1.1.3导数的几何意义教学设计-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

1.1.3导数的几何意义教学设计-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容本节课的教学内容选自湘教版（2019）选择性必修第二册第1.1.3节“导数的几何意义”。本节主要介绍了导数在几何上的应用，包括切线的斜率、曲线的凹凸性以及极值点等。具体内容如下：

1.切线的斜率：通过导数与切线斜率的关系，理解导数在几何上的应用。

2.曲线的凹凸性：通过导数的符号变化，判断曲线在某一点的凹凸性。

3.极值点：通过导数的零点，确定函数的极值点。

教学设计以学生为主体，注重启发式教学，引导学生通过实例分析和问题解决，深入理解导数的几何意义。核心素养目标本节课的核心素养目标主要围绕数学抽象、逻辑推理和数学建模三个维度展开。首先，通过分析导数在几何上的应用，培养学生的数学抽象能力，使学生能够从具体问题中抽象出数学模型。其次，通过探究切线斜率、曲线凹凸性和极值点等概念，培养学生的逻辑推理能力，使学生能够运用逻辑思维分析问题并得出结论。最后，通过设计问题引导学生自主探究，培养学生的数学建模能力，使学生能够运用数学知识解决实际问题。教学难点与重点1.教学重点

本节课的核心内容是导数的几何意义，具体包括切线的斜率、曲线的凹凸性和极值点等。教师需要通过实例分析和问题解决，帮助学生深入理解这些概念，并掌握它们的应用方法。

2.教学难点

（1）切线的斜率

切线的斜率是导数在几何上的一个重要应用。学生可能会对导数与切线斜率之间的关系感到困惑，难以理解为什么导数可以表示切线的斜率。为了解决这个问题，教师可以举一些具体的例子，让学生通过观察导数的符号变化来理解切线的斜率。

（2）曲线的凹凸性

曲线的凹凸性是判断曲线形态的一个重要指标。学生可能会对如何通过导数的符号变化来判断曲线的凹凸性感到困难。教师可以通过一些具体的曲线实例，引导学生观察导数的符号变化，从而理解曲线的凹凸性。

（3）极值点

极值点是函数图像中的一个重要特征，学生可能会对如何通过导数的零点来确定极值点感到困惑。教师可以通过一些具体的例子，让学生通过观察导数的零点来确定函数的极值点。教学方法与手段1.教学方法

