2023-2024学年人教A版必修第二册 8-1　第二课时　圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体 学案

第二课时圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体新课程标准解读核心素养利用实物模型、计算机软件等观察空间图形，认识圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构直观想象、数学抽象如图，观察下列实物图.问题（1）上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？（2）上述实物图抽象出的几何体中能否由某些平面图形旋转而成？（3）如何形成上述几何体的曲面？

知识点一圆柱的结构特征定义以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱图示及相关概念轴：旋转轴叫做圆柱的轴；底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面；圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边；柱体：圆柱和棱柱统称为柱体提醒对圆柱的再理解：①圆柱的底面是两个半径相等的圆面，两圆面所在平面互相平行；②通过轴的各个截面叫做轴截面，轴截面是全等的矩形；③母线平行且相等，它们都垂直于底面，它们的长等于圆柱的高.如图，在圆柱中任取不重合的两条母线，如AB，CD，它们有何关系？过它们的截面是怎样的图形？连接AC，AC还是母线吗？提示：ABCD，截面ABCD是矩形.AC不是母线.知识点二圆锥的结构特征定义以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥图示及相关概念轴：旋转轴叫做圆锥的轴；底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面；母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边；锥体：棱锥和圆锥统称为锥体提醒圆锥具有的性质：①通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰三角形；②过顶点和底面相交的截面是等腰三角形；③母线都过顶点且相等，各母线与轴的夹角相等.以Rt△ABC任一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体就是圆锥，这句话对吗？提示：不对.必须以直角边所在直线为轴.若以斜边所在直线为轴，形成的几何体是同底面的两个圆锥的组合体.知识点三圆台的结构特征定义用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台图示及相关概念轴：圆锥的轴；底面：圆锥的底面和截面；侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分；母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分；台体：棱台和圆台统称为台体提醒圆台具有的性质：①通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰梯形；②任意两条母线确定的平面截圆台所得的截面是等腰梯形；③母线长都相等，各母线延长后都相交于一点.知识点四球的结构特征定义以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球图示及相关概念球心：半圆的圆心叫做球的球心；半径：连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径球能否由圆面旋转而成？提示：能.圆面以直径所在的直线为旋转轴，旋转半周形成的旋转体即为球.知识点五简单组合体1.定义：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.2.简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体拼接而成；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.1.下列命题中正确的是（）A.以等腰三角形的底边上的中线所在的直线为轴旋转半周所得的旋转体是圆锥B.以直角梯形的一腰所在的直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台C.圆柱、圆锥、圆台都有两个底面D.圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径解析：A以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为轴，旋转一周所得的旋转体才是圆台，所以选项B不正确；圆锥仅有一个底面，所以选项C不正确；圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，所以选项D不正确.很明显选项A正确.2.下面几何体的截面一定是圆面的是（）A.圆台 B.球C.圆柱 D.棱柱解析：B在A中，当截面与底面不平行时，得到的截面不是圆面，故A错误；在B中，球的截面一定是圆面，故B正确；在C中，当截面与底面不平行时，得到的截面不是圆面，故C错误；在D中，棱柱的任何截面都不是圆面，故D错误.故选B.3.轴截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r，则其轴截面面积为.

解析：由圆锥的结构特征可知，轴截面为等腰直角三角形，其高为r，所以S＝12×2r2＝r2答案：r2题型一旋转体的结构特征【例1】下列说法正确的是（填序号）.

①圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；②一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；③圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；④到定点的距离等于定长的点的集合是球.解析①错.由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴.②错.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示.③正确.④错.应为球面.答案③通性通法判断简单旋转体结构特征问题的解题策略（1）准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的形成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键；（2）解题时要注意明确两点：①明确由哪个平面图形旋转而成；②明确旋转轴是哪条直线.有下列命题：①圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；②在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；③圆柱的任意两条母线所在的直线是平行的.其中正确的有（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个解析：C①圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线，正确；②在圆台上、下底面圆周上各取一点，两点的连线不一定是圆台的母线，错误；③圆柱的任意两条母线所在的直线是平行的，正确.故选C.题型二简单组合体的结构特征【例2】请描述如图所示的几何体是如何形成的：解①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；②是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体；③是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体.通性通法判断组合体构成的方法（1）判定实物图是由哪些简单几何体组成的问题时，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体；（2）组合体是由简单几何体拼接、截去或挖去一部分构成的.要仔细观察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证.1.如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的（）解析：A该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成，故应选A.2.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（）A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆柱、一个圆锥C.两个圆台、一个圆柱 D.一个圆柱、两个圆锥解析：D图①是一个等腰梯形，CD为较长的底边，以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图②，包括一个圆柱、两个圆锥.题型三旋转体中与截面有关的计算问题【例3】两平行平面截半径为5的球，若截面面积分别为9π和16π，则这两个平面间的距离是.

解析由已知得两个截面圆半径分别为3和4，如图①所示，两个平行平面在球心同侧，则CD＝52－32－52－42＝4－3＝1；如图②所示，两个平行截面在球心两侧，则CD＝5答案1或7通性通法旋转体截面问题的解题策略（1）画出旋转体的轴截面或相关截面；（2）在截面中借助直角三角形或三角形相似关系建立高、母线长、底面圆或截面圆的半径长的等量关系即可求解.若底面半径为2且底面水平放置的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截，则截得的截面圆的面积为（）A.π B.2π C.3π D.4π解析：A由题意，底面半径为2且底面水平放置的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截，如图所示，设截面圆的半径为r，底面圆半径为R，易知△SA1O1∽△SAO，故O1A1OA＝rR＝SO1SO＝12，可得r＝12R＝1，所以截得的截面圆的面积为1.如图所示的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（）解析：DA中图形旋转得到两个圆锥与一个圆柱，不合题意；B中图形旋转得到两个相同底面的圆锥，不合题意；C中图形旋转得到相同底面的圆柱与圆锥，不合题意；D中图形旋转得到一个圆台与一个圆锥，符合题意.故选D.2.下列说法中正确的是（）A.将正方形旋转不可能形成圆柱B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D.通过圆台侧面上一点，有无数条母线解析：C将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；B中没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况下结论不一定正确，所以B错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误.3.关于图中的组合体的结构特征有以下几种说法：①由一个长方体挖去一