2023-2024学年人教A版必修第二册 9-2-3　总体集中趋势的估计 学案

9.2.3总体集中趋势的估计新课程标准解读核心素养1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、众数）数据分析、数学运算2.理解集中趋势参数的统计含义数学运算、数学建模现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种家电产品中，各抽取8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，其结果如下（单位：年）：甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：4，6，6，6，8，9，12，13；丙：3，3，4，7，9，10，11，12.问题三家广告中都称其产品的使用寿命为8年，利用初中所学的知识，你能说明为什么吗？

知识点一众数、中位数、平均数的定义（1）众数：一组数据中出现次数最多的数；（2）中位数：把一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，处在中间位置的数（或中间两个数的平均数）；（3）平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数.知识点二总体集中趋势的估计（1）平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关；（2）对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的（图①），那么平均数和中位数应该大体上差不多；如果直方图在右边“拖尾”（图②），那么平均数大于中位数；如果直方图在左边“拖尾”（图③），那么平均数小于中位数.也就是说，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边；（3）在频率分布直方图中，众数是最高矩形底边中点的横坐标，中位数左边和右边的直方图的小矩形的面积应该相等，样本平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和.提醒（1）如果一组数据x1，x2，…，xn的平均数为x，那么x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的平均数是x＋a；mx1，mx2，…，mxn的平均数是mx；mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数是mx＋a；（2）平均数、中位数、众数之间的区别：①一组数据中的平均数、中位数都是唯一的；②众数一定是原数据中的数，平均数和中位数都不一定是原数据中的数；③众数可以有一个，也可以有多个，也可以没有.如果在一组数据中有两个或两个以上的数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这几个数据都是这组数据的众数.1.一组数据30，29，28，27，26，24，23，22的中位数为（）A.26 B.27C.26和27 D.26.5解析：D中位数为27+262＝26.5.故选2.一组数据a，0，1，2，3，若该组数据的平均数为1，则a＝（）A.0 B.2C.1 D.－1解析：Dx－＝a+0+1+2+35＝1，解得a＝－3.已知一组数据：15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，则该组数据的众数是.

解析：10，12，16各出现1次，14，15各出现了2次，17出现的次数为3次，是最多的，故众数为17.答案：17题型一众数、中位数、平均数的计算【例1】某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数如下所示：甲：20，22，27，8，12，13，37，25，24，26乙：14，9，13，18，19，20，23，21，21，11则下面结论中正确的是（填序号）.

