2023-2024学年人教A版必修第二册 8-6-3　第二课时　平面与平面垂直的性质 学案

8.6.3第二课时平面与平面垂直的性质新课程标准解读核心素养1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系直观想象2.归纳出平面与平面垂直的性质定理逻辑推理1.在教室里，黑板所在平面与地面所在平面垂直，黑板的左右两边也与地面垂直.2.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，直线A1A垂直于其交线AD.问题通过上述实例，你能总结出面面垂直的一条性质吗？

知识点平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直符号语言α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β图形语言提醒（1）定理成立的条件有三个：①两个平面互相垂直；②直线在其中一个平面内；③直线与两平面的交线垂直；（2）定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直；（3）已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直.如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线，正确吗？提示：正确.1.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（）A.α∥γB.α⊥γC.α与γ相交但不垂直D.以上都有可能解析：D在正方体中，相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，故选D.2.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，在平面ABB1A1上任取一点M，作ME⊥AB于E，则（）A.ME⊥平面ABCD B.ME⊂平面ABCDC.ME∥平面ABCD D.以上都有可能解析：A∵M∈平面ABB1A1，E∈AB，即E∈平面ABB1A1，∴ME⊂平面ABB1A1，又平面ABB1A1⊥平面ABCD，平面ABB1A1∩平面ABCD＝AB，ME⊥AB，∴ME⊥平面ABCD.故选A.3.平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是.

解析：因为α⊥β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n.答案：平行题型一垂直关系的相互转化【例1】已知m，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列三个命题：①若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；②若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.其中正确的命题为（）A.①② B.③ C.②③ D.①②③解析对于①，依据线面垂直的判定定理，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，才能得到该直线与此平面垂直，而n只与β内的一条直线m垂直，不能得到n⊥β，故①不正确；对于②，如图所示，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，平面DCC'D'⊥平面ABCD，平面ABC'D'与平面DCC'D'的交线为C'D'，与平面ABCD的交线为AB，但C'D'∥AB，故②不正确；对于③，由于m⊥α，m⊥n，则n在平面α内或n∥α.若n在平面α内，由n⊥β可得α⊥β；若n∥α，过n作平面与α交于直线l，则n∥l，由n⊥β得l⊥β，从而α⊥β，故③正确.答案B通性通法空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的，它们之间的转化关系如下：线线垂直线面垂直面面垂直（多选）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥βC.若m⊥β，m∥α，则α⊥βD.若α⊥γ，α∥β，则β⊥γ解析：CD由线面平行、垂直的有关知识可排除A、B；对于C，因为m∥α，过m作平面γ交α于m'，则m'∥m，由于m⊥β，故m'⊥β，又m'⊂α，则α⊥β，所以C正确，对于D显然正确，故选C、D.题型二平面与平面垂直的性质及应用【例2】如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点.求证：（1）BG⊥平面PAD；（2）AD⊥PB.证明（1）由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG⊂平面PAD，∴PG⊥平面ABCD，由BG⊂平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，AD，PG⊂平面PAD，∴BG⊥平面PAD.（2）由（1）可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG⊂平面PBG，∴AD⊥平面PBG，又PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB.通性通法1.面面垂直线面垂直线线垂直.由面面垂直证明线面垂直，一定注意两点：①直线必须在其中一个平面内；②直线必须垂直两平面交线.2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，平面A1BC1⊥平面BCC1B1.证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形BCC1B1为平行四边形，因为BC＝CC1，所以四边形BCC1B1为菱形，所以B1C⊥BC1，又平面A1BC1⊥平面BCC1B1，且平面A1BC1∩平面BCC1B1＝BC1，B1C⊂平面BCC1B1，所以B1C⊥平面A1BC1，因为B1C⊂平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1.题型三空间垂直关系的综合应用【例3】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，点E，F分别是CD，PC的中点.求证：（1）PA⊥平面ABCD；（2）BE∥平面PAD；（3）平面BEF⊥平面PCD.证明（1）因为平面PAD⊥平面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥平面ABCD.（2）因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE，所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD.又BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.（3）由（2）知四边形ABED为平行四边形，因为AB⊥AD，所以四边形ABED为矩形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由（1）知PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.因为PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.因为点E，F分别是CD，PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF，又EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.因为CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.通性通法1.熟练掌握垂直关系的转化，线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化是解题的常规思路.2.垂直关系证明的核心是线面垂直，准确确定要证明的直线是关键，再利用线线垂直证明.如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足.（1）求证：PA⊥平面ABC；（2）当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.证明：（1）如图，在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于点F.∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.∵PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA.作DG⊥AB于点G，同理可证DG⊥PA.∵DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.（2）如图，连接BE并延长交PC于点H.∵点E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.又AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，∴PC⊥AE.∵AE∩BE＝E，∴PC⊥平面ABE.又AB⊂平面ABE，∴PC⊥AB.由（1）知PA⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，∴PA⊥AB.∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.1.下列命题中错误的是（）A.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析：D如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D中命题错误.2.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1（）A.平行 B.共面C.垂直 D.不垂直解析：C如图所示，在四边形ABCD中，∵AB＝BC，AD＝CD，∴BD⊥AC.∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C.又CC1⊂平面AA1C1C，∴BD⊥CC1.故选C.3.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影点H必在（）A.直线AB上 B.直线BC上C.直线AC上 D.△ABC内部解析：A连接AC1（图略）.∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴点C1在平面ABC上的射影点H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上，故选A.4.如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是.

