河南省周口市淮阳区2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（含解析）

九年级第一学期学习评价数学（3）一．选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分）1．的值等于（

）A．1 B． C． D．22．一个口袋中装有大小和形状都相同的一个红球和一个黄球，那么“从中任意摸出一个球，得到黄球”这个事件是（

）A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．无法确定3．下列二次根式中，为最简二次根式的是（

）A． B． C． D．4．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定5．如图，在中，，，，与的相似比为（

）A． B． C． D．6．如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（

）

A．米 B．米 C．米 D．米7．四张不透明的卡片，正面标有数字分别是﹣2，3，﹣10，6，除正面数字不同外，其余都相同，将它们背面朝上洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，则这张卡片正面的数字是﹣10的概率是（

）A． B． C． D．18．如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝2，CD＝1，则△ABC的边长为（）A．3 B．4 C．5 D．69．已知数轴上A、B两点表示的数分别是方程的两个实数根，则的长为（

）A．2 B．4 C．6 D．810．如图，中，，，，，O为的中点，若点D为直线下方一点，且与相似．则下列结论：①若，与相交于点E，则点E不一定是的重心。②，则的最大值为；③若，，则的长为；④若，则当时，．其中正确的为（

）A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④二．填空题．（每题3分，共15分）11．若△ABC∽△DEF，相似比为2：3，则S△ABC：S△DEF=．12．某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，计算了某一结果出现的频率，并绘制了如下表格，则该结果发生的概率约为（精确到0.1）．试验次数100500100020004000频率13．中，，，，则．14．小颖解一元二次方程时，一次项系数印刷不清楚，查看答案为，则□代表的数为．15．如图，在正方形中，，延长至E，使，连接平分交于F，连接，则的长为．三．解答题．（本大题8小题，共75分）16．计算：(1)；(2)．17．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，(1)以原点O为位似中心，在原点左侧，将放大到原来的2倍．请你画出变化后的，并写出点的坐标；(2)画出关于x轴对称的．18．如图，正方形内接于，在斜边上．求证：．19．在中，，根据下列条件解直角三角形．(1)已知，，求及；(2)已知，，求及．20．公元前138年张骞出使西域，自长安出发，经匈奴，西行至大宛，经康居，抵达大月氏，再至大夏，最后于公元前126年返回汉朝．张骞出使西域后汉夷文化交往频繁，中原文明通过“丝绸之路”迅速向四周传播．根据古今地图对比，南南同学发现丝绸之路途经现代西安，吐鲁番，喀什等地．(1)南南爸爸想趁暑假一家人一起出游，若只能去一个地方游览，且选择三个地方的概率相等，那么南南从西安，吐鲁番，喀什三个城市中选择西安的概率是．(2)若时间充足，南南一家决定以上三个城市都去一趟，求南南一家最后一站去喀什的概率．21．如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成加如图2所示的示意图，已知点，，，均在同一直线上，，测得．（结果保留小数点后一位）

(1)连接，求证：；(2)求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）．（参考数据：）22．某超市销售一种进价为18元／千克的商品，经市场调查发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）满足一次函数关系：，超市每天的利润为w元．(1)求w与x之间的函数关系；(2)若该超市本着“尽量让顾客享受实惠”的原则销售该商品，则当时，销售单价应定为多少？23．【问题呈现】和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．

(1)如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________；(2)如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】(3)当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长．答案与解析1．B【分析】先根据特殊角的三角函数值进行化简，再进行二次根式的加法运算即可．【详解】解：，故选：B．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和二次根式的加法运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．2．B【分析】本题主要考查了事件的分类，在一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件，在一定条件下，可能发生也有可能不发生的事件叫做随机事件，在一定条件下，不会发生的事件叫做不可能事件，据此可得答案．【详解】解：∵一个口袋中装有大小和形状都相同的一个红球和一个黄球，∴“从中任意摸出一个球，得到黄球”是随机事件，故选B．3．C【分析】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念、二次根式的性质判断即可．【详解】解：A、被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；B、被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；C、是最简二次根式，符合题意；D、被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；故选：C．【点睛】4．B【分析】把a=1，b=-4，c=4代入判别式△=b2-4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．【详解】解：∵一元二次方程x2-4x+4=0，∴△=（-4）2-4×1×4=0，∴方程有两个相等的实数根．故选：B．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0，方程没有实数根．5．B【分析】考查对平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似的运用．根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；可判定与的关系是相似；然后根据和的长，可求出与的比例关系，即两三角形的相似比．【详解】解：∵，∴，∵，，∴，∴，即与的相似比为．故选：B．6．B【分析】根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案.【详解】解：小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，，米.，米.故选：B.【点睛】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义.余弦值就是在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比.7．A【分析】正面标有数字分别是﹣2，3，﹣10，6，从中随机抽取一张卡片，﹣10的个数是1，再根据概率公式直接求解即可求得概率．【详解】解：由题意可知，共有4张标有数字﹣2，3，﹣10，6的卡片，摸到每一张的可能性是均等的，其中为﹣10的有1种，所以随机抽取一张，这张卡片正面的数字是﹣10的概率是，故选：A．【点睛】本题考查概率公式，理解概率的意义，掌握概率的计算方法是正确解答的前提．8．B【分析】根据等边三角形性质求出AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，推出∠BAP＝∠DPC，即可证得△ABP∽△PCD，据此解答即可，．【详解】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，∴∠BAP+∠APB＝180°﹣60°＝120°，∵∠APD＝60°，∴∠APB+∠DPC＝180°﹣60°＝120°，∴∠BAP＝∠DPC，即∠B＝∠C，∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD；∴∵BP＝2，CD＝1，∴∴AB＝4，∴△ABC的边长为4．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△ABP∽△PCD，主要考查了学生的推理能力和计算能力.9．C【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，设A表示的数为，B表示的数为，根据数轴上A，B两点表示的数是方程的两个实数根，可得，，故．【详解】解：设A表示的数为，B表示的数为，根据数轴上A，B两点表示的数是方程的两个实数根，∴，，∴，故选：C．10．A【分析】①有3种情况，分别画出图形，得出的重心，即可求解；当，时，取得最大值，进而根据已知数据，结合勾股定理，求得的长，即可求解；③如图5，若，，根据相似三角形的性质求得，，，进而求得，即可求解；④如图6，根据相似三角形的性质得出，在中，，根据二次函数的性质，即可求的值．【详解】解：①有3种情况，如图，和都是中线，点是重心；如图，四边形是平行四边形，是中点，点是重心；如图，点不是中点，所以点不是重心；①正确

