2023-2024学年人教A版必修第二册 8-5-1　直线与直线平行 学案

8.5空间直线、平面的平行8.5.1直线与直线平行新课程标准解读核心素养1.借助长方体，通过直观感知、了解空间中直线与直线平行的关系逻辑推理2.了解基本事实4及等角定理直观想象把一张长方形的纸对折两次，打开以后如图所示.问题（1）为什么这些折痕互相平行？（2）初中所学的结论“在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，如果去掉条件“在同一平面内”，结论是否仍成立？

知识点一基本事实4平行于同一条直线的两条直线平行.知识点二等角定理文字语言如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补图形语言作用判断或证明两个角相等或互补提醒对等角定理的两点认识：①等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是基本事实4的直接应用；②当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否则它们互补.因此等角定理用来证明两个角相等或互补.1.已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b（）A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线解析：C假设c与b平行，由于c∥a，根据基本事实4可知a∥b，与a，b是异面直线矛盾，故c与b不可能是平行直线.故选C.2.已知∠BAC＝30°，AB∥A'B'，AC∥A'C'，则∠B'A'C'＝（）A.30° B.150°C.30°或150° D.大小无法确定解析：C当∠B'A'C'与∠BAC的两边方向相同或相反时，∠B'A'C'＝30°，否则，∠B'A'C'＝150°.故选C.3.如图所示，在长方体AC1中，A1C1与B1D1相交于点O，E，F分别是B1O，C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（）A.3条 B.4条C.5条 D.6条解析：B由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱有AD，BC，A1D1，所以符合题意的棱共有4条.4.已知在棱长为a的正方体ABCD-A'B'C'D'中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A'C'的位置关系是.

解析：如图所示，∵M，N分别为CD，AD的中点，∴MN12AC，由正方体的性质可得ACA'C'，∴MN12A'C'，即MN与A'C'答案：平行题型一证明直线与直线平行【例1】如图所示，在空间四边形ABCD（不共面的四边形称为空间四边形）中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点.（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形.证明（1）因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝12AC所以EF∥HG，EF＝HG，所以四边形EFGH是平行四边形.（2）因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，所以EH∥BD，EH＝12BD因为EF＝12AC，AC＝BD，所以EH＝EF又因为四边形EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形.通性通法证明空间两条直线平行的方法（1）平面几何法：三角形中位线、平行四边形的性质等；（2）定义法：用定义证明两条直线平行，要证明两个方面，一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点；（3）基本事实4：用基本事实4证明两条直线平行，只需找到直线b，使得a∥b，同时b∥c，即可得到a∥c.已知棱长为a的正方体ABCD-A'B'C'D'中，M，N分别为CD，AD的中点.求证：四边形MNA'C'是梯形.证明：如图所示，连接AC，由正方体的性质可知AA'＝CC'，AA'∥CC'，∴四边形AA'C'C为平行四边形，∴A'C'＝AC，A'C'∥AC，又∵M，N分别是CD，AD的中点，∴MN∥AC，且MN＝12AC∴MN∥A'C'，且MN≠A'C'.∴四边形MNA'C'是梯形.题型二等角定理及应用【例2】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，试证明：∠BGC＝∠FD1E.证明因为F为BB1的中点，所以BF＝12BB1，因为G为DD1的中点，所以D1G＝12DD又BB1∥DD1，BB1＝DD1，所以BF∥D1G，BF＝D1G.所以四边形D1GBF为平行四边形.所以D1F∥GB，同理D1E∥GC.又∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同，所以∠BGC＝∠FD1E.通性通法关于等角定理的应用（1）根据空间中相应的定理证明角的两边分别平行，即先证明线线平行；（2）根据角的两边的方向判定两角相等或互补.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点.求证：（1）D1E∥BF；（2）∠B1BF＝∠A1ED1.证明：（1）如图，取BB1的中点M，连接EM，C1M.在矩形ABB1A1中，易得EM∥A1B1，EM＝A1B1，因为A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，所以EM∥C1D1，EM＝C1D1，所以四边形EMC1D1为平行四边形，所以D1E∥MC1.在矩形BCC1B1中，易得MB∥C1F，MB＝C1F.所以四边形MBFC1为平行四边形，所以BF∥MC1，所以D1E∥BF.（2）因为D1E∥BF，BB1∥EA1，又∠B1BF与∠A1ED1的对应边方向相同，所以∠B1BF＝∠A1ED1.题型三利用线线平行判断共面【例3】如图，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC12AD，BE12AF，G，H分别是FA，FD（1）证明：四边形BCHG是平行四边形；（2）C，D，E，F四点是否共面？为什么？解（1）证明：由题意知，FG＝GA，FH＝HD，所以GH12AD，又BC12AD，故GH所以四边形BCHG是平行四边形.（2）C，D，F，E四点共面.理由如下：由BE12AF，G是FA的中点知，有BEGF所以四边形BEFG是平行四边形，所以EF∥BG，由（1）知BG∥CH，所以EF∥CH，故EF，CH共面.又点D在直线FH上，所以C，D，E，F四点共面.通性通法根据两平行直线确定一个平面，可以证明共面问题，其实质是证明直线平行.如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，H，G分别是AD，CD上的点，满足CGGD＝AH（1）求证：E，F，G，H四点共面；（2）设EH与FG交于点P，求证：B，D，P三点共线.证明：（1）如图，连接AC，∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC.在△ADC中，∵CGGD＝AHHD，∴GH∥AC，∴EF∥∴E，F，G，H四点共面.（2）∵EH∩FG＝P，∴P∈EH，又∵EH⊂平面ABD，∴P∈平面ABD，同理P∈平面BCD，∴P为平面ABD与平面BCD的一个公共点.又平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD，即P，B，D三点共线.1.已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的位置关系是（）A.平行B.相交C.异面 D.不确定解析：A∵a∥b，b∥c，∴a∥c.又c∥d，∴a∥d.故选A.2.若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1方向相同，则下列结论正确的有（）A.OB∥O1B1且方向相同B.OB∥O1B1，方向可能不同C.OB与O1B1不平行D.OB与O1B1不一定平行解析：D当∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同时，OB与O1B1不一定平行.故选D.3.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是.