内蒙古通辽市名校2023-2024学年中考一模数学试题含解析

内蒙古通辽市名校2023-2024学年中考一模数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列计算正确的是（）A．（﹣8）﹣8=0 B．3+3=33 C．（﹣3b）2=9b2 D．a6÷a2=a32．某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（）A．10，15 B．13，15 C．13，20 D．15，153．下列各式正确的是()A． B．C． D．4．如图，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)、B(4，2)、C(4，4)．若反比例函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是()A．1≤k≤4 B．2≤k≤8 C．2≤k≤16 D．8≤k≤165．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是()A． B． C． D．6．如图，点C、D是线段AB上的两点，点D是线段AC的中点．若AB=10cm，BC=4cm，则线段DB的长等于（）A．2cm B．3cm C．6cm D．7cm7．图1～图4是四个基本作图的痕迹，关于四条弧①、②、③、④有四种说法：弧①是以O为圆心，任意长为半径所画的弧；弧②是以P为圆心，任意长为半径所画的弧；弧③是以A为圆心，任意长为半径所画的弧；弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧；其中正确说法的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．18．已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠1）的图象如图所示，下列结论中：①abc>1；②b+2a=1；③a-b<m（am+b）（m≠-1）；④ax2+bx+c=1两根分别为-3，1；⑤4a+2b+c>1．其中正确的项有()A．2个 B．3个 C．4个 D．5个9．已知am=2，an=3，则a3m+2n的值是（）A．24 B．36 C．72 D．610．一个几何体的三视图如图所示，该几何体是A．直三棱柱 B．长方体 C．圆锥 D．立方体二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．对于函数，我们定义（m、n为常数）．例如，则．已知：．若方程有两个相等实数根，则m的值为__________．12．与是位似图形，且对应面积比为4：9，则与的位似比为______．13．如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表：则an＝__________（用含n的代数式表示）．所剪次数1234…n正三角形个数471013…an14．如图，将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为，再将所折得的图形沿EF折叠，使得点D和点A重合若，，则折痕EF的长为______．15．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上．（1）计算△ABC的周长等于_____．（2）点P、点Q（不与△ABC的顶点重合）分别为边AB、BC上的动点，4PB=5QC，连接AQ、PC．当AQ⊥PC时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AQ、PC，并简要说明点P、Q的位置是如何找到的（不要求证明）．___________________________．16．如图，在菱形ABCD中，点E、F在对角线BD上，BE=DF=BD，若四边形AECF为正方形，则tan∠ABE=_____．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点.在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段（点A，B的对应点分别为）.画出线段;将线段绕点逆时针旋转90°得到线段.画出线段;以为顶点的四边形的面积是个平方单位.18．（8分）如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，．点在函数图像上，轴，且，直线是抛物线的对称轴，是抛物线的顶点．求、的值；如图①，连接，线段上的点关于直线的对称点恰好在线段上，求点的坐标；如图②，动点在线段上，过点作轴的垂线分别与交于点，与抛物线交于点．试问：抛物线上是否存在点，使得与的面积相等，且线段的长度最小？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．19．（8分）如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为，P是半径OB上一动点，Q是上的一动点，连接PQ．（1）当∠POQ＝时，PQ有最大值，最大值为；（2）如图2，若P是OB中点，且QP⊥OB于点P，求的长；（3）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积．20．（8分）目前节能灯在城市已基本普及，今年某省面向农村地区推广，为响应号召，某商场用3300元购进节能灯100只，这两种节能灯的进价、售价如表：进价元只售价元只甲种节能灯3040乙种节能灯3550求甲、乙两种节能灯各进多少只？全部售完100只节能灯后，该商场获利多少元？21．（8分）如图，菱形中，分别是边的中点．求证：.22．（10分）城市小区生活垃圾分为：餐厨垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾四种不同的类型．（1）甲投放了一袋垃圾，恰好是餐厨垃圾的概率是；（2）甲、乙分别投放了一袋垃圾，求恰好是同一类型垃圾的概率．23．（12分）艺术节期间，学校向学生征集书画作品，杨老师从全校36个班中随机抽取了4个班(用A，B，C，D表示)，对征集到的作品的数量进行了统计，制作了两幅不完整的统计图．请根据相关信息，回答下列问题：（1）请你将条形统计图补充完整；并估计全校共征集了_____件作品；（2）如果全校征集的作品中有4件获得一等奖，其中有3名作者是男生，1名作者是女生，现要在获得一等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求选取的两名学生恰好是一男一女的概率．24．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．

参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、C【解析】选项A，原式=-16；选项B，不能够合并；选项C，原式=9b2；选项D，原式=2、D【解析】

