专题06 正多边形和圆（3个考点六大类型）（解析版）-2024学年九年级数学上册（苏科版）

第第页专题06正多边形和圆（3个考点六大类型）【题型1正多边形与圆求角度】【题型2正多边形与圆求线段长度】【题型3正多边形与圆求半径】【题型4正多边形与圆求面积】【题型5正多边形与圆求周长】【题型6正多边形与直角坐标系综合】【题型1正多边形与圆求角度】1．（2023•青羊区校级模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，∠ADB的度数是（）A．20° B．30° C．45° D．60°【答案】B【解答】解：连接OB，∵多边形ABCDEF是正多边形，∴∠AOB＝＝60°，∴∠ADB＝∠AOB＝×60°＝30°．故选：B．2．（2023•荷塘区模拟）如图，以正五边形ABCDE的顶点A为圆心作⊙A分别与边AE、AB交于点F、G，点P是劣弧FG上一点，连接PF、PG，则∠FPG的度数为（）A．116° B．120° C．124° D．126°【答案】D【解答】解：如图所示：在⊙A上取一点A′，连接FA′，CA′，∵正五边形ABCDE，∴∠EAB＝＝108°，∴∠FA′G＝54°，∴∠FPG＝180°﹣54°＝126°．故选：D．3．（2023•惠水县一模）如图，边长相等的正五边形、正六边形的一边重合，则∠1的度数为（）A．10° B．12° C．20° D．22°【答案】B【解答】解：正五边形的内角＝108°，正六边形的内角＝120°，故∠1＝120°﹣108°＝12°．故选：B．4．（2023•渌口区二模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在弧AE上．若∠CDF＝96°，则∠FCD的大小为（）A．38° B．42° C．48° D．58°【答案】C【解答】解：如图，连接OE，OD，CE，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠CDE＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，∵∠CDF＝96°，∴∠FDE＝∠CDE﹣∠CDF＝108°﹣96°＝12°，∴∠FCE＝12°，∵正五边形ABCDE内接于⊙O，∴∠EOD＝360°÷5＝72°，∴∠ECD＝＝36°，∴∠FCD＝∠FCE+∠ECD＝36°+12°＝48°，故选：C．5．（2022秋•曲周县期末）已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数等于（）A．45° B．60° C．35° D．55°【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，连接OB、OC，∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，∴∠BOC＝＝90°，∴∠BPC＝＝45°．故选：A．6．（2023•新市区校级一模）如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为（）A．150° B．144° C．135° D．120°【答案】B【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠E＝∠A＝180°﹣＝108°．∵AB、DE与⊙O相切，∴∠OBA＝∠ODE＝90°，∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，故选：B．7．（2023•泰兴市二模）如图，正六边形ABCDEF与⊙O相切于点C、F，则∠COF＝144°．【答案】144．【解答】解：正五边形的内角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，∴∠E＝∠D＝108°，∵FE、CD分别与⊙O相切于F、C两点，∴∠OFE＝∠OCD＝90°，∴∠FOC＝540°﹣90°﹣90°﹣108°﹣108°＝144°，故答案为：144．8．（2023•南关区校级模拟）如图摆放着正五边形ABCDE和正△EFG，其中点A、B、F在同一直线上，EG∥BF，则∠DEG的度数是144°．【答案】144°．【解答】解：在正五边形ABCED中，∠BAE＝∠AED＝108°，∵EG∥BF，∴∠AEG＝∠BAE＝108°，∴∠DEG＝360°﹣108°﹣108°＝144°．故答案为：144°．9．（2023•天山区校级一模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠DAC的度数为36°．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴＝＝＝＝＝＝72°，∴∠DAC＝×72°＝36°．故答案为36°．10．（2023•霍林郭勒市校级三模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是36°．【答案】36°．【解答】解：∵正五边形ABCDE内接于⊙O，∴AE＝ED，∠AED＝＝108°，∴∠EAD＝∠ADE＝（180°﹣108°）＝36°，故答案为：36°．11．（2023•陇南模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD，则∠CBD的度数是30°．【答案】30°．