2.2022-2023学年广东省深圳实验学校八年级（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年广东省深圳实验学校八年级（下）期末数学试卷一.选择题（每题3分，共30分）1．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（）A．（2x﹣y）2＝4x2﹣4xy+y2 B．（x﹣1）（x﹣2）＝x2﹣3x+2 C．3x2+6x﹣1＝3（x+2）2﹣1 D．x2﹣16y2＝（x+4y）（x﹣4y）3．（3分）已知，则的值为（）A． B． C． D．4．（3分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．560（1+x）2＝315 B．560（1﹣x）2＝315 C．560（1﹣2x）2＝315 D．560（1﹣x2）＝3155．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，尺规作图如下：分别以点B、点C为圆心，大于BC为半径作弧，连接两弧交点的直线交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数为（）A．45° B．65° C．60° D．75° 第5题图 第6题图6．（3分）如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为（）A．32 B．16 C．8 D．47．（3分）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段BC＝4cm，则线段AC的长是（） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm8．（3分）如图，△ABC中，AC＝8，点D，E分别在BC，AC上，F是BD的中点．若AB＝AD，EF＝EC，则EF的长是（）A．3 B．4 C．5 D．69．（3分）如图，P为正方形ABCD内一点，PC＝2，将△CDP绕点C逆时针旋转得到△CBE，则PE的长是（）A．1 B． C．2 D．10．（3分）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边CD上，且DE＝1，作EF∥BC分别交AC、AB于点G、F，P、H分别是AG，BE的中点，则PH的长是（）A．2 B．2.5 C．3 D．4 第8题图 第9题图 第10题图二.填空题（每题3分，共15分）11．（3分）若m，n是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则m﹣mn+n的值是．12．（3分）如图，一次函数y＝﹣3x与y＝x+m的图象相交于点P（﹣2，6），则关于x的不等式﹣3x＞x+m的解集为． 第12题图 第13题图13．如图，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成一个大五边形，则图中∠BAC＝°．14．（3分）如图，P是▱ABCD内部的任意一点，连接AP，DP，BP，CP．若△PAB的面积为S1，△PCD的面积为S2，且S1+S2＝15，则▱ABCD的面积是． 第14题图 第15题图15．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝2，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为．三.解答题（共7题，共55分）16．（8分）解方程：（1）x2﹣4x+2＝0； （2）．17．（7分）先化简（1+）÷，再从不等式组的整数解中选一个合适的x的值代入求值．18．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（5，0），B（4，﹣3），将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA'B'，点A旋转后的对应点为A'．（1）画出旋转后的图形△OA′B′；（2）点A′的坐标是；点B′的坐标是；（3）△BOB′的形状是．19．（8分）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为acm的大正方形，2块是边长都为bcm的小正方形，5块长是acm，宽为bcm的相同的小长方形，且a＞b．（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为；（2）若图中阴影部分的面积为34cm2，大长方形纸板的周长为30cm．①求a+b的值；②求图中空白部分的面积．20．（8分）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？21．（9分）如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．（1）求证：BE＝DE；（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．①求证：矩形DEFG是正方形；②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．22．（9分）（1）【探究发现】如图①，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F．求证：四边形AFCE是菱形；（2）【类比应用】如图②，直线EF分别交矩形ABCD的边AD，BC于点E，F，将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D'，若AB＝3，BC＝4，求四边形ABFE的周长；（3）【拓展延伸】如图③，直线EF分别交平行四边形ABCD的边AD，BC于点E，F，将平行四边形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D'，若，BC＝4，∠C＝45°，求EF的长．

