2023-2024学年人教A版必修第二册 9-1-2　分层随机抽样9-1-3　获取数据的途径 学案

9.1.2分层随机抽样9.1.3获取数据的途径新课程标准解读核心素养1.通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围，了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法数学建模2.结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值数据分析3.知道获取数据的基本途径，包括：统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽查、互联网等数学抽象某校高一新生共900人，其中男生500人，女生400人.学校想了解高一新生对文史类课程的看法，以便开设相关选修课程，准备从高一新生中抽取45人进行访谈.问题（1）如果直接采用简单随机抽样，会有什么缺点？（2）采用怎样的抽样方法较好？

知识点一分层随机抽样1.定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.2.比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.3.平均数的计算公式在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n.我们用X1，X2，…，XM表示第1层各个个体的变量值，用x1，x2，…，xm表示第1层样本的各个个体的变量值；用Y1，Y2，…，YN表示第2层各个个体的变量值，用y1，y2，…，yn表示第2层样本的各个个体的变量值，则第1层的总体平均数和样本平均数分别为X－＝X1＋X2＋…＋XMM＝1第2层的总体平均数和样本平均数分别为Y－＝Y1＋Y2＋…＋YNN＝1总体平均数和样本平均数分别为W－＝∑i=1MXi＋∑由于用第1层的样本平均数x－可以估计第1层的总体平均数X－，用第2层的样本平均数y－可以估计第2层的总体平均数M×x－＋N×y在比例分配的分层随机抽样中，mM＝nN＝m＋nM＋N，可得MM＋因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数w－估计总体平均数W提醒（1）分层随机抽样的实施步骤：第一步，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体；第二步，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样；第三步，把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本.（2）在比例分配的分层随机抽样中需注意两点：①抽样比＝样本量总样本量；②可以直接用样本平均数估计总体平均数知识点二获取数据的基本途径获取数据的基本途径适用类型注意问题通过调查获取数据对于有限总体问题，一般通过抽样调查或普查的方法获取数据要充分有效地利用背景信息选择或创建更好的抽样方法，并有效避免抽样过程中的人为错误通过试验获取数据没有现存的数据可以查询严格控制试验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量通过观察获取数据自然现象借助专业测量设备通过长久的持续观察获取数据通过查询获得数据众多专家研究过，其收集的数据有所存储必须根据问题背景知识“清洗”数据，去伪存真1.为了研究近年我国高等教育发展状况，小明需要获取近年来我国大学生入学人数的相关数据，他获取这些数据的途径最好是（）A.通过调查获取数据 B.通过试验获取数据C.通过观察获取数据 D.通过查询获得数据答案：D2.某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的体重状况，从男生中随机抽取25人，从女生中随机抽取20人进行调查.这种抽样方法是（）A.分层随机抽样 B.抽签法C.随机数法 D.其他随机抽样解析：A从男生500人中抽取25人，从女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此用的是分层随机抽样.故选A.3.某校高一、高二、高三共有2800名学生，为了解暑假学生在家的每天学习情况，计划用分层随机抽样的方法抽取一个容量为56的样本，已知从高二学生中抽取的人数为19人，则该校高二学生人数为.

解析：设该校高二学生人数为x，则x2800＝1956，解得答案：950题型一分层随机抽样的概念【例1】下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是（）A.从10名同学中抽取3人参加座谈会B.红星中学共有学生1600名，其中男生840名，防疫站对此校学生进行身体健康调查，抽取一个容量为200的样本C.从1000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间D.从生产流水线上，抽取样本检查产品质量解析A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合分层随机抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层随机抽样.答案B通性通法分层随机抽样的前提和遵循的两条原则（1）前提：分层随机抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体的个体数中所占比例抽取；（2）遵循的两条原则：①每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；②每层样本量与每层个体数量的比等于抽样比.要完成下列两项调查：（1）某社区有100户高收入家庭，210户中收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查有关消费购买力的某项指标；（2）从某中学高一年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习情况，应采用的抽样方法分别是（）A.（1）用简单随机抽样，（2）用分层随机抽样B.（1）（2）都用简单随机抽样C.（1）用分层随机抽样，（2）用简单随机抽样D.（1）（2）都用分层随机抽样解析：C因为有关消费购买力的某项指标受家庭收入的影响，而社区家庭收入差距明显，所以（1）用分层随机抽样；从10名体育特长生中抽取3人调查学习情况，个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，所以（2）用简单随机抽样.故选C.题型二分层随机抽样中的计算问题【例2】（1）某班级有50名学生，一次数学测试的平均成绩是92分，如果30名男生的平均成绩为90分，那么20名女生的平均成绩为分；

（2）分层随机抽样中，总体共分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层的样本量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为.