（1）讲授法：教师通过讲解导数的几何意义，包括切线的斜率、曲线的凹凸性和极值点等概念，帮助学生理解和掌握这些核心知识点。

（2）讨论法：教师组织学生进行小组讨论，让学生通过交流和分享，深入理解导数的几何意义，并能够运用这些概念解决实际问题。

（3）实例分析法：教师通过提供具体的实例，让学生观察导数的符号变化，从而理解切线的斜率、曲线的凹凸性和极值点等概念在实际问题中的应用。

2.教学手段

（1）多媒体教学：教师利用多媒体设备，如PPT、动画等，展示导数的几何意义，使抽象的概念更加直观和易于理解。

（2）教学软件：教师使用教学软件，如几何画板、数学软件等，帮助学生进行图形操作和数据处理，加深对导数几何意义的理解和应用。

（3）在线资源：教师提供在线学习资源，如视频教程、学习网站等，让学生在课外自主学习，巩固课堂所学知识。教学流程1.导入（5分钟）

通过一个实际问题，引导学生思考如何用导数来解决问题，从而引出本节课的主题——导数的几何意义。

2.讲解（25分钟）

-切线的斜率（10分钟）

-讲解导数与切线斜率的关系，并举例说明。

-曲线的凹凸性（10分钟）

-讲解如何通过导数的符号变化来判断曲线的凹凸性，并举例说明。

-极值点（5分钟）

-讲解如何通过导数的零点来确定极值点，并举例说明。

3.实例分析（5分钟）

提供一些具体的实例，让学生通过观察导数的符号变化来解决实际问题，加深对导数几何意义的理解。

4.小组讨论（5分钟）

组织学生进行小组讨论，让学生通过交流和分享，深入理解导数的几何意义，并能够运用这些概念解决实际问题。

5.总结与作业布置（5分钟）

对本节课的内容进行总结，强调导数的几何意义，并布置相应的作业，巩固所学知识。拓展与延伸1.拓展阅读材料

（1）导数在实际应用中的例子，如物理学中的加速度、经济学中的边际成本等。

（2）高阶导数的概念和应用，如二阶导数的物理意义等。

（3）导数在微分方程中的应用，如伯努利方程等。

（4）导数在优化问题中的应用，如最速下降法等。

2.课后自主学习和探究

（1）让学生选择一个实际问题，利用导数的几何意义来解决。

（2）让学生研究导数的性质，如导数的奇偶性、周期性等。

（3）让学生探究高阶导数在实际问题中的应用。

（4）让学生研究导数在微分方程中的应用，如解微分方程等。

（5）让学生研究导数在优化问题中的应用，如求解最优化问题等。教学反思与改进本节课结束后，我将设计一些反思活动来评估教学效果，并识别需要改进的地方。首先，我将通过提问和观察学生的反应来了解他们对导数几何意义的理解和掌握程度。如果发现学生对某些概念仍然感到困惑，我将考虑使用更多的实例来解释和巩固这些概念。其次，我将通过学生的作业和课堂练习来评估他们的实际应用能力，并针对存在的问题进行个别辅导。

为了在未来的教学中进一步提高教学效果，我将制定以下改进措施：

1.提供更多的实例和练习题，以帮助学生更好地理解和应用导数的几何意义。

2.鼓励学生积极参与课堂讨论，以便他们能够提出问题和分享他们的理解。

3.设计一些小组活动，让学生在合作中学习和解决问题，以提高他们的团队合作和沟通能力。

4.利用多媒体教学工具和软件，以提供更直观和互动的教学方式，帮助学生更好地理解和掌握导数的几何意义。典型例题讲解例题1：求函数f(x)=x^2在点x=2处的切线方程。

解答：首先求出函数的导数f'(x)，得到f'(x)=2x。然后在x=2处求导数的值，即f'(2)=2*2=4。切线的斜率为4，切点坐标为(2,f(2))=(2,4)。使用点斜式方程求切线方程：y-y1=m(x-x1)，代入切点坐标和斜率得到y-4=4(x-2)，整理得到y=4x+4。

例题2：判断函数f(x)=x^3的凹凸性。

解答：首先求出函数的导数f'(x)，得到f'(x)=3x^2。因为f'(x)>0对所有x>0成立，所以函数在(0,+∞)上是凹的。因为f'(x)<0对所有x<0成立，所以函数在(-∞,0)上是凸的。

例题3：求函数f(x)=x^2-2x+1在x=1处的极值。

解答：首先求出函数的导数f'(x)，得到f'(x)=2x-2。然后在x=1处求导数的值，即f'(1)=2*1-2=0。因为f'(x)=0，所以x=1是函数的极值点。将x=1代入原函数得到f(1)=1^2-2*1+1=0，所以函数在x=1处的极值为0。

例题4：判断函数f(x)=x^3-3x的单调性。

解答：首先求出函数的导数f'(x)，得到f'(x)=3x^2-3。因为f'(x)=3x(x-1)>0对所有x>1成立，所以函数在(1,+∞)上是单调递增的。因为f'(x)=3x(x-1)<0对所有x<1成立，所以函数在(-∞,1)上是单调递减的。

例题5：求函数f(x)=x^3-3x^2+3x+1的单调递增区间。

解答：首先求出函数的导数f'(x)，得到f'(x)=3x^2-6x+3。因为f'(x)=3(x-2)(x-1/3)>0，所以函数在(1/3,2)上是单调递增的。板书设计①导数的几何意义：切线的斜率、曲线的凹凸性、极值点

②切线的斜率：f'(x)表示切线的斜率，f'(x)=m

③曲线的凹凸性：f'(x)>0时，曲线凹；f'(x)<0时，曲线凸

④极值点：f'(x)=0时，x是极值点

⑤实例分析：通过具体实例，观察导数的符号变化，理解切线的斜率、曲线的凹凸性和极值点

⑥小组讨论：引导学生进行小组讨论，分享对导数的几何意义的理解和应用作业布置与反馈1.作业布置

（1）求函数f(x)=x^2在点x=2处的切线方程。

（2）判断函数f(x)=x^3的凹凸性。

（3）求函数f(x)=x^2-2x+1在x=1处的极值。

（4）判断函数f(x)=x^3-3x的单调性。

（5）求函数f(x)=x^3-3x^2+3x+1的单调递增区间。

2.作业反馈

（1）对于作业1，批改学生求切线方程的过程，检查是否正确求出了导数和导数的值，以及是否正确使用了点斜式方程求出了切线方程。对于错误的地方，给出正确的解答过程和步骤。

（2）对于作业2，检查学生判断凹凸性的过程，确保他们正确求出了导数，并正确判断了导数的符号。对于错误的地方，指出正确的判断方法。

（3）对于作