2023-2024学年人教A版必修第二册 第八章　立体几何初步 学案

一、直观想象直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程.在本章中，主要表现在研究空间几何体的结构特征及利用几何图形探究线面位置关系中.培优一空间几何体的结构特征【例1】有以下命题：①以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；②棱台的两个底面一定是相似多边形；③连接圆柱的上、下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线；④用平行于底面的平面截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台.其中正确命题的个数为（）A.1B.2C.3D.4解析对于①：以直角梯形较长的腰为轴旋转所得的几何体不是圆台，所以①错误；对于②：棱台的两个底面一定是相似多边形，所以②正确；对于③：圆柱的轴截面与其侧面的交线才是圆柱的母线，所以③错误；对于④：根据圆台的定义，可得④是正确的.故选B.答案B培优二空间中点、线、面的位置关系【例2】如图，几何体A1B1C1-ABC是三棱台，在点A1，B1，C1，A，B，C中取3个点确定平面α，α∩平面A1B1C1＝m，且m∥AB，则所取的这3个点可以是（）A.A，B1，C B.A1，B，C1C.A，B，C1 D.A，B1，C1解析由几何体A1B1C1-ABC是三棱台，得AB∥平面A1B1C1.当平面ABC1为平面α时，平面α∩平面A1B1C1＝m，由面面平行的性质定理可知m∥AB，选项C符合要求，故选C.答案C二、逻辑推理逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质.在本章中，主要表现在线面位置关系的证明中.培优三空间位置关系的证明【例3】如图，在四棱锥P-ABCD中，菱形ABCD的对角线交于点O，E，F分别是PC，DC的中点，且平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥AD.求证：（1）平面EFO∥平面PAD；（2）PD⊥平面ABCD；（3）平面PAC⊥平面PDB.证明（1）∵四边形ABCD是菱形，∴O是AC的中点.又E，F分别是PC，DC的中点，∴EF∥PD.又EF⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD.同理可得，FO∥平面PAD.又EF∩FO＝F，EF，FO⊂平面EFO，∴平面EFO∥平面PAD.（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥AD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，PD⊂平面PAD，∴PD⊥平面ABCD.（3）∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又PD∩DB＝D，PD，DB⊂平面PBD，∴AC⊥平面PBD，∵AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PDB.三、数学运算在数学运算核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展数学运算能力；能有效借助运算方法解决实际问题；能够通过运算促进数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯.在本章中，数学运算主要表现在计算空间几何体的体积、表面积、空间距离、角等问题中.培优四空间几何体的体积、表面积【例4】（2022·新高考Ⅰ卷）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（7≈2.65）（）A.1.0×109m3 B.1.2×109m3C.1.4×109m3 D.1.6×109m3解析如图，由已知得该棱台的高为157.5－148.5＝9（m），所以该棱台的体积V＝13×9×（140＋140×180＋180）×106＝60×（16＋37）×106≈60×（16＋3×2.65）×106＝1.437×109≈1.4×109（m3）答案C培优五空间角的计算【例5】如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，且AB＝2PO＝22.（1）求异面直线PC与OE所成的角的大小；（2）求二面角P-AC-E的余弦值.解（1）∵PO是圆锥的高，∴PO⊥底面圆O，根据中点条件可以证明OE∥AC，∠PCA或其补角是异面直线PC与OE所成的角，AC＝OA2＋OC2＝2+2＝2，PC＝PA＝∴∠PCA＝π3，故异面直线PC与OE所成的角是π（2）如图，取AC中点为D，连接PD，OD，由（1）知，PA＝AC＝PC，∴PD⊥AC，∵OA＝OC，∴OD⊥AC，又E为劣弧CB的中点，即有E∈底面圆O，∴二面角P-AC-E的平面角即为∠PDO，∵C为半圆弧