第03讲 确定圆的条件（知识解读+真题演练+课后巩固）（解析版）-2024学年九年级数学上册（苏科版）

第第页第03讲确定圆的条件掌握不在一条直线上的三点确定一个圆,掌握不在同一直线上的三个点作圆的方法。能画出三角形的外接圆,了解三角形的外心。知识点1：确定圆的条件1.过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。知识点2：三角形的外接圆与外心1.三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。2.三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。【题型1确定圆的条件】【典例1】（2022秋•广平县期末）下列条件中，能确定一个圆的是（）A．经过已知点M B．以点O为圆心，10cm长为半径 C．以10cm长为半径 D．以点O为圆心【答案】B【解答】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆，∴B选项正确，故选：B．【变式1-1】（2022秋•沙坪坝区校级月考）下列条件中能够确定一个圆的是（）A．已知圆心 B．已知半径 C．已知三个点 D．过一个三角形的三个顶点【答案】D【解答】解：确定一个圆的条件是圆心和半径，过一个三角形的三个顶点即可确定一个圆，故选：D．【变式1-2】（2021秋•凤山县期末）经过不在同一直线上的三个点可以作圆的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．无数【答案】A【解答】解：经过不在同一直线上的三点确定一个圆．故选：A．【变式1-3】（2020秋•绵竹市期末）过A、B、C三点能确定一个圆的条件是（）①AB＝2，BC＝3，AC＝5；②AB＝3，BC＝3，AC＝2；③AB＝3，BC＝4，AC＝5．A．①② B．①②③ C．②③ D．①③【答案】C【解答】解：①AB+BC＝AC，即A、B、C三点共线，不能确定一个圆；②AB＝BC，以A、B、C三点为顶点的等腰三角形，有外接圆；③A、B、C三点为顶点的直角三角形，有外接圆．故选：C．【题型2根据点判断圆的个数】【典例2】（吴兴区校级一模）平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（）A．0或3或4 B．0或1或3 C．0或1或3或4 D．0或1或4【答案】C【解答】解：如图，当四点在同一条直线上时，不能确定圆，当四点共圆时，只能作一个圆，当三点在同一直线上时，可以作三个圆，当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆．故选：C．【变式2】（秋•东台市期中）如图，点A、B、C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四个点中的任意3个，能画的圆有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解答】解：∵点A、B、C在同一条直线上，∴经过点A、B、D，或点A、C、D，或点B、C、D分别能画一个圆，故选：C．【题型3根据点的位置确定圆心】【典例3】（2023•城区二模）如图，在5×5的正方形网格中（小正方形的连长为1），有6个点A、B、C、D、E、F，若过A、B、C三点作圆O，则点D、E、F三点中在圆O外的有（）个．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解答】解：连接AC，OD，OE，∵△ABC是直角三角形，∴△ABC外接圆的圆心是Rt△ABC斜边的中点，设圆心为O，半径是r，如图所示，∵AC＝＝2，∴r＝AC＝，∵OD＝OE＝＝，∴OD＝OE＝r，∴D、E在圆上，∵OF＝3，∴OF＞r，∴F在圆外，∴点D、E、F三点中在圆O外的有一个．故选：B．【变式3-1】（2023•保定一模）如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（）A．△ACE B．△ABD C．△ACD D．△BCE【答案】D【解答】解：由勾股定理得：PC＝PE＝PB＝＝，∴P到B、C、E的距离相等，∴P是△BCE的外心．故选：D．【变式3-2】（2021•阳新县校级模拟）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】A【解答】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：A【题型4判断三角形的外接圆的圆心】【典例4】（2023春•泰山区校级期中）如图中△ABC外接圆的圆心坐标是（）A．（5，1） B．（4，2） C．（5，2） D．（5，3）【答案】C【解答】解：△ABC外接圆圆心的坐标为（5，2）．故选：C．【变式4-1】（秋•龙口市期末）如图，点A，B，C都在格点上，△ABC的外接圆的圆心坐标为（）A．（5，2） B．（2，4） C．（3，3） D．（4，3）【答案】A【解答】解：作AB和BC的垂直平分线相交于点P，从而得到P点坐标．∴P（5，2）．故选：A．【变式4-2】（2022秋•姑苏区校级期中）过三点A（2，2），B（6，2），C（2，4）的圆的圆心坐标为（）A．（4，5） B．（4，3） C．（5，4） D．（5，3）【答案】B【解答】解：如图，∵A（2，2），B（6，2），C（2，4），∴△ABC是直角三角形，∴BC的中点O的坐标为（4，3），∴过三点A（2，2），B（6，2），C（2，4）的圆的圆心坐标为（4，3），故选：B．【变式4-3】（2022秋•承德县期末）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C．D、E、F在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（）A．点D B．点E C．点F D．点G【答案】A【解答】解：根据题意可知，点D是△ABC外心．故选：A．【题型5根据三角形外接圆的性质求角度】【典例5】（2022秋•西峡县校级期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，则∠BOC的大小为（）A．40° B．30° C．80° D．100°【答案】D【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°．故选：D．