【解答】解：在正六边形ABCDEF中，∠BCD＝120°，∵CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB＝（180°﹣120°）＝30°，故答案为：30°．12．（2022秋•南浔区期末）已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，则∠ABD的度数是72°．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠ABC＝∠C＝＝108°，∵CD＝CB，∴∠CBD＝＝36°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝72°，故答案为：72°．13．（2023•子洲县校级一模）如图，在正六边形ABCDEF中，延长AB交EC的延长线于点G，则∠G的度数为30°．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵ABCDEF是正六边形，∴∠D＝∠DCB＝∠ABC＝120°，∵DE＝DC，∴∠DCE＝30°，∠ECB＝∠BCG＝90°，∠CBG＝60°，∴∠G＝90°﹣60°＝30°，故答案为30°【题型2正多边形与圆求线段长度】14．（2023春•鼓楼区校级期中）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若∠ADB＝15°，则该正多边形的边数为（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【解答】解：如图，设正多边形的外接圆为⊙O，连接OA，OB，∵∠ADB＝15°，∴∠AOB＝2∠ADB＝30°，而360°÷30°＝12，∴这个正多边形为正十二边形，故选：D．15．（2022秋•烟台期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的边长为（）A． B．3 C． D．【答案】B【解答】解：连接OB、OC，如图：∵⊙O的周长等于6π，∴⊙O的半径OB＝OC＝＝3，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝＝60°，∴△BOC是等边三角形，∴BC＝OB＝OC＝3，即正六边形的边长为3，故选：B．16．（2022•成都）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的边长为（）A． B． C．3 D．2【答案】C【解答】解：连接OB、OC，如图：∵⊙O的周长等于6π，∴⊙O的半径OB＝OC＝＝3，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝＝60°，∴△BOC是等边三角形，∴BC＝OB＝OC＝3，即正六边形的边长为3，故选：C．17．（2023•苏州二模）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，过O作OM垂直AB，交AB于点M，则OM的长为．【答案】．【解答】解：如图，连接OB、OA．∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOA＝60°，OB＝OA＝1，∴△OBA是等边三角形，∴BA＝OB＝OA＝1，∵OM⊥BA，∴BM＝AM＝，在Rt△OBM中，OM＝＝，故答案为：．18．（2022秋•荔湾区校级期末）如图，已知正六边形的边心距OG为，则它的边长AB为2．【答案】2．【解答】解：如图，连接OA、OB，∵OG⊥AB，∴∠OGA＝90°，AG＝BG＝AB，∠AOB＝60°，∵OA＝OB，∴∠AOG＝∠AOB＝30°，∴AG＝OA，设AG＝x，则OA＝2x，AB＝2x，在Rt△AOG中，由勾股定理得：OA2﹣AG2＝OG2，即（2x）2﹣x2＝（）2，解得：x＝1（负值已舍去），∴AB＝2x＝2，即正六边形的边长为2，故答案为：2．19．（2022秋•甘井子区校级期末）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口，则边长a为40mm．【答案】40．【解答】解：如图，连接OC、OD，过O作OH⊥CD于H．∵∠COD＝＝60°，OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴∠COH＝90°﹣60°＝30°，∵OH⊥CD，∴CH＝DH＝CD，OH＝b＝20（mm），∴CH＝20×tan30°＝20（mm），∴a＝2CH＝40（mm），故答案为：40．【题型3正多边形与圆求半径】20．（2022秋•铜山区期中）如图，圆内接正六边形ABCDEF的周长为12cm，则该正六边形的内切圆半径为（）A．cm B．2cm C．2cm D．cm【答案】A【解答】解：连接OA，作OM⊥AB于M，得到∠AOM＝30°，∵圆内接正六边形ABCDEF的周长为12cm，∴AB＝2cm，则AM＝1cm，因而OM＝OA•cos30°＝cm．正六边形的边心距是cm．故选：A．21．（2022秋•红桥区期末）若一个正六边形的边长为2，则其外接圆与内切圆的半径分别为（）A．2，1 B．2， C．，2 D．，3【答案】B【解答】解：（1）如图，⊙O是正六边形的外接圆半径是2；（2）如图，⊙O是正六边形的内切圆，连接OA，OB，OM，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB＝60°，又∵⊙O是正六边形的内切圆，∴O1M⊥AB，∴∠OMA＝90°，AM＝BM，∠MOA＝30°，∵AB＝2，∴OM＝2，故选：B．