高考数学大二轮复习 能力升级练（七）等差数列与等比数列 理-人教版高三数学试题

能力升级练(七)等差数列与等比数列一、选择题1.已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=()A.100 B.99 C.98 D.97解析设等差数列{an}的公差为d,由已知,得9a1所以a100=a1+99d=-1+99=98.答案C2.公比不为1的等比数列{an}满足a5a6+a4a7=18,若a1am=9,则m的值为()A.8 B.9 C.10 D.11解析由题意得,2a5a6=18,a5a6=9,∴a1am=a5a6=9,∴m=10.答案C3.已知各项均为正数的等比数列{an}中,a4与a14的等比中项为22,则2a7+a11的最小值为()A.16 B.8 C.22 D.4解析因为a4与a14的等比中项为22,所以a4·a14=a7·a11=(22)2=8,所以2a7+a11≥22a7a11=当且仅当a7=2,a11=4时,取等号,所以2a7+a11的最小值为8.答案B4.(2019山东淄博调研)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a6a5=911A.1 B.-1 C.2 D.1解析由于S11S9答案A5.(2019中原名校联考)若数列{an}满足1an+1-1an=d(n∈N*,d为常数),则称数列{an}为调和数列,已知数列1xn为调和数列,且x1+x2+…+x20=A.10 B.20 C.30 D.40解析依题意,11xn+1-11xn=xn+1-xn=d,∴{xn}是等差数列.又x1+x2∴x1+x20=20,从而x5+x16=x1+x20=20.答案B6.(2019北京海淀质检)中国古诗词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是()A.174斤 B.184斤 C.191斤 D.201斤解析用a1,a2,…,a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数,由题意得数列a1,a2,…,a8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996,∴8a1+8×72×17=996,解得a1=65.∴a8=65+7×17=184,即第8个儿子分到的绵是184斤答案B7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=9,S99-S55=-4,则SA.4 B.5C.6 D.4或5解析由{an}为等差数列,得S99-S55=a5-a3=2d=-4,即d=-2,由于a1=9,所以an=-2n+11,令an=-2n+11<0,得n>112答案B8.(2019上海崇明模拟)已知公比q≠1的等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,S3=3a3,则S5=()A.1 B.5C.3148 D.解析由题意得a1(1-q3)1-q=3a1q2,解得答案D9.(2019广东深圳一模)已知等比数列{an}的前n项和Sn=a·3n-1+b,则ab=(A.-3 B.-1C.1 D.3解析∵等比数列{an}的前n项和Sn=a·3n-1+b,∴a1=S1=a+b,a2=S2-S1=3a+b-a-b=2a,a3=S3-S2=9a+b-3a-b=6a,∵等比数列{an}中,a22=a1a3,∴(2a)2=(a+b)×6a,解得ab答案A二、填空题10.已知等差数列{an}的公差为2,项数是偶数,所有奇数项之和为15,所有偶数项之和为25,则这个数列的项数为.

解析设项数为2n,则由S偶-S奇=nd得,25-15=2n,解得n=5,故这个数列的项数为10.答案1011.设Sn是等差数列{an}的前n项和,S10=16,S100-S90=24,则S100=.

解析依题意,S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90依次成等差数列,设该等差数列的公差为d.又S10=16,S100-S90=24,因此S100-S90=24=16+(10-1)d=16+9d,解得d=89,因此S100=10S10+10×92d=10×16+10×92答案20012.等比数列{an}中,各项都是正数,且a1,12a3,2a2成等差数列,则a13+解析设{an}的公比为q.由题意,得a1+2a2=a3,则a1(1+2q)=a1q2,q2-2q-1=0,所以q=1+2,或q=1-2(舍).则a13+a答案2-113.(2018江苏南京模拟)已知数列{an}中,a1=2,且an+12an=4(an+1-an)(n∈N*),则其前9项的和解析由an+12an=4(an+1-an),得an+12-4an+∴(an+1-2an)2=0,an+1an=2,∴数列{an}是首项a1=2,公比为2的等比数列,∴S9=答案1022三、解答题14.已知等差数列{an}的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn,且Sk=110.(1)求a及k的值;(2)设数列{bn}的通项公式bn=Snn,证明:数列{bn}是等差数列,并求其前n项和T(1)解由题意,得a1=a,a2=4,a3=3a,∵a+3a=8,∴a1=a=2,公差d=4-2=2,∴Sk=ka1+k(k-1)2·d=2k+k由Sk=110,得k2+k-110=0,解得k=10或k=-11(舍去),故a=2,k=10.(2)证明由(1)得Sn=n(2+2n)则bn=Snn=n+1,故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)即数列{bn}是首项为2,公差为1的等差数列,所以Tn=n(15.已知数列{an}中,点(an,an+1)在直线y=x+2上,且首项a1=1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}中,b1=a1,b2=a2,数列{bn}的前n项和为Tn,请写出适合条件Tn≤Sn的所有n的值.解(1)根据已知a1=1,an+1=an+2,即an+1-an=2=d,所以数列{an}是一