将五个答题数，从小打到排列，5个数中间的就是中位数，出现次数最多的是众数.【详解】将这五个答题数排序为：10，13，15，15，20，由此可得中位数是15，众数是15，故选D.【点睛】本题考查中位数和众数的概念，熟记概念即可快速解答.3、A【解析】∵，则B错；，则C；，则D错，故选A．4、C【解析】试题解析：由于△ABC是直角三角形，所以当反比例函数经过点A时k最小，进过点C时k最大，据此可得出结论．∵△ABC是直角三角形，∴当反比例函数经过点A时k最小，经过点C时k最大，∴k最小=1×2=2，k最大=4×4=1，∴2≤k≤1．故选C．5、C【解析】试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，故选C.6、D【解析】【分析】先求AC,再根据点D是线段AC的中点，求出CD，再求BD.【详解】因为，AB=10cm，BC=4cm，所以，AC=AB-BC=10-4=6（cm）因为，点D是线段AC的中点，所以，CD=3cm,所以，BD=BC+CD=3+4=7（cm）故选D【点睛】本题考核知识点：线段的中点，和差.解题关键点：利用线段的中点求出线段长度.7、C【解析】

根据基本作图的方法即可得到结论．【详解】解：（1）弧①是以O为圆心，任意长为半径所画的弧，正确；（2）弧②是以P为圆心，大于点P到直线的距离为半径所画的弧，错误；（3）弧③是以A为圆心，大于AB的长为半径所画的弧，错误；（4）弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧，正确．故选C．【点睛】此题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握基本作图的方法．8、B【解析】

根据二次函数的图象与性质判断即可．【详解】①由抛物线开口向上知:a＞1;抛物线与y轴的负半轴相交知c＜1;对称轴在y轴的右侧知:b＞1;所以:abc<1,故①错误;②对称轴为直线x=-1,，即b=2a,所以b-2a=1.故②错误;③由抛物线的性质可知，当x=-1时,y有最小值，即a-b+c＜（），即a﹣b＜m（am+b）（m≠﹣1），故③正确；④因为抛物线的对称轴为x=1,且与x轴的一个交点的横坐标为1,所以另一个交点的横坐标为-3.因此方程ax+bx+c=1的两根分别是1,-3.故④正确；⑤由图像可得，当x=2时，y＞1，即:4a+2b+c＞1，故⑤正确.故正确选项有③④⑤，故选B.【点睛】本题二次函数的图象与性质，牢记公式和数形结合是解题的关键.9、C【解析】试题解析：∵am=2，an=3，

∴a3m+2n

=a3m•a2n

=（am）3•（an）2

=23×32

=8×9

=1．故选C.10、A【解析】

根据三视图的形状可判断几何体的形状．【详解】观察三视图可知，该几何体是直三棱柱．故选A．本题考查了几何体的三视图和结构特征，根据三视图的形状可判断几何体的形状是关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、【解析】分析：根据题目中所给定义先求，再利用根与系数关系求m值.详解：由所给定义知，,若=0,解得m=.点睛：一元二次方程的根的判别式是,△=b2-4ac,a,b,c分别是一元二次方程中二次项系数、一次项系数和常数项.

△>0说明方程有两个不同实数解,△=0说明方程有两个相等实数解,△<0说明方程无实数解.实际应用中，有两种题型（1）证明方程实数根问题，需要对△的正负进行判断，可能是具体的数直接可以判断，也可能是含字母的式子，一般需要配方等技巧.12、2：1【解析】

由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得与的位似比．【详解】解与是位似图形，且对应面积比为4：9，与的相似比为2：1，故答案为：2：1．【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．13、3n+1．【解析】试题分析：从表格中的数据，不难发现：多剪一次，多3个三角形．即剪n次时，共有4+3（n-1）=3n+1．试题解析：故剪n次时，共有4+3（n-1）=3n+1．考点：规律型：图形的变化类．14、【解析】

首先由折叠的性质与矩形的性质，证得是等腰三角形，则在中，利用勾股定理，借助于方程即可求得AN的长，又由≌，易得：，由三角函数的性质即可求得MF的长，又由中位线的性质求得EM的长，则问题得解【详解】如图，设与AD交于N，EF与AD交于M，根据折叠的性质可得：，，，四边形ABCD是矩形，，，，，，，设，则，在中，，，，即，，，，≌，，，，，，由折叠的性质可得：，，，，，故答案为．【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数的性质以及勾股定理等知识，综合性较强，有一定的难度，解题时要注意数形结合思想与方程思想的应用．15、12连接DE与BC与交于点Q，连接DF与BC交于点M，连接GH与格线交于点N，连接MN与AB交于P．【解析】

(1)利用勾股定理求出AB，从而得到△ABC的周长；(2)取格点D，E，F，G，H，连接DE与BC交于点Q；连接DF与BC交于点M；连接GH与格线交于点N；连接MN与AB交于点P；连接AP，CQ即为所求.【详解】解：(1)∵AC=3，BC=4，∠C=90º，∴根据勾股定理得AB=5，∴△ABC的周长=5+4+3=12.(2)取格点D，E，F，G，H，连接DE与BC交于点Q；连接DF与BC交于点M；连接GH与格线交于点N；连接MN与AB交于点P；连接AQ，CP即为所求。故答案为：(1)12；(2)连接DE与BC与交于点Q，连接DF与BC交于点M，连接GH与格线交于点N，连接MN与AB交于P.【点睛】本题涉及的知识点有：勾股定理，三角形中位线定理，轴对称之线路最短问题.16、【解析】