22．（2022秋•巩义市期末）如图，已知⊙O的内接正方形ABCD的边长为1，则⊙O的半径为（）A． B． C．1 D．【答案】B【解答】解：连接OB、OC，如图所示，∵⊙O的内接正方形ABCD的边长为1，∴OB＝OC，BC＝1，∠BOC＝90°，在Rt△BOC中，OB2+OC2＝2OB2＝BC2＝1，∴OB＝．故选：B．23．（2022秋•东丽区期末）正方形边长为4，则其外接圆半径为（）A．2 B． C．4 D．【答案】B【解答】解：作OE⊥AD于E，连接OD，则AE＝DE＝2，OE＝2．在Rt△ADE中，．故选：B．24．（2022秋•开封期末）正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是24，则⊙O的半径是4．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OB，OC，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC，∵正六边形的周长是24，∴BC＝4，∴⊙O的半径是4，故答案为：4．【题型4正多边形与圆求面积】25．（2023•南山区二模）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正八边形的面积为（）​A．π B．2π C． D．【答案】D【解答】解：如图，过A作AC⊥OB于C，∵圆的内接正八边形的圆心角为＝45°，OA＝1，∴AC＝OC＝，∴S△OAB＝×1×＝，∴这个圆的内接正八边形的面积为8×＝2，故选：D．26．（2023•济源一模）如图，正六边形ABCDEF，A（﹣2，0），D（2，0），点P从点A出发，沿A→B→C→D→E→F→A以每秒1个单位长度的速度运动，当运动到第2023秒时，△AOP的面积为（）A． B． C． D．1【答案】B【解答】解：连接OE，∵六边形ABCDEF是正六边形，A（﹣2，0），D（2，0），∴OA＝OE＝OD＝2，∠EOD＝×360°＝60°，∴△EOD是等边三角形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA＝OD＝2，∵2023÷（2×6）＝168……7，∴当运动到第2023秒时，点P为ED边的中点，∴PD＝PE＝ED＝1，OP⊥ED，作PG⊥OD于点G，∵∠OPD＝90°，OD＝2，PD＝1，∴OP＝＝＝，∴S△AOP＝OA•PG＝OD•PG＝S△OPD＝OP•PD＝××1＝，故选：B．27．（2023•大冶市一模）如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m的正六边形，则地基的面积为（）A．4m2 B．12m2 C．24m2 D．24m2【答案】D【解答】解：把正六边形分成6个全等的正三角形，易得每个正三角形的边长为4m，高为2m，∴正六边形的面积为6××4×2＝24（m2），故选：D．28．（2023•宁江区二模）如图，以直角三角形的三边为边向外作正五边形，若S1＝13，S2＝5，则S3的面积为（）A．12 B．25 C．8 D．18【答案】C【解答】解：如图1，正五边形ABDEF，则∠AOM＝×＝36°，AM＝AB，在Rt△AOM中，∠OAM＝90°﹣36°＝54°，∴OM＝tan54°•AM＝AB•tan54°，∴S1＝5S△AOB＝5×AB×AB•tan54°＝，如图2，由上述解法可得，S2＝，S3＝，又∵AC2+BC2＝AB2，∴S2+S3＝S1，又∵S1＝13，S2＝5，∴S3，＝13﹣5＝8，故选：C．29．（2023•高碑店市模拟）如图，在一张正六边形纸片中剪下两个全等的直角三角形（阴影部分），拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为2，则纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为（）A．5 B．6 C．8 D．10【答案】D【解答】解：根据题意得：正六边形的面积＝6×2＝12，故纸片的剩余部分拼成的五边形的面积＝12﹣2＝10；故选：D30．（2023•惠山区校级模拟）如图，面积为6的正六边形ABCDEF中，点M，N分别为边BC，EF上的动点，则阴影部分面积为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解答】解：如图，连接AD，BE，CF，交点为O，由正六边形ABCDEF可得，EF＝AO＝DO，即，AD∥EF∥BC，设EF与AD的距离为h，则，∵，∴S△ADN＝2，同理可得S△ADM＝2，∴S阴影＝S正六边形ABCDEF﹣S△ADM﹣S△ADN＝2，故选：A．31．（2023•桓台县一模）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的面积为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：连接OB、OC，作OH⊥BC于点H，∵⊙O的周长等于6π，∴⊙O的半径为：，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴，∴△BOC是等边三角形，∴BC＝OB＝OC＝3，∴OH＝OB•sin∠OBC＝3×＝，∴＝，∴，故选：D．32．