2022-2023学年广东省深圳实验学校八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每题3分，共30分）1．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：A．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．（3分）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（）A．（2x﹣y）2＝4x2﹣4xy+y2 B．（x﹣1）（x﹣2）＝x2﹣3x+2 C．3x2+6x﹣1＝3（x+2）2﹣1 D．x2﹣16y2＝（x+4y）（x﹣4y）【分析】根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解判断即可．【解答】解：A，B，C选项都没有写成积的形式，故A，B，C选项不符合题意；D选项，根据平方差公式写成了积的形式，故D选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了因式分解的意义，掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键．3．（3分）已知，则的值为（）A． B． C． D．【分析】利用比例的性质，进行计算即可解答．【解答】解：∵，∴3（x+3y）＝2y，∴3x+9y＝2y，∴3x＝2y﹣9y，∴3x＝﹣7y，∴＝﹣，故选：B．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．4．（3分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．560（1+x）2＝315 B．560（1﹣x）2＝315 C．560（1﹣2x）2＝315 D．560（1﹣x2）＝315【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1﹣x），第二次降价后的价格是560（1﹣x）2，据此即可列方程求解．【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：560（1﹣x）2＝315，故选：B．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．5．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，尺规作图如下：分别以点B、点C为圆心，大于BC为半径作弧，连接两弧交点的直线交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数为（）A．45° B．65° C．60° D．75°【分析】先根据题意得出MD是线段BC的垂直平分线，故可得出CD＝BD，即∠B＝∠BCD，再由∠B＝30°、∠A＝45°知∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°根据∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD可得答案．【解答】解：分别以点B、点C为圆心，大于BC为半径作的弧交BC于点M，∴MD是BC的垂直平分线，∴CD＝BD，∴∠B＝∠BCD＝30°．∵∠B＝30°，∠A＝45°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝105°﹣30°＝75°，故选：D．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．6．（3分）如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为（）A．32 B．16 C．8 D．4【分析】根据三角形的中位线定理，在三角形中准确应用，并且求证E为CD的中点，再求证EF为△BCD的中位线，从而求得结论．【解答】解：∵在△ACD中，∵AD＝AC，AE⊥CD，∴E为CD的中点，又∵F是CB的中点，∴EF为△BCD的中位线，∴EF∥BD，EF＝BD，∵BD＝16，∴EF＝8，故选：C．【点评】本题考查了三角形中位线定理和等腰三角形的性质．三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．7．（3分）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段BC＝4cm，则线段AC的长是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【分析】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【解答】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，则＝，即＝，解得：AB＝2，∴AC＝2+4＝6（cm）．故选：C．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．8．（3分）如图，△ABC中，AC＝8，点D，E分别在BC，AC上，F是BD的中点．若AB＝AD，EF＝EC，则EF的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据已知想到等腰三角形的三线合一，所以连接AF，可得AF⊥BD，再利用等角的余角相等，证明∠EAF＝∠EFA，从而得EA＝EF，即可解答．【解答】解：连接AF，∵AB＝AD，F是BD的中点，∴AF⊥BD，∴∠AFD＝90°，∴∠EAF+∠C＝90°，∠AFE+∠EFC＝90°，∵EF＝EC，∴∠EFC＝∠C，∴∠EAF＝∠AFE，∴EA＝EF，∴EF＝EA＝EC＝AC＝4，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的三线合一，添加辅助线是解题的关键．9．（3分）如图，P为正方形ABCD内一点，PC＝2，将△CDP绕点C逆时针旋转得到△CBE，则PE的长是（）A．1 B． C．2 D．【分析】由旋转的性质可得∠BCD＝∠PCE＝90°，PC＝CE＝1，由勾股定理可求解．【解答】解：∵将△CDP绕点C逆时针旋转得到△CBE，∴∠BCD＝∠PCE＝90°，PC＝CE＝2，∴PE＝＝，故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．10．（3分）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边CD上，且DE＝1，作EF∥BC分别交AC、AB于点G、F，P、H分别是AG，BE的中点，则PH的长是（）A．2 B．2.5 C．3 D．4【分析】连接CF，PF．证明FP⊥AC，则△CPF是直角三角形，利用PH是Rt△CPF斜边上的中线，可得PH＝FC，因为FC＝BE，再利用勾股定理求出BE的长即可．【解答】解：连接CF，PF．