【变式5-1】（2022秋•信都区校级期末）如图，点O是△ABC的外接圆的圆心，若∠A＝80°，则∠BOC为（）A．100° B．160° C．150° D．130°【答案】B【解答】解：∵点O是△ABC的外接圆的圆心，∴∠A、∠BOC同对着，∵∠A＝80°，∴∠BOC＝2∠A＝160°，故选：B．【变式5-2】（2023•瑞安市开学）如图，△ABC内接于⊙O，CA＝CB，若∠A＝70°，则的度数为（）A．40° B．60° C．80° D．100°【答案】C【解答】解：∵CA＝CB，∠A＝70°，∴∠A＝∠B＝70°，∴∠C＝180°﹣2×70°＝40°，∴的度数为80°，故选：C．【题型6根据三角形外接圆的性质求线段长度】【典例6】（2023•沙坪坝区校级一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝120°，，则⊙O的半径为（）A．4 B． C． D．【答案】A【解答】解：在弦AC所对优弧上取一点D，连接DA，DC，作OH⊥AC于H，∴AH＝AC＝×4＝2，∵∠D+∠ABC＝180°，∴∠D＝180°﹣∠ABC＝180°﹣120°＝60°，∴∠AOC＝2∠D＝120°，∵∠AOH＝∠AOC＝60°，∴sin∠AOH＝＝，∴AO＝4，∴⊙O的半径为4．故选：A．【变式6-1】（2023•青岛一模）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB＝6，则⊙O的半径是（）​A．3 B． C． D．【答案】C【解答】解：连接OB，过点O作OE⊥BC，∵⊙O是等边△ABC的外接圆，∴OB平分∠ABC，∴∠OBE＝30°，又∵OE⊥BC，∴BE＝BC＝AB＝3，在Rt△OBE中，cos30°＝，∴＝，解得OB＝2，故选：C．【变式6-2】（2023•金牛区校级模拟）如图，△ABC内接于圆O，圆O的半径是6，∠BAC＝60°，OD⊥BC于点D，则线段BC的长度是（）A．3 B．3 C．6 D．6【答案】D【解答】解：连接OB，OC，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵OB＝OC，OD⊥BC，∴∠DOC＝∠BOC＝60°，BC＝2CD，在Rt△OCD中，OC＝6，∴CD＝OC•sin60°＝6×＝3，∴BC＝2CD＝6，故选：D．【变式6-3】（2022秋•海港区校级期末）如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O半径为（）A．3 B．8 C．2 D．10【答案】A【解答】解：连接AO，并延长交⊙O于点D，连接BD，∵∠C＝45°，∴∠D＝45°，∵AD为⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠DAB＝∠D＝45°，∵AB＝6，∴BD＝6，∴AD＝＝＝6，∴⊙O的半径AO＝＝3．故选：A．【变式6-4】（2022•博望区校级开学）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，求CD的长．【答案】．【解答】解：如图，连接OA，OC．∵∠COA＝2∠CBA＝2×45°＝90°，在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC＝＝＝2．∵CD⊥AB，∠CAB＝30°，∴CD＝AC＝．1．（2022•杭州）如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC＝θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（）A．cosθ（1+cosθ） B．cosθ（1+sinθ） C．sinθ（1+sinθ） D．sinθ（1+cosθ）【答案】D【解答】解：当△ABC的高AD经过圆的圆心时，此时△ABC的面积最大，如图所示，∵A′D⊥BC，∴BC＝2BD，∠BOD＝∠BA′C＝θ，在Rt△BOD中，sinθ＝，cosθ＝∴BD＝sinθ，OD＝cosθ，∴BC＝2BD＝2sinθ，A′D＝A′O+OD＝1+cosθ，∴A′D•BC＝×2sinθ（1+cosθ）＝sinθ（1+cosθ）．故选：D．2．（2021•西藏）如图，△BCD内接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交⨀O于点A，连接AC，则∠OAC的度数为（）A．40° B．55° C．70° D．110°【答案】B【解答】解：连接OB，OC，∵∠D＝70°，∴∠BOC＝2∠D＝140°，∵OA⊥BC，∴∠COA＝，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣70°）＝55°，故选：B．3．（2020•赤峰）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为（）A．3π B．4π C．6π D．9π【答案】D【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴BD＝CD，AD⊥BC，∵EF是AC的垂直平分线，∴点O是△ABC外接圆的圆心，∵OA＝3，∴△ABC外接圆的面积＝πr2＝π×32＝9π．故选：D．4．（2020•陕西）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（）A．55° B．65° C．60° D．75°【答案】B【解答】解：连接CD，∵∠A＝50°，∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，∵E是边BC的中点，∴OD⊥BC，∴BD＝CD，∴∠ODB＝∠ODC＝BDC＝65°，故选：B．5．（2022•黑龙江）如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为3cm．C为⊙O上一点，∠ACB＝60°，则AB的长为3cm．【答案】3．【解答】解：连接AO并延长交⊙O于点D，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∵∠ACB＝60°，∴∠ADB＝∠ACB＝60°，在Rt△ABD中，AD＝6cm，∴AB＝AD•sin60°＝6×＝3（cm），故答案为：3．6．（2022•玉林）如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来△ABD，△ACD，△BCD．