浙江省强基联盟2024届高三下学期3月联考数学试题含解析

有一项是符合题目要求的.1.已知集合S={xlx>-2},T={x|x²+3x-4≤0},则S?T【分析】由一元二次不等式的解法和交集的运算得出即可【详解】T={xlx²+3x-4≤0}={xl-4≤x≤1},所以S?T{x|-2<x?1}[-2,1],【分析】利用复数的四则运算法则即可得出结论.故选：B.加，则不同的安排方式有()A.20种B.10种C.8种D.6种【分析】根据排列数的定义和公式，即可求解.【详解】由题意可知，从除甲和乙之外的3人中选2人，安排2天的活动，有A³=6种方法A.7Inx+Iny=7+7lnyB.7In(x+y)=7【分析】A、B、C选项可用赋值法判断正误，D选项根据指数与对数计算法则判断【详解】设x=1,y=2则7Inl+In²=7n²≠1+7n²,A错误；7¹m(+2)=7m³≠7ln¹.7n²,B错误；71nHm²=1≠7m¹+71m²,C错误；71n(v)=7lnx+lny=7ln.7lny,D正确.故选：D.5.若,则“xcos²x<1”是“xcosx<1”的()【分析】构建函数f(x)=sinx-xcosx,利用导数结合三角函数性质可得进而分析判断.【详解】设f(x)=sinx-xcosx,f'(x)=cosx-(cosx-xsinx)=xsinx,当时f”(x)>0,可知内单调递增，且f(O)=0,所以当0时，1>sinx>xcosx>xcos²x恒成立，故若,则“xcos²x<1”是“xcosx<1”的充分必要条件故选：C.6.(1+x)⁶(1-x)⁴的展开式中，x⁶的系数为()【分析】先将原式化为(1+2x+x²)(1-x²)*,,再用二项式通项计算即可【详解】(1+x)⁶(1-x)⁴=(1+x)²(1-x²)=(1+2x+x²)(1-x²)",1-x²)的通项为T=C⁴(-1)^x²K前面括号内出1时，令2k=6→k=3,此时C3(-1)²=-4;前面括号内出2x时，k无解，前面括号内出x²时，令2k=4→k=2,此时C²(-1)²=6,故选：A.数f(x)()A.以π为周期B.最大值是1C.在区间上单调递减D.既不是奇函数也不是偶函数【分析】利用赋值法，分别令x=0,y=t,,,,得到逐项判断.【详解】解：令x=0,y=t,得f(t)+f(-t)=2cost,令,得f(π+1)+f()=0,,,,得f(π+t)+f(-t)=-2sint,由以上3式，得f(t)=sint+cost,则f(x)的周期为T=2π,故A错误；f(x)的最大值为√2,故B错误；故f(x)的在区间上不单调递减，故C错误；因为所以f(-x)≠f(x),且f(-x)≠-f(x)所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故D正确.故选：D.8.设点A,B,C是抛物线y²=4x上3个不同的点，且AB⊥AC,若抛物线上存在点D,使得线段AD总被直线BC平分，则点A的横坐标是()【分析】说明直线BC过定点E(4+x,,-yo),并求出A关于点E的对称点代入抛物线即可求解.,【详解】设,贝...故直线BC方程为：整理得(yi+y₂)y=4x+yiy₂,①由ABLAC得整理符(x+y)%+X)₂+5&+16=0.②由①②两式得(yi+y₂)(y+yo)=4(x-4-x₀),即直线BC过点E(4+x₀,-y₀)A关于点E的对称点即为点D(8+x₀,-3y₀)在抛物线上，代入得4(8+x₀)=9y3=36x,,解得x=1.9.有两组样本数据：Xj,x₂,…,X₂024;y₁,y₂,…,Yzo₂4.其中y;=x;+2024(i=1,2,…,2024),则这两组样本数据的()A.样本平均数相同B.样本中位数相同C.样本方差相同D.样本极差相同【分析】根据题意，求出两组数据的平均数、方差、中位数和极差，依次分析选项即可得答案.【详解】根据题意，对于数据X₁,X₂,L,X₂024假设x₁<X,<…<X2024设其平均数为文、中位数为m、方差为S²、极差为n,,又由y,=x;+2024(i=1,2,L,2024)设其平均数为Y、中位数为m'、方差为s²、极差为n'n¹=y₂24-y₁=(x₂o₂₄+2024)-(x₁+202故这两组样本数据的方差相同、极差也相同，平均数和中位数不同.10.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,()则B.若(sinB-sinC)²=sin²A-sinBsinC,则C.若a,b,c成等比数列，则【解析】【分析】利用正弦定理、余弦定理边角互化，结合三角恒等变换逐一判断即可.,选项B:若sin²B-2sinBsinC+sin²C=sin²则由正弦定理整理可得a²=b²+c²-bc,,,选项C:若a,b,c成等比数列，则b²=ac,根据余弦定理可得当所以C说法正确；选项D:若a,b,c成等差数列，则2b=a+c；11.已知正方体ABCD-A,B,C,D棱长为2,过棱CC,A₁D₁,AB₁的中点作正方体的截面，则C.截面多边形存在外接圆在平面与平面ABCD所成角.【详解】连QR,延长交直线CD₁,C₁B,的延长线于点F,E,连PF交DD于N,连PE交BB于M,连QN,RM得到截面五边形PNQRM,连接P与FE的中点O.CFCFNAAMMFPP由Q,R为中点，故A正确.,,.截面多边形的面积为故B正确.VPNQ与。