如图所示，∵四边形ABCD是边长为4的正方形．∴CB＝CD＝4，且AC平分∠BAD．∴∠BAC＝45°．∵EF∥BC．∴∠AFE＝∠ABC＝90°．∴△AFG是等腰直角三角形．∵P为AG中点．∴PF⊥AG．∴△CPF是直角三角形．∵DE＝1．∴CE＝CD﹣DE＝3．∵EF∥BC．∴四边形BCEF是矩形．∵点H为BE的中点．∴CF过点H．即点H为CF的中点．在Rt△CPF中，PH＝．∵EF＝BC＝4．∴在Rt△CEF中，CF＝．∴＝2.5．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质等，添加辅助线构造直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质是解题的关键．二.填空题（每题3分，共15分）11．（3分）若m，n是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则m﹣mn+n的值是1．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出m+n和mn的值，再代入m﹣mn+n计算即可．【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，根据根与系数的关系可得m+n＝﹣1，mn＝﹣2，∴m﹣mn+n＝﹣1﹣（﹣2）＝1．故答案为：1【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0，方程的两个根x1、x2满足，，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．12．（3分）如图，一次函数y＝﹣3x与y＝x+m的图象相交于点P（﹣2，6），则关于x的不等式﹣3x＞x+m的解集为x＜﹣2．【分析】观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系即可找出不等式﹣3x＞x+m的解集．【解答】解：∵点P（﹣2，6），∴观察函数图象可知：当x＜﹣2时，一次函数y1＝﹣3x的图象在y2＝x+m的图象的上方，∴关于x的不等式﹣3x＞x+8的解集是x＜﹣2．故答案为：x＜﹣2．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．13．（3分）如图，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成一个大五边形，则图中∠BAC＝36°．【分析】根据多边形的内角和公式计算正五边形的内角，然后计算∠BAC即可．【解答】解：∵正五边形的内角为：＝108°，∴∠BAC＝360°﹣108°×3＝36°．故答案为：36．【点评】本题考查了平面镶嵌，正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°．判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．14．（3分）如图，P是▱ABCD内部的任意一点，连接AP，DP，BP，CP．若△PAB的面积为S1，△PCD的面积为S2，且S1+S2＝15，则▱ABCD的面积是30．【分析】由面积关系可求解．【解答】解：过点P作EF⊥AB交AB于点E，交CD于点F，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∴S▱ABCD＝AB•EF，S1＝，S2＝，∵EF＝PE+PF，AB＝CD，∴S▱ABCD＝2（S1+S2）＝30，故答案为：30．【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积公式，掌握平行四边形的性质是解题的关键．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝2，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为3．【分析】作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′作A′H⊥AB于H．首先证明△ABA′是等边三角形，求出A′H，根据垂线段最短解决问题即可．【解答】解：作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′作A′H⊥AB于H．∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°，∴∠ABA′＝60°，∴△ABA′是等边三角形，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，在Rt△ABD中，AB＝＝2，∵A′H⊥AB，∴AH＝HB＝，∴A′H＝AH＝3，∵AM+MN＝A′M+MN≥A′H，∴AM+MN≥3，∴AM+MN的最小值为3．故答案为：3．【点评】本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．三.解答题（共7题，共55分）16．（8分）解方程：（1）x2﹣4x+2＝0；（2）．【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣4x＝﹣2，配方得：x2﹣4x+4＝2，即（x﹣2）2＝2，开方得：x﹣2＝±，解得：x1＝2+，x2＝2﹣；（2）去分母得：2x﹣3＝x﹣2，解得：x＝1，检验：把x＝1代入得：2（x﹣2）≠0，∴分式方程的解为x＝1．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，解分式方程，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．17．（7分）先化简（1+）÷，再从不等式组的整数解中选一个合适的x的值代入求值．【分析】首先进行分式的加减运算，进而利用分式的混合运算法则进而化简，再解不等式组，得出x的值，把已知数据代入即可．【解答】解：原式＝×＝，解不等式组得﹣2＜x＜4，∴其整数解为﹣1，0，1，2，3，∵要使原分式有意义，∴x可取0，2．∴当x＝0时，原式＝﹣3，（或当x＝2时，原式＝﹣）．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．18．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（5，0），B（4，﹣3），将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA'B'，点A旋转后的对应点为A'．