【答案】见试题解答内容【解答】解：由图可知：OA＝，OB＝，OC＝，OD＝，OE＝，∴OA＝OB＝OC＝OD≠OE，∴△ABD，△ACD，△BCD的外心都是点O，故答案为：△ABD，△ACD，△BCD．7．（2020•黑龙江）如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝40°，则∠ACB＝50°．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接BD，如图，∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠D＝90°﹣∠BAD＝90°﹣40°＝50°，∴∠ACB＝∠D＝50°．故答案为50．8．（2020•黑龙江）如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA＝50°，则∠ADB＝50°．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，∴点A，B，C，D在⊙O上，∵∠BCA＝50°，∴∠ADB＝∠BCA＝50°，故答案为：50．1．（2021秋•义乌市期末）下列条件中，能确定一个圆的是（）A．以点O为圆心 B．以10cm长为半径 C．以点A为圆心，4cm长为半径 D．经过已知点M【答案】C【解答】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆，∴C选项正确，故选：C．2．（2022•绥中县一模）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．① B．② C．③ D．均不可能【答案】A【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：A．3．（2022•长安区校级模拟）下列条件中不能确定一个圆的是（）A．圆心与半径 B．直径 C．三角形的三个顶点 D．平面上的三个已知点【答案】D【解答】解：A、已知圆心和半径能确定一个圆；B、已知直径能确定一个圆；C、已知三角形的三个顶点，可以确定一个圆；D、平面上的三个已知点不能确定一个圆．故选：D．4．（2022秋•河西区校级期末）下列说法错误的是（）A．已知圆心和半径可以作一个圆 B．经过一个已知点A的圆能作无数个 C．经过两个已知点A，B的圆能作两个 D．经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能作一个圆【答案】C【解答】解：A、已知圆心和半径可以作一个圆，说法正确，故不符合题意．B、只有确定圆心和半径才能确定一个圆，所以经过一个已知点A的圆能作无数个，说法正确，故不符合题意．C、只有确定圆心和半径才能确定一个圆，到A、B两点的距离相等的点有无数个，这些点在以A、B为端点的线段的垂直平分线上，所以已知点A，B的圆能作无数个，说法错误，故符合题意．D、过不在同一直线上的三个点A、B、C能作出三条线段，这三条线段的垂直平分线相交于一点，这个点到A、B、C三点的距离相等．所以经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能作一个圆，说法正确，故不符合题意．故选：C．5．（2022秋•抚松县期末）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝45°，则∠BOC的度数为（）A．45° B．60° C．75° D．90°【答案】D【解答】解：∵∠A是所对的圆周角，∠BOC是所对的圆心角，∠A＝45°，∴∠BOC＝2∠A＝2×45°＝90°．故选：D．6．（2022秋•渝北区期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，若⊙O的半径为4，则弦BC的长为（）A．6 B． C． D．【答案】C【解答】解：过点O作OD⊥BC，垂足为D，∴∠ODB＝90°，BC＝2BD，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣∠BOC）＝30°，∵OB＝4，∴OD＝OB＝2，∴BD＝＝＝2，∴BC＝2BD＝4，故选：C．7．（2023•邢台一模）如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F，O均在格点上．下列三角形中，外心不是点O的是（）A．△ABC B．△ABD C．△ABE D．△ABF【答案】C【解答】解：∵OA＝OB＝＝，OE＝2，∴OA＝OB≠OE，∴点O不是△ABE的外心，故选：C．8．（2022秋•江岸区校级期末）如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3）、B（﹣2，﹣2）、C（4，﹣2），则△ABC外接圆半径的长为（）A． B． C． D．【答案】见试题解答内容【解答】解：分别作线段AB、BC的垂直平分线交于点M，则M（1，0），根据三角形的外心的性质可知，点M是△ABC外接圆的外心，则△ABC外接圆的半径为：＝，故选：D．9．（2023•滨海新区模拟）边长为1的正三角形的外接圆的半径为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：如图，连接OB，作OD⊥BC，∵BC＝1，∴BD＝BC＝×1＝，∵△ABC是等边三角形，∴∠OBD＝30°，∴OD＝BO，∵OB2＝OD2+BD2，∴4OD2＝OD2+，解得：OD＝，∴OB＝2OD＝，故选：C．10．（2022秋•易县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为（2，1），半径为．【答案】（2，1），．【解答】解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3），连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图，∴Q点的坐标是（2，1），∴A点的坐标是（0，2），∴圆弧的半径为＝．故答案为：（2，1），．11．（2021秋•东光县期中）经过两点可以做无数个个圆，不在同一直线的三个点可以确定一个圆．【答案】无数个，三．【解答】解：经过两点可以做无数个个圆，不在同一直线的三个点可以确定一个圆．故答案为：无数个，三．12．（2023•大埔县开学）如图所示，在△ABC中，CE，BD分别是AB，AC边上的高，求证：B，C，D，E四点在同一个圆上．【答案