①乙的众数是21；②甲的平均数为21.4；③甲的中位数是24.解析把两组数据按从小到大的顺序分别排列，得甲：8，12，13，20，22，24，25，26，27，37乙：9，11，13，14，18，19，20，21，21，23乙中出现最多的数据是21，所以①正确；甲的平均数为x甲＝110×（8＋12＋13＋20＋22＋24＋25＋26＋27＋37）＝21.4，所以②正确；甲的中位数为12×（22＋24）＝23，故答案①②通性通法平均数、众数、中位数的计算方法平均数一般是根据公式来计算的，计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算.给定一组数据15，17，14，10，12，17，17，16，14，12，设这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则（）A.a＞b＞c B.c＞b＞aC.c＞a＞b D.b＞c＞a解析：B将数据从小到大排列：10，12，12，14，14，15，16，17，17，17，平均数a＝110（10＋12＋12＋14＋14＋15＋16＋17＋17＋17）＝14.4，中位数b＝14+152＝14.5，众数c＝17，所以c＞b＞a.题型二利用频率分布直方图估计总体的集中趋势【例2】某校从参加高一年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示.（1）求这次测试数学成绩的众数；（2）求这次测试数学成绩的中位数.解（1）由题图知众数为70+802＝75，则这80名学生的数学成绩的众数为75分（2）由题图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3，0.3＋0.4＞0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03×（x－70），所以x≈73.3，即这80名学生的数学成绩的中位数为73.3分.1.（变设问）若本例的条件不变，求这次测试数学成绩的平均数.解：由本例题图知这次测试数学成绩的平均数为：40+502×0.005×10＋50+602×0.015×10＋60+702×0.02×10＋70+802×0.03×10＋80+902×0.025×10＋90+1002×0.0052.（变设问）若本例条件不变，求样本中80分以下的学生人数.解：分数在[40，80）内的频率为：（0.005＋0.015＋0.020＋0.030）×10＝0.7，所以样本中80分以下的学生人数为80×0.7＝56.通性通法用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数（1）众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数；（2）中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数；（3）平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.（多选）随着生活水平的不断提高，我国居民的平均身高也在增长.某市为了调查本市小学一年级男生身高情况，从某小学一年级随机抽取了100名同学进行身高测量，得到频率分布直方图（如图），其中右侧三组小长方形面积满足2S2＝S1＋S3.则下列说法正确的是（）A.身高在[130，140）范围内的频率为0.18B.身高的众数的估计值为115cmC.身高的中位数的估计值为125cmD.身高的平均数的估计值为121.8cm解析：ABD∵前三组的频率分别为0.04，0.08，0.34，∴后三组的频率和为1－（0.04＋0.08＋0.34）＝0.54.∵右侧三组小长方形面积满足2S2＝S1＋S3，设[130，140）的频率为x，∴3x＝0.54，可得x＝0.18，而[140，150]的频率为0.06，则[120，130）的频率为0.3，A正确；由直方图知：频率最高的区间为[110，120），∴身高的众数的估计值为115cm，B正确；设中位数为a，∵前三组的频率和为0.46，第四组的频率为0.3，∴中位数a在区间[120，130）内，由0.46＋（a－120）×0.03＝0.5得a＝120＋43≈121.3cm，C错误；由题意：身高的平均数为95×0.04＋105×0.08＋115×0.34＋125×0.3＋135×0.18＋145×0.06＝121.8cm，D正确.故选A、B、题型三平均数、中位数、众数的应用【例3】据了解，某公司的33名职工月工资（单位：元）如下：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资110001000090008000650055004000（1）求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数（精确到元）；（2）假设副董事长的工资从10000元提升到20000元，董事长的工资从11000元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少（精确到元）？（3）你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法.解（1）平均数是：x－＝4000＋133（7000＋6000＋5000×2＋4000＋2500×5＋1500×3＋0×20）≈4000＋1333＝5333（元中位数是4000元，众数是4000元.（2）平均数是x'－＝4000＋133（26000＋16000＋5000×2＋4000＋2500×5＋1500×3＋0×20）≈4000＋2212＝6212（中位数是4000元，众数是4000元.（3）在这个问题中，中位数和众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能准确反映这个公司员工的工资水平.通性通法众数、中位数、平均数的意义（1）样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大；（2）当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势.下面是某快餐店所有工作人员一周的收入表（每个岗位仅有一人）：老板大厨二厨采购员杂工服务生会计6000元900元700元800元640元640元820元（1）计算所有人员的周平均收入； （2）这个平均收入能反映打工人员的周收入的一般水平吗？为什么？（3）去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的周收入的水平吗？解：（1）周平均收入x－1＝17（6000＋900＋700＋800＋640＋640＋820）＝1500（（2）这个平均收入不能反映打工人员的周收入水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，这是一个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员.（3）去掉老板的收入后的周平均收入x－2＝16（900＋700＋800＋640＋640＋820）＝750（元）1.某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是（）A.85，85，85 B.87，85，86C.87，85，85 D.87，85，90解析：C从小到大列出所有数学成绩：75，80，85，85，85，85，90，90，95，100，观察知众数和中位数均为85，计算得平均数为87.故选C.2.跳水比赛共有7名裁判分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分.5个有效评分与7个原始评分相比，一定不会改变的数字特征是（）A.众数 B.平均数C.中位数 D.极差解析：C从7个原始评分去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分，其平均数、极差、众数都可能会发生改变，不变的数字特征是中位数.故选C.3.某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间的平均数是（）A.23.75 B.23.875C.24.25 D.23.25解析：B平均数为：18.75×0.02×2.5＋21.25×0.10×2.5＋23.75×0.16×2.5＋26.25×0.08×2.5＋28.75×0.04×2.5＝23.875.故选B.4.（多选）已知一组数据为－2，6，8，x，12，且这组数据