2023-2024学年人教A版必修第二册 8-6-2　第一课时　直线与平面垂直的判定 学案

8.6.2直线与平面垂直第一课时直线与平面垂直的判定新课程标准解读核心素养1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系数学抽象2.归纳出直线与平面垂直的判定定理逻辑推理3.了解直线与平面所成角直观想象木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向（但不是相反的方向）检查两次，如图.如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直.问题（1）用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？（2）上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？

知识点一直线与平面垂直1.定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.2.相关概念垂线直线l叫做平面α的垂线垂面平面α叫做直线l的垂面垂足直线与平面唯一的公共点垂线段过一点作垂直于已知平面的直线，该点与垂足间的线段点到平面的距离垂线段的长度3.性质：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？提示：不一定.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，在棱AB上任取一点E，过点E作EF∥AD交CD于点F，则这样的直线能作出无数条，显然AB垂直于平面ABCD内的无数条直线，但AB⊂平面ABCD，故直线AB与平面ABCD不垂直.不仅如此，因为A1B1∥AB，所以直线A1B1也垂直于平面ABCD内的无数条直线，但是直线A1B1∥平面ABCD.知识点二直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α图形语言提醒（1）判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语，此处强调相交，若两条直线不相交（即平行），即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直；（2）要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可.至于这两条直线是否与已知直线有交点，这是无关紧要的.知识点三直线与平面所成的角有关概念对应图形斜线一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线斜足斜线和平面的交点A叫做斜足射影过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影有关概念对应图形直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°取值范围0°≤θ≤90°提醒（1）斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；（2）斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段.1.直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能（）A.平行B.相交 C.异面D.垂直解析：A因为l⊥α，所以l垂直于平面α内的每一条直线，又m⊂α，所以l⊥m，所以直线l与m不可能平行.2.若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于（）A.平面OAB B.平面OACC.平面OBC D.平面ABC解析：C由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.故选C.3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于；AB1与平面ADD1A1所成的角等于；AB1与平面DCC1D1所成的角等于.

解析：∠B1AB为AB1与平面ABCD所成的角，即45°；∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1与平面DCC1D1平行，即所成的角为0°.答案：45°45°0°题型一线面垂直概念的理解【例1】下列命题中正确的是（填序号）.

①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.解析当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以④正确.答案③④通性通法1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直.2.由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A.若l⊥m，m⊥α，则l∥αB.若l⊥α，l∥m，则m⊥αC.若l∥α，m⊂α，则l∥mD.若l∥α，m∥α，则l∥m解析：B对于A，l∥α或l⊂α，故A错误；对于B，因l⊥α，则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面，故C错误；对于D，l，m还可能相交或异面，故D错误.题型二直线与平面垂直的判定【例2】如图所示，Rt△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点.求证：直线SD⊥平面ABC.证明∵SA＝SC，点D为斜边AC的中点，∴SD⊥AC.如图，连接BD，在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，∴△ADS≌△BDS，∴∠ADS＝∠BDS，∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC.（变条件，变设问）在本例中，若AB＝BC，其他条件不变，则BD与平面SAC的位置关系是什么？解：∵AB＝BC，点D为斜边AC的中点，∴BD⊥AC.又由例题知SD⊥BD.于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，故BD⊥平面SAC.通性通法证明线面垂直的方法（1）由线线垂直证明线面垂直：①定义法（不常用）；②判定定理（最常用），要着力寻找平面内的两条相交直线（有时需要作辅助线），使它们与所给直线垂直.（2）平行转化法（利用推论）：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.如图，AB为☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.（1）求证：AN⊥平面PBM；（2）若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.证明：（1）∵AB为☉O的直径，∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，BM⊂平面ABM，∴PA⊥BM.又∵PA∩AM＝A，PA，AM⊂平面PAM，∴BM⊥平面PAM.又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM⊂平面PBM，∴AN⊥平面PBM.（2）由（1）知AN⊥平面PBM，又PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ⊂平面ANQ，∴PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.题型三直线与平面所成的角【例3】如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值.解由题意知A是M在平面ABC上的射影，∴MA⊥平面ABC，∴MC在平面CAB上的射影为AC.∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角.又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，∴MC＝BMsin∠MBC＝5sin60°＝5×32＝5在Rt△MAB中，MA＝MB2－A在Rt△MAC中，sin∠MCA＝MAMC＝353即MC与平面CAB所成角的正弦值为23通性通法求斜线与平面所成角的步骤（1）作图：作（或找）出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算；（2）证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角；（3）计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角.解：连接BC1，设BC1与B1C相交于点O，连接A1O.设正方体的棱长为a.因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B＝B1，B1C1，B1B⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1.又因为BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C⊂平面A1DCB1，所以BC1⊥平面A1DCB1，所以A1O为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影，∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角.在Rt△A1BO中，A1B＝2a，BO＝22a所以BO＝12A1B所以∠BA1O＝30°，所以直线A1B和平面A1DCB1所成的角为30°.1.已知直线m，b，c和平面α，下列条件中，能使m⊥α的是（）A.m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥αB.m⊥b，b∥αC.m∩b＝A，b⊥α D.m∥b，b⊥α解析：Dm⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α，则m与α可能平行或m⊂α，故A错误；m⊥b，b∥α，则m与α可能平行或相交或m⊂α，故B错误；m∩b＝A，b⊥α，则m与α可能平行或相交或m⊂α，故C错误；由线线平行及线面垂直的判定知选项D正确.故选D.2.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是（）A.异面B.平行C.垂直D.不能确定解析：C因为BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，所以BA⊥l.同理BC⊥l，又BA∩BC＝B，则l⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，l⊥AC.故选C.3.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的