2023-2024学年人教A版必修第二册 8-5-3　第二课时　平面与平面平行的性质 学案

8.5.3第二课时平面与平面平行的性质新课程标准解读核心素养1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面平行的性质定理，并加以证明逻辑推理2.能用平面与平面平行的性质定理解决一些简单的空间线面位置关系问题直观想象当平面α∥平面β时，α与β没有公共点，此时，若l⊂α，m⊂β，则l∩m＝⌀，这就是说，l与m的位置关系是异面或平行.问题那么在什么情况下，l与m平行呢？

知识点两个平面平行的性质定理文字语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言提醒（1）用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：①平面α和平面β平行，即α∥β；②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.以上三个条件缺一不可.（2）在应用这个定理时，要防止出现“两个平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面内的一切直线”的错误.1.已知长方体ABCD-A'B'C'D'，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A'B'C'D'＝E'F'，则EF与E'F'的位置关系是（）A.平行 B.相交C.异面 D.不确定解析：A因为平面ABCD∥平面A'B'C'D'，所以EF∥E'F'.故选A.2.已知直线m，n，平面α，β，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n的关系是（）A.平行 B.异面C.相交 D.平行或异面解析：D∵α∥β，∴α与β无公共点，又m⊂α，n⊂β，∴m与n无公共点，∴m与n平行或异面.3.如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝.

解析：∵平面α∥平面β，α∩平面PAB＝CD，β∩平面PAB＝AB，∴CD∥AB，则PCPA＝CDAB，∴AB＝PA×CDPC答案：5题型一两平面平行性质定理的应用【例1】如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MP，MC，N是PM与DE的交点，连接FN，求证：FN∥CM.证明因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC，同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，所以平面DEF∥平面ABC.又平面PCM∩平面DEF＝FN，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以FN∥CM.通性通法应用面面平行性质定理的基本步骤如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.证明：易知BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，所以BE∥平面AA1D.因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.又BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以平面BCE∥平面AA1D，又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D.题型二与两平面平行的性质定理有关的计算【例2】设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，求SD的长.解根据题意作出图形，∵AB，CD交于点S，∴AB与CD确定一个平面，又∵平面α∥平面β，∴AC∥DB，∴△SAC∽△SBD，∴ASSB＝CSSD，∵AS＝8，BS＝6，CS＝12，∴86∴SD＝9.通性通法关于平行平面分线段成比例定理类比平面内的平行直线分线段成比例定理，在空间中有平行平面分线段成比例定理.1.如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A'，B'，C'，若PA'∶AA'＝2∶3，则S△A'B'C'∶S△ABC＝.

解析：∵平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A'B'，AB，∴AB∥A'B'，同理B'C'∥BC，易得△ABC∽△A'B'C'，S△A'B'C'∶S△ABC＝（A'B'AB）2＝（PA'答案：42.如图，已知平面α∥平面β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长.解：∵α∥β，平面PCD∩α＝AB，平面PCD∩β＝CD，∴AB∥CD，可得PAAC＝PB∵PA＝6，AC＝9，PD＝8，∴69＝8－BDBD，解得题型三线线、线面、面面平行的转化【例3】如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，M，N分别是棱AB，PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE.（1）求证：MN∥平面PAD；（2）求证：MN∥PE.证明（1）如图，取DC的中点Q，连接MQ，NQ.在△PCD中，N，Q分别是PC，DC的中点，所以NQ∥PD，又NQ⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以NQ∥平面PAD.因为M是AB的中点，四边形ABCD是平行四边形，所以MQ∥AD，又MQ⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以MQ∥平面PAD.因为MQ∩NQ＝Q，MQ，NQ⊂平面MNQ，所以平面MNQ∥平面PAD.因为MN⊂平面MNQ，所以MN∥平面PAD.（2）由（1）知，平面MNQ∥平面PAD，且平面PEC∩平面MNQ＝MN，平面PEC∩平面PAD＝PE，所以MN∥PE.通性通法空间中各种平行关系相互转化的示意图提醒判定是用低一级的平行关系证明高一级的平行关系；性质是用高一级的平行关系推出低一级的平行关系.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E，F分别为棱AB，BC，C1B1的中点.（1）求证：AC∥平面B1DE；（2）求证：AF∥平面B1DE.证明：（1）因为在三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为棱AB，BC的中点，所以DE∥AC，因为DE⊂平面B1DE，AC⊄平面B1DE，所以AC∥平面B1DE.（2）在三棱柱ABC-A1B1C1中，BCB1C1，因为E，F分别为BC，B1C1的中点，所以CEFB1，所以四边形B1ECF是平行四边形，所以FC∥B1E，因为FC⊄平面B1DE，B1E⊂平面B1DE，所以FC∥平面B1DE，由（1）知AC∥平面B1DE，又AC∩FC＝C，AC，FC⊂平面ACF，所以平面ACF∥平面B1DE，又AF⊂平面ACF，所以AF∥平面B1DE.1.两个平行平面与另两个平行平面相交所得的四条直线的位置关系是（）A.两两相互平行B.两两相交于同一点C.两两相交但不一定交于同一点D.两两相互平行或交于同一点解析：A根据平面与平面平行的性质可知，所得的四条直线两两相互平行.故选A.2.平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是（）A.AB∥CD B.AD∥CBC.AB与CD相交 D.A，B，C，D四点共面解析：D充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立.故选D.3.如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为（）A.梯形B.平行四边形C.可能是梯形也可能是平行四边形D.不确定解析：B由长方体的性质：各对面平行，易知HG∥EF，EH∥FG，∴四边形EFGH为平行四边形.故选B.4.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上的一点，AP＝1，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝.