解析：如图，过A作AO⊥BD于点O，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角.∵∠BAD＝90°，AB＝AD.∴∠ADO＝45°.答案：45°二面角的求法方法一定义法求二面角【例1】如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝3，求二面角V-AB-C的大小.解取AB的中点D，连接VD，CD，∵在△VAB中，VA＝VB＝AB＝2，∴△VAB为等边三角形，∴VD⊥AB且VD＝3，同理CD⊥AB，CD＝3，∴∠VDC为二面角V-AB-C的平面角，而△VDC是等边三角形，∠VDC＝60°，∴二面角V-AB-C的大小为60°.方法总结利用二面角的定义，在二面角的棱上找点，过点在两个平面内作棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角，解题时应先找平面角，再证明，最后在三角形中求平面角.方法二垂面法求二面角【例2】如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中点.（1）求证：平面MNF⊥平面NEF；（2）求二面角M-EF-N的平面角的正切值.解（1）证明：∵N，F均为所在棱的中点，∴NF⊥平面A1B1C1D1.而MN⊂平面A1B1C1D1，∴NF⊥MN.又∵M，E均为所在棱的中点，∴△C1MN和△B1NE均为等腰直角三角形，∴∠MNC1＝∠B1NE＝45°，∴∠MNE＝90°，∴MN⊥NE.又NF∩NE＝N，∴MN⊥平面NEF.而MN⊂平面MNF，∴平面MNF⊥平面NEF.（2）在平面NEF中，过点N作NG⊥EF于点G，连接MG.如图所示.由（1）得知MN⊥平面NEF，又EF⊂平面NEF，∴MN⊥EF.又MN∩NG＝N，∴EF⊥平面MNG，∴EF⊥MG.∴∠MGN为二面角M-EF-N的平面角.设该正方体的棱长为2.在Rt△NEF中，NG＝NE·NFEF＝2∴在Rt△MNG中，tan∠MGN＝MNNG＝223∴二面角M-EF-N的平面角的正切值为62方法总结二面角中如果存在一个平面与棱垂直，且与二面角的两个半平面都相交，那么这两条交线所成的角即为该二面角的平面角.方法三垂线法求二面角【例3】如图，平面β内一条直线AC，AC与平面α所成的角为30°，AC与棱BD所成的角为45°，求二面角α-BD-β的大小.解如图，过A作AF⊥BD，F为垂足，作AE⊥平面α，E为垂足，连接EF，CE，∴由三垂线定理知BD⊥EF，∴∠AFE为二面角α-BD-β的平面角.依题意∠ACF＝45°，∠ACE＝30°，设AC＝2，∴AF＝CF＝2，AE＝1，∴sin∠AFE＝AEAF＝12＝∴∠AFE＝45°.∴二面角α-BD-β的大小为45°.方法总结如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点作棱的垂线，连接两个垂足，应用三垂线定理可证明两垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角.方法四射影面积法求二面角【例4】在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小.解如图，∵PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PA⊥AD，又AD⊥AB，且PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，∴AD⊥平面PAB，同理BC⊥平面PAB.∴△PCD在平面PBA上的射影为△PAB，设平面PBA与平面PCD所成的二面角为θ，∴cosθ＝S△PABS△PCD∴θ＝45°.故平面PBA与平面PCD所成的二面角的大小为45°.方法总结若多边形的面积为S，它在一个平面内的射影图形的面积为S'，且多边形与该平面所成的二面角为θ，则cosθ＝S'1.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，则二面角A1-BC-A的平面角的正切值为（）A.62