②当，如图时最大，，，，，，，②错误；

③如图5，若，，∴，，，，，，，∴，，，∴，，∴，∴③错误；④如图6，，∴，即，在中，，∴，∴，当时，为5，∴④正确．故选：A．【点睛】本题考查了三角形重心的定义，勾股定理，相似三角形的性质，二次函数的性质，分类讨论，画出图形是解题的关键．11．4：9【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．【详解】∵△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为2：3，∴S△ABC：S△DEF=（）2=4：9．故选C．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．12．【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．由表中数据可判断频率在左右摆动，于是利用频率估计概率可判断该结果发生的概率为．【详解】解：根据某一结果出现的频率统计表，估计在一次实验中该结果出现的概率为，故答案为：．13．6.【详解】由三角函数的定义和勾股定理即可求得．解：∵，．又∵，∴．∵，∴．14．【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解题的关键是根据一元二次方程解的定义，列出关于b的方程，解方程即可．【详解】解：设□代表的数为b，则一元二次方程为：，把代入得：，解得：，∴□代表的数为，故答案为：．15．##【分析】此题主要考查了正方形的判定及性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是过点作于，作于点N，首先证明为正方形，再设,则，然后证明，由相似三角形的性质求出a，进而在中由勾股定理即可求出．【详解】如图，过点作于，作于点N．∵四边形为正方形，，，∴四边形为矩形，又∵平分，，∴四边形为正方形，，设,则，，，，，，，即，解得，，，在中,，由勾股定理得，故答案为16．(1)(2)【分析】（1）先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再计算乘方，最后计算加减法即可；（2）先化简二次根式，再计算二次根式的乘除法，最后计算加减法即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．17．(1)；详见解析(2)详见解析【分析】本题主要考查了画位似图形，和轴对称图形，解题的关键是作出对应点的位置．（1）先作出点A、B、C的对应点、、，然后顺次连接即可；（2）先作出点A、B的对应点、，然后顺次连接即可．【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形，点的坐标为；（2）解：如图，即为所求作的三角形．18．详见解析【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理得到，再由正方形的性质得到，，再证明，进而证明，得到，由此即可证明．【详解】证明：∵，∴，∵四边形是正方形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．19．(1)，(2)，【分析】本题考查了解直角三角形；（1）先根据正切的定义得出，进而求得；（2）根据得出，进而根据，即可求解．【详解】（1）解：依题意得；，∴，，（2）依题意得，∴，．20．(1)(2)【分析】（1）根据概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，直接求解即可；（2）用列举法表示出所有等可能的结果，再求得最后一站去喀什的情况，根据概率公式求解即可．【详解】（1）解：∵南南从西安，吐鲁番，喀什三个城市中选择一个地方游览，∴南南从西安，吐鲁番，喀什三个城市中选择西安的概率是，故答案为．（2）解：南南一家去三个城市的顺序可能有以下6种情况：西安一吐鲁番一喀什，西安一喀什一吐鲁番，吐鲁番一喀什一西安，吐鲁番一西安一喀什，喀什一吐鲁番一西安，喀什一西安一吐鲁番．且每种出游顺序的可能性相同，最后一站去喀什有2种可能情况，∴南南一家最后一站去喀什的概率为=．【点睛】本题考查列举法求概率，熟练掌握列举法或画树状图求概率的方法是解题的关键．21．(1)见解析(2)雕塑的高约为米【分析】（1）根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理得出，进而得出，即可得证；（2）过点作，交的延长线于点，在中，得出，则，在中，根据，即可求解．【详解】（1）解：∵，∴∵即∴即∴；（2）如图所示，过点作，交的延长线于点，

在中，∴，∴∴在中，，∴（米）．答：雕塑的高约为米．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．22．(1)(2)当时，销售单价应定为30元【