利用正方形对角线相等且互相平分，得出EO=AO=BE，进而得出答案．【详解】解：∵四边形AECF为正方形，

∴EF与AC相等且互相平分，

∴∠AOB=90°，AO=EO=FO，

∵BE=DF=BD，

∴BE=EF=FD，

∴EO=AO=BE，

∴tan∠ABE==．

故答案为：【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，正确得出EO=AO=BE是解题关键．三、解答题（共8题，共72分）17、（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）20【解析】【分析】（1）结合网格特点，连接OA并延长至A1，使OA1=2OA，同样的方法得到B1，连接A1B1即可得；（2）结合网格特点根据旋转作图的方法找到A2点，连接A2B1即可得；（3）根据网格特点可知四边形AA1B1A2是正方形，求出边长即可求得面积.【详解】（1）如图所示；（2）如图所示；（3）结合网格特点易得四边形AA1B1A2是正方形，AA1=，所以四边形AA1B1A2的面积为：=20，故答案为20.【点睛】本题考查了作图-位似变换，旋转变换，能根据位似比、旋转方向和旋转角得到关键点的对应点是作图的关键.18、（1），；（2）点的坐标为；（3）点的坐标为和【解析】

（1）根据二次函数的对称轴公式，抛物线上的点代入，即可；（2）先求F的对称点，代入直线BE，即可；（3）构造新的二次函数，利用其性质求极值.【详解】解：（1）轴，，抛物线对称轴为直线点的坐标为解得或（舍去），（2）设点的坐标为对称轴为直线点关于直线的对称点的坐标为.直线经过点利用待定系数法可得直线的表达式为.因为点在上，即点的坐标为（3）存在点满足题意.设点坐标为，则作垂足为①点在直线的左侧时，点的坐标为点的坐标为点的坐标为在中，时，取最小值.此时点的坐标为②点在直线的右侧时，点的坐标为同理，时，取最小值.此时点的坐标为综上所述：满足题意得点的坐标为和考点：二次函数的综合运用.19、（1）；（2）；（3）【解析】

（1）先判断出当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，即可得出结论；（2）先判断出∠POQ＝60°，最后用弧长用弧长公式即可得出结论；（3）先在Rt△B'OP中，OP2+＝，解得OP＝，最后用面积的和差即可得出结论．【详解】解：（1）∵P是半径OB上一动点，Q是上的一动点，∴当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，此时，∠POQ＝90°，PQ＝，故答案为：90°，10；（2）解：如图，连接OQ，∵点P是OB的中点，∴OP＝OB＝OQ．∵QP⊥OB，∴∠OPQ＝90°在Rt△OPQ中，cos∠QOP＝，∴∠QOP＝60°，∴lBQ；（3）由折叠的性质可得，，在Rt△B'OP中，OP2+＝,解得OP＝，S阴影＝S扇形AOB﹣2S△AOP＝.【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，弧长公式，扇形的面积公式，熟记公式是解本题的关键．20、甲、乙两种节能灯分别购进40、60只；商场获利1300元．【解析】

（1）利用节能灯数量和所用的价钱建立方程组即可；（2）每种灯的数量乘以每只灯的利润，最后求出之和即可．【详解】（1）设商场购进甲种节能灯x只，购进乙种节能灯y只，根据题意，得，解这个方程组，得

，答：甲、乙两种节能灯分别购进40、60只．（2）商场获利元，答：商场获利1300元．【点睛】此题是二元一次方程组的应用，主要考查了列方程组解应用题的步骤和方法，利润问题，解本题的关键是求出两种节能灯的数量．21、证明见解析.【解析】

根据菱形的性质，先证明△ABE≌△ADF，即可得解.【详解】在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D.∵点E，F分别是BC，CD边的中点，∴BE＝BC，DF＝CD，∴BE＝DF.∴△ABE≌△ADF，∴AE＝AF.22、（1）；（2）【解析】

（1）直接利用概率公式求出甲投放的垃圾恰好是“餐厨垃圾”的概率；（2）首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．【详解】解:（1）∵垃圾要按餐厨垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾四类分别装袋，甲投放了一袋垃圾，∴甲投放了一袋是餐厨垃圾的概率是，故答案为：；（2）记这四类垃圾分别为A、B、C、D，画树状图如下：由树状图知，甲、乙投放的垃圾共有16种等可能结果，其中投放的两袋垃圾同类的有4种结果，所以投放的两袋垃圾同类的概率为=．【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23、（1）图形见解析，216件；（2）【解析】

（1）由B班级的作品数量及其占总数量的比例可得4个班作品总数，再求得D班级的数量，可补全条形图,再用36乘四个班的平均数即估计全校的作品数;

（2）列表得出所有等可能结果，从中找到一男、一女的结果数，根据概率公式求解可得．【详解】（1）4个班作品总数为：件，所以D班级作品数量为：3