2023-2024学年人教A版必修第二册 第九章　统 计 学案

第九章统计一、数学抽象学生能更好地理解数学概念、命题、方法和体系，能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质，能逐渐养成一般性思考问题的习惯.在本章中，数学抽象主要体现在随机抽样中.培优一随机抽样【例1】（1）一名交警在高速公路上随机观测了6辆车的行驶速度（单位：km/h），然后做了一份报告，结果如表.车序号123456速度666571546958①交警采取的是（填“普查”或“抽样调查”）；

②这次调查的总体是，样本是.

（2）假设要考查某公司生产的狂犬疫苗的剂量是否达标，现从500支疫苗中抽取50支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将500支疫苗按000，001，…，499进行编号，如果从随机数表第1行第8列的数开始向右读，请写出第3支疫苗的编号.

84421753315724550688770474476721763350258392120676 6301637859 1695566719 98105071751286735807 4439523879 3321123429 7864560782解析（1）①一名交警在高速公路上随机观测了6辆车的车速，然后他给出了一份报告，交警采用的是抽样调查的调查方式.②这个调查的总体是高速公路上所有车的行驶速度，样本是6辆车的行驶速度，个体是每辆车的行驶速度.（2）从随机数表第1行第8列的数开始向右读，编号分别为331，455，068，则第3支疫苗的编号为068.答案（1）①抽样调查②高速公路上所有车的行驶速度6辆车的行驶速度（2）068二、数学运算数学运算是解决数学问题的基本手段，是计算机解决问题的基础.在本章中，数学运算主要体现在计算百分位数、平均数、中位数、方差和标准差中.培优二百分位数的计算【例2】（1）某射击运动员7次的训练成绩分别为：86，88，90，89，88，87，85，则这7次成绩的第80百分位数为（）A.88.5B.89C.91 D.89.5（2）某学校组织学生参加数学测试，成绩频率分布直方图如图，则60分为成绩的第百分位数.

解析（1）7次的训练成绩从小到大排列为：85，86，87，88，88，89，90，7×80%＝5.6，所以第80百分位数为从小到大排列的数据中的第6个数据，即89.故选B.（2）因为分数位于[20，40）和[40，60）的频率之和为（0.005＋0.010）×20＝0.3，所以60分为成绩的第30百分位数.答案（1）B（2）30培优三平均数、中位数的计算【例3】统计局就某地居民的月收入（单位：元）情况调查了10000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图），每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在[2500，3000）内.（1）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层随机抽样的方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[4000，4500）内的应抽取多少人？（2）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；（3）根据频率分布直方图估计样本数据的平均数.解（1）因为（0.0002＋0.0004＋0.0003＋0.0001）×500＝0.5，所以a＝0.51000＝0.0005.又0.0005×500＝0.25，所以月收入在[4000，4500）内的频率为0.25，所以100人中月收入在[4000，4500）内的人数为（2）因为0.0002×500＝0.1，0.0004×500＝0.2，0.0005×500＝0.25，0.1＋0.2＝0.3＜0.5，0.1＋0.2＋0.25＝0.55＞0.5，所以中位数在区间[3500，4000）内，所以样本数据的中位数是3500＋0.5-(0.（3）样本平均数为（2750×0.0002＋3250×0.0004＋3750×0.0005＋4250×0.0005＋4750×0.0003＋5250×0.0001）×500＝3900（元）.三、数据分析数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养.数据分析过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行推断，获得结论.在本章中，数据分析主要体现在频率分布直方图及总体集中趋势的估计中.培优四频率分布直方图【例4】为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品中随机抽取一个容量为20的样本，测量它们的尺寸（单位：mm），并分为[92，94），[94，96），[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]七组，其频率分布直方图如图所示：（1）求图中x的值；（2）根据频率分布直方图，估计200件该产品中尺寸在[98，100）内的个数；（3）记产品尺寸在[98，102）内的为优等品，每件可获利5元；在[92，94）内的为不合格品，每件亏损2元；其余的为合格品，每件可获利3元.已知每台机器一个月共生产3000件产品.以样本的频率代替总体在各组的频率，若每台机器生产的产品一个月所获得的利润未达到11000元，则需要对该工厂设备实施升级改造.试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造.解（1）由（0.02＋0.04＋0.06＋0.07＋0.09＋0.10＋x）×2＝1，解得x＝0.12.（2）估计200件该产品中尺寸在[98，100）内的个数为200×0.09×2＝36.（3）由题意可得，这批产品中优等品有3000×（0.18＋0.20）＝1140（件），不合格品有3000×0.04＝120（件），合格品有3000－1140－120＝1740（件），所以每台机器生产的产品一个月所获得的利润为1140×5＋1740×3－120×2＝10680（元），因为10680＜11000，所以需要对该工厂设备实施升级改造.培优五总体集中趋势的估计【例5】（1）一条产品生产线平均每天的产量为3700件，标准差为50件.如果某一天的产量低于或高于平均产量，并落在±2个标准差的范围之外，就认为该生产线失去控制.下表是该生产线一周各天的产量，问该生产线在星期失去了控制？

时间星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日产量/件3850367036903720361035903700（2）某中学将从甲、乙、丙3人中选一人参加全市中学男子1500米比赛，现将他们最近集训中的10次成绩（单位：秒）的平均数与方差制成如下表格：甲乙丙平均数280280290方差201616根据表中的数据，该中学应选参加比赛.

解析（1）由题意知，当产量在（3700－2×50，3700＋2×50）即（3600，3800）之外时该生产线失去控制，由表中数据可知，该生产线在星期一和星期六两天失去了控制.（2）因为方差越小，发挥越稳定，且比赛成绩是时间越短越好，所以选乙参加比赛.答案（1）一、六（2）乙培优六统计在实际问题中的决策作用【例6】一次数学竞赛中，两组学生的成绩（单位：分）如下表所示：分数/分5060708090100人数甲组251013146乙组441621212经计算，两组的平均分都是80分，请根据所学过的统计知识，进一步判断这次竞赛中哪个组更优秀，并说明理由.解从不同的角度分析如下：①甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数这一角度看，甲组成绩好些.②s甲2＝12+5+10+13+14+6×[2×（50－80）2＋5×（60－80）2＋10×（70－80）2＋13×（80－80）2＋14×（90－80）2＋6×（100－80）2]＝172.同理得s乙2＝256.因为s③甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中甲组成绩在80分以上（含80分）的有33人，乙组成绩在80分以上（含80分）的有26人，从这一角度看，甲组成绩总体较好.④从成绩统计表看，甲组成绩大于或等于90分的有20人，乙组成绩大于或等于90分的有24人，所以乙组成绩在高分段的人数多.同时，乙组100分人数比甲组100分人数多6人，从这一角度看，乙组成绩较好.【例7】寒假期间，很多同学都喜欢参加“迎春花市摆档口”的社会实践活动，下表是今年某个档口某种精品的销售数据.日期2月14日2月15日2月16日2月17日2月18日销售量/件白天3532433951晚上4642505260已知摊位租金900元/档，售余精品可以按进货价退回厂家.（1）求表中10个销售数据的中位数和平均数；（2）明年花市期间甲、乙两位同学想合租一个摊位销售同样的精品，其中甲、乙分别承包白天、晚上的精品销售，承包时间段内销售所获利润归承包者所有.如果其他条件不变，以今年的数据为依据，甲、乙两位同学应如何分担租金才较为合理？解（1）中位数为43+462＝44.5平均数为35+46+32+42+43+50+39+52