PMN是公用一个顶点的全等三角形，两个三角形的外心不重合，所以这个五边圆，故C错误根据二面角定义可知∠AOP为截面与底面所成角，故选AB.12.已知向量a=(2,1),b=(2t,4),若a⊥b,则实数t=.故D错误.【分析】依题意可得a·b=0,根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.【详解】因为a=(2,1),b=(2t,4)且a⊥b所以a·b=2×2t+1×4=0,解得t=-1.13.点P(3,a)关于直线x+y-a=0的对称点在圆(x-2)²+(y-4)²=13内，则实数a的取值范围是【答案】4<a<10【分析】首先求对称点，再根据点与圆的位置关系，列式求解.【详解】设点P(3,a)关于直线x+y-a=0的对称点为(x,y),,得,得则又题意可知，(0-2)²+(a-3-4)²<13,解得：4<a<10.故答案为：4<a<10,进,进而得出a,;当λ=μ=1时，由题目中的递推关系式可得a>a,可求解.【详解】当λ=0,μ=-2时，a₁=2(a,-1),即a-2=2(a,-2)则数列{a,-2}是以为首项，2为公比等比数列所以当λ=μ=1时，a=a?-(a₁-1),即a-1=a,(an-1),且an-a=(a₁-1)²≥0,,,a所以,,.所以.贝【点睛】关键点点睛：本题考查函数与数列的综合，数列的通项公式及前n项和.利用构造法即可求解第四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数f(x)=sinx-√3cosx.(2)求函数y=f(x)·sinx的单调递增区间【答案】(1)【分析】(1)将代入化简即可得出答案；(2)化简y=f(x)sinx,求的单调递增区间即求【小问1详解】的单调递减区【小问2详解】求的单调递增区间即求的单调递减区间，223对与否互不影响.若两人都猜对，则得3分；若仅一人猜对，则得1分；若两人都没猜小强每轮猜对的概率是小基每轮猜对的概率是各轮结果互不影响.(1)求“联盟队”猜对4个灯谜的概率；(2)求“联盟队”两轮得分之和X的分布列和数学期望【解析】【分析】(1)题意可知小强和小基两位同学两轮猜谜都猜对，根据独立重复事件计算方式计算即可；(2)“联盟队”两轮得分之和X=0,1,2,3,4,6,根据独立重复事件计算方式计算这6种情况概率即可.【小问1详解】【小问2详解】X012346P面ABCD,QA=QD,点M是AD的中点.))NDMBA(1)证明：QM⊥BD求四棱锥Q-ABCD的体积.【答案】(1)证明见解析或可得结论(2)方法一：取BC中点F,作MG⊥QF,由线面垂直的性质和判定可证得MG⊥平面QBC,由角定义可知QM,代入棱锥体积公式可求得结果.【小问1详解】∵MAD中点，QA=QD,∴QM⊥AD平面QAD⊥平面ABCD,平面QAD∩平面ABCD=AD,QMC平面QADQM⊥平面ABCD,又BDC平面ABCD,∴QM⊥BD.【小问2详解】DDNCMBA∵M,F分别为AD,BC中点，AB//CD,∴MF//AB,又BC⊥AB,∴MF⊥BC由(1)知：QM⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,∴QM⊥BC∵QM,MFC平面QMF,QM∩MF=M,∴BC⊥平面QMFMGC平面QMF,∴BC⊥MG又MG⊥QF,QF∩BC=F,QF,BCC平面QBC,∴MG⊥平面QBC,∴直线MN与平面QBC所成角为∠MNG,设QM=a(a>0),.,,,当综上所述：四棱锥Q-ABCD的体积为方法二：取BC中点F,连接MF,∵M,F分别为AD,BC中点，AB//CD,∴MFIIAB,又BC⊥AB,∴MF⊥BC;由(1)知：QM⊥平面ABCD,,NCBBMAy设QM=a(a>0),.,,.设平面OBC的法向量n=(x,y,z),则令x=2a,解得：y=0,z=-3,∴n=(2a,0,-3);综上所述：四棱锥Q-ABCD的体积为(1)求椭圆G的离心率(2)若PA⊥PA₂,求点P的坐标.(3)若直线PA₁和直线PA₂分别交椭圆G于B,C两点，请问：直线BC是否过定点?若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由【分析】(1)直接由定义求出即可；(2)设出坐标，结合已知条件由射影定理求出即可；(3)两次利用直曲联立，表示出点B,C的坐标和直线BC的斜率，由点斜式写出直线BC方程，出直线过的顶点.【小问1详解】【小问2详解】**P设P(2,p),直线x=2交x轴于点Q,由PA⊥PA₂,∴|PQP=|QA|·QA₂|=5【小问3详解】**C9xO设B(xj,yi),C(x₂,y₂) . l₄:y=-p(x-3)代入x²+9y²=9得：A=(54p²)⁴-4×(9p²+1)×(81p²:.:即直线BC方程为19.已知函数(1)当时，记函数f(x)的导数为f'(x),求f'(O)的值.(2)当a=1,x≥1时，证明：同，记g(m)+g(n)的最小值为h(a),求h(a)的最小值.注：e=2.71828…是自然对数底数).【答案】(1)f^(0)=1得到【分析】(1),然后求导后求解；(2)当x≥1时，利用导数法证明；(3)求导g(x)=-(e²-a)(e-1),由g'(m)=g'(n),得到e"+e*=a+1,从而得到【小问1详解】【小问2详