cos2cos2sin2 6分方法二：因为cos2cos2sin2 2分 ， 4分又tan2，所以cos2 6分（2）方法一：因为(0，)，且tan2，所以(0，) 又cos20，故2(，) ，sin2 8分由cos，(0，)，得sin，(，) 10分所以sin(2)sin2coscos2sin()() 12分又2(，)，所以2 14分方法二：因为(0，)，且tan2，

3、所以(0，)，tan2从而2(，) 8分由cos，(0，)，得sin，(，)，因此tan 10分所以tan(2)1 12分又2(，)，所以2 14分（第16题）ABCDEC1A1B1FG16证明（1）如图，取BC的中点G，连结AG，FG因为F为C1B的中点，所以FGC1C在三棱柱ABCA1B1C1中，A1AC1C，且E为A1A的中点，所以FGEA所以四边形AEFG是平行四边形 所以EFAG 4分因为EF平面ABC，AG平面ABC，所以EF平面ABC 6分（2）因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面ABC，BD平面ABC，所以A1ABD 因为D为AC的中点，BABC，所以BDAC因为A1

4、AACA，A1A平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，所以BD平面A1ACC1因为C1E平面A1ACC1，所以BDC1E 9分根据题意，可得EBC1EAB，C1BAB，所以EBC1EC1B2从而C1EB90，即C1EEB 12分因为BDEBB，BD 平面BDE， EB平面BDE，所以C1E平面BDE 14分17解（1）由题意知，f(x)2x3lnx，所以f(x)2 (x0) 2分由f(x)0得x(0，) 所以函数f(x)的单调增区间为(0，) 4分（2）由f(x)mxm2，得f(1)1，所以曲线yf(x)在点P(1，1)处的切线l的方程为yx2 6分由题意得，关于x的方程f(x)x2有且只有

5、一个解，即关于x的方程m(x1)2x1lnx0有且只有一个解 令g(x)m(x1)2x1lnx(x0)则g(x)m(x1)1(x0) 8分当0m1时，由g(x)0得0x1或x，由g(x)0得1x，所以函数g(x)在(0，1)为增函数，在(1，)上为减函数，在(，)上为增函数又g(1)0，且当x时，g(x)，此时曲线yg(x)与x轴有两个交点故0m1不合题意 10分当m1时，g(x)0，g(x)在(0，)上为增函数，且g(1)0，故m1符合题意当m1时，由g(x)0得0x或x1，由g(x)0得x1，所以函数g(x)在(0，) 为增函数，在(，1)上为减函数，在(1，)上为增函数又g(1)0，且当

6、x0时，g(x)，此时曲线yg(x)与x轴有两个交点故m1不合题意综上，实数m的值为m1 14分18解 如图所示，不妨设纸片为长方形ABCD，AB8cm，AD6cm，其中点A在面积为S1的部分内折痕有下列三种情形：折痕的端点M，N分别在边AB，AD上；折痕的端点M，N分别在边AB，CD上；ABCD（情形）MNABCD（情形）MNABCD（情形）MN折痕的端点M，N分别在边AD，BC上（1）在情形、中MN6，故当l4时，折痕必定是情形设AMxcm，ANycm，则x2y216 2分因为x2y22xy，当且仅当xy时取等号，所以S1xy4，当且仅当xy2时取等号即S1的最大值为4 5分（2）由题意知

7、，长方形的面积为S6848 因为S1S212，S1S2，所以S116，S232 当折痕是情形时，设AMxcm，ANycm，则xy16，即y由得x8所以l，x8 8分设f(x)x2，x0，则f (x)2x，x0故x（，4）4（4，8）8f (x)0f(x)646480所以f(x)的取值范围为64，80，从而l的范围是8，4； 11分当折痕是情形时，设AMxcm，DNycm，则(xy)616，即yx由得0x所以l，0x所以l的范围为6，； 13分当折痕是情形时，设BNxcm，AMycm，则(xy)816，即y4x由得0x4所以l，0x4所以l的取值范围为8，4综上，l的取值范围为6，4 16分19

8、解（1）由题意得，m8m0，解得4m8即实数m的取值范围是(4，8) 2分（2）因为m6，所以椭圆C的方程为1设点P坐标为（x，y），则1因为点M的坐标为（1，0），所以PM2(x1)2y2x22x122x3(x)2，x， 4分所以当x时，PM的最小值为，此时对应的点P坐标为（，） 6分由a26，b22，得c24，即c2，从而椭圆C的右焦点F的坐标为(2，0)，右准线方程为x3，离心率e设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点H（x0，y0），则1，1，所以0，即kAB 9分令kkAB，则线段AB的垂直平分线l的方程为yy0(xx0)令y0，则xNky0x0x0因为F(2，0)，所以F