（2023•温州二模）如图，菱形花坛ABCD的边长为9米，∠B＝60°，其中由两个正六边形组成的部分种花，则种花部分的面积为27米2．【答案】27．【解答】解：如图，设正六边形EFGHMN的中心为O，过点O作OP⊥EF于P，∵四边形ABCD是菱形，其边长为9米，∠B＝60°，而六边形EFGHMN是正六边形，∴EF＝OE＝OF＝3米，∠EOF＝60°，∴OP＝OE＝（米），∴S正六边形EFGHMN＝6S△EOF＝6××3×＝（平方米），∴两个正六边形的面积为27平方米，故答案为：27．33．（2022秋•碑林区校级期末）如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE长为4，则△BDE的面积为2．【答案】2．【解答】解：在正六边形ABCDEF中，∠CDE＝∠C＝∠DEF＝120°，CD＝CB，∴∠CDB＝∠CBD＝30°，∴∠BDE＝90°，由题意得，∠DEB＝60°，∴∠DBE＝30°，∵DE＝2，∴BD＝2，∴△BDE的面积＝DE•BD＝×2×2＝2，故答案为：2．【题型5正多边形与圆求周长】34．（2023春•余姚市期中）一个边长为1的正多边形的每个外角的度数是36°，则这个正多边形的周长是（）A．1 B．10 C．5 D．【答案】B【解答】解：由题意，得多边形边数为360÷36°＝10，∴正多边形为正十边形，∵边长为1，∴正六边形的周长为10，故选：B．35．（2022秋•开封期末）一个正多边形的边长是3，从一个顶点可以引出4条对角线，则这个正多边形的周长是（）A．12 B．15 C．18 D．21【答案】D【解答】解：∵经过多边形的一个顶点有4条对角线，∴这个多边形有4+3＝7条边，∴这个正多边形的周长是7×3＝21，故选：D．36．（2022秋•北辰区校级期末）边心距为3的正六边形的周长为（）A．18 B． C． D．【答案】B【解答】解：如图，正六边形ABCDEF的中心为点O，边心距为3，连接OA、OB，作OG⊥AB于点G，则OG＝3，∠OGA＝90°，∵OA＝OB，∠AOB＝×360°＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴∠OAB＝60°，∴＝sin∠OAB＝sin60°＝，∴AB＝OA＝＝＝2，∴正六边形的周长为6AB＝6×2＝12，故选：B．37．（2022秋•南沙区校级期末）已知有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，则此地基的周长为（）A．12m B．12m C．24m D．24m【答案】C【解答】解：如图，连接OA、OB，则OA＝OB，∵正六边形的边长为4m，∴OA＝OB＝4m，∠AOB＝360°÷6＝60°，∴△OAB是等边三角形，∴AB＝OA＝4m，∴地基的周长为4×6＝24m，故选：C．38．（2023春•和平区校级月考）如图，已知正六边形的边心距为3，则它的周长是（）A．6 B．12 C． D．【答案】D【解答】解：如图，过点O作OM⊥CD于点M，由题意得：边心距OM＝3，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴，∴△COD是等边三角形，∴OC＝CD＝2CM，∴，∴，解得，则正六边形ABCDEF的周长为，故选：D．39．（2022•新昌县校级模拟）一个正多边形的边长为2，每个内角为135°，则这个多边形的周长是（）A．8 B．14 C．16 D．20【答案】C【解答】解：∵正多边形的每个内角为135°，∴每个外角是180°﹣135°＝45°，∵多边形的边数为：360÷45＝8，则这个多边形是八边形，∴这个多边形的周长＝2×8＝16，故选：C．40．（2023•钦州一模）如图，若一个正六边形的对角线AB的长为10，则正六边形的周长（）A．5 B．6 C．30 D．36【答案】C【解答】解：如图，连接CD、EF，则点O是正六边形ACEBDE的中心，∵正六边形ACEBDE，∴∠AOC＝∠COE＝∠EOB＝∠BOD＝∠DOF＝∠FOA＝＝60°，∵OA＝OC＝OE＝OB＝OD＝OF，∴△AOC是正三角形，∴AC＝AB＝5，∴正六边形ACEBDF的周长为5×6＝30，故选：C．41．（2023•鼓楼区模拟）下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最小的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积．故选：A．42．（2022秋•河西区期末）六个带30°角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为10，求中间正六边形的周长．【答案】60．【解答】解：如图，∵△ABG≌△BCH，∴AG＝BH，∵∠ABG＝30°，∴BG＝2AG，即BH+HG＝2AG，∴HG＝AG＝10，∴中间正六边形的周长＝6×10＝60，故答案为：60．43．（2023•苏州模拟）已知正六边形的半径为，则它的周长＝6．【答案】6．【解答】解：∵正六边形的半径等于边长，∴正六边形的边长，正六边形的周长l＝6a＝6，故答案为：6．44．（2023•青海模拟）等宽曲线是这样的一种几何图形，它们在任何方向上的直径（或称宽度）都是相等的．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，边长为半径画弧则弧AB，弧BC弧AC组成的封闭图形就是“莱洛三角形”．莱洛三角形是“等宽曲线”，用莱洛三角形做横断面的滚子，能使载重物水平移动而不至于上下颠簸，若AB＝3，