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构造几何模型证明不等式土左旗民族中学王德生不等式的证明方法很多，但有些不等式的代数证明过程十分繁琐，能应用构造思想，构造几何模型，使代数问题在二维平面或三维空间中有具体的解释，那么不但问题轻松解决，而且还能培养学生的创新思维，激发学生的学习兴趣，积极思考探索，体验数学的微妙带给他们的乐趣。下面就高中课程中常见的几类不等式问题，我们共同探究一下应用构造几何模型证明不等式的方法。一、构造平面图形【例1】如果 a,b是正数，那么〔当且仅当a=b时取“=”〕.证明：以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C,使AC=a,CB=b.过点C作垂直于直径AB的弦CD,连结AD,DB,易证Rt△ACDRt△DCB,那么=CA·CB,即CD=，圆的半径为，显然，≥〔如图1所示〕图1图2【例2】a,b,m都是正数，并且a<b,求证：证明：以a,b为直角边作一个直角三角形ABC使得AC=b,BC=a.如图2，把两直角边同时伸长m，使得BE=BH=EF=CD=m.∵a<b,∴c<m.∴.【例3】0<a<1,0<b<1,求证：≥2.证明：作边长为1的正方形ABCD,在AB边上取点H,使AH=a,HB=1-a,在AD边上取点E,使得AE=b,ED=1-b,然后连结AL,BL,CL,DL,AC,BD.如图3所示∵AL+CL≥AC,BL+DL≥BD,AC=BD=,∴所证不等式成立。图3图4【例4】假设x,y,z>0,求证：证明：过点A作AB=x,AC=y,AD=z,使得AB,AC,AD两两成120°如图4所示.∵BC=，BD=，CD=。由三角形的性质得BC+BD>CD.所以不等式成立。二．构造空间图形【例5】证明：对任意的正实数a,b,c,不等式证：由题意，构造三棱锥P-ABC(如图5所示)，使得PA=a,PB=b,PC=c,且PA,PB,PC两两成60°,那么有AB=,BC=,CA=,在底面三角形ABC中因AB+BC>CA,所以有对一切正实数a,b,c恒成立。图5图6【例6】：f(x)=为两相异正数，求证：证明：，=。如图6所示，可构造长方体使AB=a,AJ=b,不妨设a>b,,那么有EC=f(a),EI=f(b),而在三角形ECI中，|EC-EI|<IC,即|f(a)-f(b)|<|a-b|.【例7】假设α,β,γ均为锐角，且α＋β＋γ=2,求证：tanαtanβtanγ≤.图7【证明】如图7,构造长方体设∠HBD=α,∠HBE=β,∠HBG=γ,AB=a,BC=b,BF=c,且α,β,γ满足α＋β＋γ=2,于是tanαtanβtanγ=..≤=〔当且仅当a=b=c时取等号〕.故tanαtanβtanγ≤.〔当α=β=γ时取等号〕数学研究的对象是数量关系和空间形式，“数”与“形”两者之间有着密切的联系.在一维空间，实数与数轴上的点建立了一一对应关系.在二维空间，实数对与坐标平面上的点

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