9、N|xN2|x03| 12分因为ABAFBFe(3x1)e(3x2)|x03|故即为定值 16分20解（1）设等差数列an的公差为d，则Snna1d，从而a1d 所以当n2时，(a1d)(a1d)即数列是等差数列 2分（2）因为对任意正整数n，k(nk)，都有2成立，所以2，即数列是等差数列 4分设数列的公差为d1，则(n1)d11(n1)d1，所以Sn1(n1)d12，所以当n2时，anSnSn11(n1)d121(n2)d122dn3d2d1，因为an是等差数列，所以a2a1a3a2，即(4d3d2d1)1(6d3d2d1)(4d3d2d1)，所以d11，即an2n1又当an2n1时，Sn

10、n2，2对任意正整数n，k(nk)都成立，因此an2n1 7分（3）设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d，bna，所以aad，即数列bn是公比大于0，首项大于0的等比数列 9分记公比为q(q0)以下证明：b1bnbpbk，其中p，k为正整数，且pk1n因为(b1bn)(bpbk)b1b1qn1b1qp1b1qk1b1(qp11)( qk11)当q1时，因为yqx为增函数，p10，k10，所以qp110，qk110，所以b1bnbpbk当q1时，b1bnbpbk当0q1时，因为yqx为减函数，p10，k10，所以qp110，qk110，所以b1bnbpbk综上，b1bnbpbk，其中p

11、，k为正整数，且pk1n 14分所以n(b1bn)(b1bn)(b1bn)(b1bn)(b1bn)(b2bn1)(b3bn2)(bnb1)(b1b2bn)(bnbn1b1)，即 16分南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 2013.0521【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分 ABPOC（第21题A）DEA选修41：几何证明选讲证明 如图，延长PO交O于D，连结AO，BOAB交OP于点E因为PA与O 相切，所以PA2PCPD 设O的半径为R，因为PA12，PC6，所以1226(2R6)，解得R9 4分因为PA，PB与O均相切

12、，所以PAPB又OAOB，所以OP是线段AB的垂直平分线 7分即ABOP，且AB2AE 在RtOAP中，AE所以AB 10分B选修42：矩阵与变换解 （1）由题知， ，即解得 4分（2）设P (x，y)是曲线C上任意一点，P 由曲线C上的点P (x0，y0) 经矩阵M所表示的变换得到，所以 ，即解得 7分因为x0y01，所以1，即1即曲线C 的方程为1 10分C选修44：坐标系与参数方程解 以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，则圆C的直角坐标方程为(x)2(y1)24，点M的直角坐标为(3，3) 3分当直线l的斜率不存在时，不合题意设直线l的方程为y3k(x3)，由圆心C(，1)

13、到直线l的距离等于半径2故2 6分解得k0或k所以所求的直线l的直角坐标方程为y3或xy60 8分所以所求直线l的极坐标方程为sin3或sin()3 10分D选修45：不等式选讲解 原不等式等价于 或 5分 解得或即4x2或3x4或x1综上，原不等式的解集为x| x1或3x2 10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分ABBCBEBDBPB（第22题）yxzF22解（1）如图，取AC的中点F，连接BF，则BFAC以A为坐标原点，过A且与FB平行的直线为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系则A(0，0，0)，B(，1，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，

14、1，1)，从而(，1，2)， (0，1，1) 设直线AE与PB所成角为，则cos|即直线AE与PB所成角的余弦值为 4分（2）设PA的长为a，则P(0，0，a)，从而(，1，a)，(0，2，a)设平面PBC的法向量为n1(x，y，z)，则n10，n10，所以xyaz0，2yaz0令z2，则ya，xa所以n1(a，a，2)是平面PBC的一个法向量 因为D，E分别为PB，PC中点，所以D(，)，E(0，1，)， 则(，)，(0，1，)设平面ADE的法向量为n2(x，y，z)，则n20，n20所以xyz0，yz0令z2，则ya，xa所以n2(a，a，2)是平面ADE的一个法向量 8分因为面ADE面PBC，所以n1n2，即n1n2(a，a，2)( a，a，2)a2a240，解得a，即PA的长为 10分23解（1）p1，p2(1) 2分（2）因为移了n次后棋子落在上底面顶点的概率为pn，故落在下底面顶点的概率为1pn于是移了n1次后棋子落在上底面顶点的概率为pn+1pn(1pn)pn 4分从而