解析：因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD∩平面PQNM＝PQ，平面A1B1C1D1∩平面PQNM＝MN，所以MN∥PQ.连接A1C1，AC（图略），则MN∥A1C1，A1C1∥AC，所以PQ∥AC.又AP＝1，所以PDAD＝PQAC＝23，所以PQ＝23AC＝23×3答案：22截面问题截面定义：用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面，与几何体表面的交集（交线）叫做截线，与几何体棱的交集（交点）叫做截点.（1）已知三点E，F，G中任意两点的连线都在几何体的表面上：作法：如图①，直接连线即可得到截面.（2）已知三点E，F，G中任意两点的连线恰有两条在几何体的表面上：作法一（平行法）：如图②，连接EF，GF，在平面ABB1A1内过点E作EI∥GF，并交AA1于点I，连接GI，则四边形EFGI为所求的截面.作法二（相交法）：如图③，连接FE并延长交DA的延长线于点H，连接GH交AA1于点I，则四边形EFGI为所求的截面.（3）已知三点E，F，G中任意两点的连线恰有一条在几何体的表面上：作法（平行四边形法）：如图④，连接FG并延长，交DD1的延长线于点P，连接PE交A1D1于点H，则点H为截面上一点，以PE，PF为邻边做平行四边形PEQF，则QF与BC的交点I也为截面上的点，则五边形EIFGH即为所求的截面.（4）已知三点E，F，G中任意两点的连线都不在几何体的表面上：作法（辅助平面法）：如图⑤，在平面A1B1C1D1内过点G作GH∥A1B1，交B1C1于点H，连接HB并延长交GE的延长线于点I，连接IF交BC于点J，连接EJ并延长交DC的延长线于点L，交DA的延长线于点K，连接KG交AA1于点M，连接LF并延长交D1C1于点N，则六边形EJFNGM为所求的截面.【例】（多选）已知过BD1的平面与正方体ABCD-A1B1C1D1相交，分别交棱AA1，CC1于点M，N，则下列关于截面BMD1N的说法正确的是（）A.截面BMD1N可能是矩形B.截面BMD1N可能是菱形C.截面BMD1N可能是梯形D.截面BMD1N不可能是正方形解析如图①，当M，N分别与对角顶点重合时，显然四边形BMD1N是矩形.如图②，当M，N分别为AA1，CC1的中点时，显然四边形BMD1N是菱形，由正方体的性质及勾股定理易知四边形BMD1N不可能为正方形.根据对称性，其他情况下四边形BMD1N为平行四边形.综上，C中说法不正确.故选A、B、D.答案ABD1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N分别为边B1D1，CD上的动点（点M不在顶点D1处），若M，N，D1三点确定的平面截正方体的截面为α，则下列命题中为真命题的是（）A.对任意点M，存在点N使截面α为三角形B.对任意点M，存在点N使截面α为正方形C.对任意点M和N，截面α都为梯形D.对任意点N，存在点M使截面α为矩形解析：A因为点M在B1D1上，所以截面α为B1D1与点N确定的平面