解析（1）设所求平均成绩为x－分，由题意得50×92＝30×90＋20×x－，解得（2）w＝2020+30×3＋3020+30答案（1）95（2）6通性通法进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的关系（1）样本量n总体的个数N（2）总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比；（3）已知数据x1，x2，…，xm的平均数为x－.，数据y1，y2，…，yn的平均数为y－，则数据x1，x2，…，xm，y1，y2，…，yn的平均数为∑i=1m（多选）在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？下列说法正确的是（）A.甲应付5141109B.乙应付3224109C.丙应付1656109D.三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少解析：ACD依题意，由分层随机抽样可知，100÷（560＋350＋180）＝10109，则甲应付10109×560＝5141109（钱）；乙应付10109×350＝3212109（钱）；丙应付10109×180＝1656109（钱）题型三分层随机抽样的方案设计【例3】在100个产品中，有一等品20个，二等品30个，三等品50个，现要抽取一个容量为30的样本，请说明抽样过程.解先将产品按等级分成三层：第一层，一等品20个；第二层，二等品30个；第三层，三等品50个.然后确定每一层抽取的个体数，因为抽样比为30100＝310，所以应在第一层中抽取产品20×310＝6（个），在第二层中抽取产品30×310＝9（个），在第三层中抽取产品50×310分别给这些产品编号并贴上标签，用抽签法或随机数法在各层中抽取，得到一等品6个，二等品9个，三等品15个，这样就通过分层随机抽样得到了一个容量为30的样本.通性通法设计分层随机抽样方案的思路在分层随机抽样中，确定抽样比k是抽样的关键.一般地，按抽样比k＝nN（N为总体容量，n为样本量）在各层中抽取个体，就能确保抽样的公平性.注意在每层抽样时，应灵活采用简单随机抽样的方法某单位有职工400人，其中不到37岁的有128人，37岁至49岁的有184人，50岁及以上的有88人.为了了解这个单位职工血脂高低情况（血脂高低与年龄有关），从中抽取50名职工进行调查，应该怎样抽取？请写出具体的抽样步骤.解：用分层随机抽样的方法来抽取样本，步骤如下：（1）按年龄将职工分成三层：不到37岁的职工，37岁至49岁的职工，50岁及以上的职工；（2）确定每层应抽取个体的个数，抽样比为50400＝18，则在不到37岁的职工中抽取128×18＝16（人），在37岁至49岁的职工中抽取184×18＝23（人），在50岁及以上的职工中抽取88×1（3）在各层中分别按简单随机抽样抽取样本；（4）综合每层抽样，组成样本.题型四获取数据途径的方法设计【例4】为了缓解城市的交通拥堵情况，某市准备出台限制私家车的政策，为此要进行民意调查.某个调查小组调查了一些拥有私家车的市民，你认为这样的调查结果能很好地反映该市市民的意愿吗？解一个城市的交通状况的好坏将直接影响着生活在这个城市中的每个人，关系到每个人的利益.为了调查这个问题，在抽样时应当关注到各种人群，既要抽到拥有私家车的市民，也要抽到没有私家车的市民.调查时，如果只对拥有私家车的市民进行调查，结果一定是片面的，不能代表所有市民的意愿.因此，在调查时，要对生活在该城市的所有市民进行随机抽样调查，不要只关注到拥有私家车的市民.通性通法在统计活动中，尤其是大型的统计活动，为避免一些外界因素的干扰，通常需要确定调查的对象、调查的方法与策略，需要精心设计前期的准备工作和收集数据的方法，然后对数据进行分析，得出统计推断.为了创建“和谐平安”校园，某校决定在开学前将学校的电灯电路使用情况进行检查，以排除安全隐患，获取电灯电路的相关数据应该用什么方法？为什么？解：由于一个学校的电灯电路数目不算大，属于有限总体问题，所以应该通过调查获取数据，并且对创建“和谐平安”校园来说，必须排除任一潜在或已存在的安全隐患，故必须用普查的方法.1.某市为了了解职工家庭生活状况，先把职工按所从事的行业分为8类（每类家庭数不完全相同），再对每个行业抽取的职工家庭进行调查，这种抽样方法是（）A.简单随机抽样 B.随机数法C.分层随机抽样 D.不属于以上几类抽样解析：C因为职工所从事的行业有明显差异，所以是分层随机抽样.故选C.2.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层随机抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为14人，则样本容量为（）A.15B.20 C.25D.30解析：D设样本容量为x，由题意得14x＝350750，得x＝30，3.某校开展学生对食堂满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生550人，高二年级有学生500人，高三年级有学生450人.