（1）画出旋转后的图形△OA′B′；（2）点A′的坐标是（0，﹣5）；点B′的坐标是（﹣3，﹣4）；（3）△BOB′的形状是等腰直角三角形．【分析】（1）先作出点A、B旋转后的对应点A'，B'，顺次连接即可；（2）根据旋转后的图形得出点A'和点B'的坐标即可；（3）连接BB'，根据旋转性质即可得出△BOB'的形状即可．【解答】解：（1）作出点A、B旋转后的对应点A'，B'，顺次连接，则△OA'B'即为所求，如图所示：（2）根据图可知，点A'的坐标是（0，﹣5）；点B′的坐标是（﹣3，﹣4）．故答案为：（0，﹣5）；（﹣3，﹣4）．（3）连接BB'，根据旋转可知，OB＝OB′，∠BOB'＝90°，∴△BOB'为等腰直角三角形．故答案为：等腰直角三角形．【点评】本题主要考查了旋转作图，三角形形状的判定，解题的关键是作出旋转后对应点的坐标．19．（8分）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为acm的大正方形，2块是边长都为bcm的小正方形，5块长是acm，宽为bcm的相同的小长方形，且a＞b．（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为（a+2b）（b+2a）；（2）若图中阴影部分的面积为34cm2，大长方形纸板的周长为30cm．①求a+b的值；②求图中空白部分的面积．【分析】（1）题目中给的代数式是图形的面积，因式分解的话恰好是长方形形长与宽的乘积从而得出答案；（2）①根据长方形的周长是2（3a+3b）＝30即可得出a+b的值；②由图可得空白部分的面积是5ab，故我们可以根据第一步中求出的a+b的值，以及阴影部分的面积，即可推出空白部分的面积．【解答】解：（1）通过观察图形可以得出图形的面积是：（2a2+5ab+2b2）cm2的面积长方形的长是（2a+b）cm，宽是（a+2b），由此可得：（2a2+5ab+2b2）＝（a+2b）（b+2a），故答案为：（a+2b）（b+2a）；（2）①根据长方形的周长为30cm，可得：2（2a+b+a+2b）＝30，2（3a+3b）＝30，6（a+b）＝30，a+b＝5．答：a+b的值为5．②空白部分的面积为5abcm2，根据①得：a+b＝5，∵阴影部分的面积为34cm2，且阴影部分的面积表示为2a2+2b2，故a2+b2＝17，∵（a+b）2﹣2ab＝a2+b2，∴52﹣2ab＝17，∴ab＝4，∴5ab＝20．答：空白部分的面积为20cm2．【点评】本题考查了因式分解的应用，通过图形得出面积的表达得出等量关系是解决本题的关键，熟练掌握公式即可解决问题．20．（8分）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）设该商场节后每千克A粽子的进价为x元，根据节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克，列分式方程，求解即可；（2）设该商场节前购进m千克A粽子，总利润为w元，根据该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，列一元一次不等式，求出m的取值范围，再表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的增减性即可确定如何进货才能获得最大利润，并求出最大利润即可．【解答】解：（1）设该商场节后每千克A粽子的进价为x元，根据题意，得，解得x＝10或x＝﹣12（舍去），经检验，x＝10是原分式方程的根，且符合题意，答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元；（2）设该商场节前购进m千克A粽子，总利润为w元，根据题意，得12m+10（400﹣m）≤4600，解得m≤300，w＝（20﹣12）m+（16﹣10）（400﹣m）＝2m+2400，∵2＞0，∴w随着m增大而增大，当m＝300时，w取得最大值，最大利润为2×300+2400＝3000（元），答：该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元．【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并根据题意建立相应关系式是解题的关键．21．（9分）如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．（1）求证：BE＝DE；（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．①求证：矩形DEFG是正方形；②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．【分析】（1）根据正方形的性质证明△ABE≌△ADE（SAS），即可解决问题；（2）①作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，得到EN＝EM，然后证得∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE＝EF，根据正方形的判定即可证得矩形DEFG是正方形；②证明△ADE≌△CDG（SAS），可得AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，证明CE⊥CG，连接EG，根据勾股定理即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD，在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE；（2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，得矩形EMCN，∴∠MEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN，∵∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，∵∠ACD＝45°，∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°，∴CE⊥CG，∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝9．∵CG＝3，∴CE＝6，连接EG，∴EG＝＝＝3，∴DE＝EG＝3．∴正方形