2023-2024学年人教A版必修第二册 7-2-2　复数的乘、除运算 学案

7.2.2复数的乘、除运算新课程标准解读核心素养1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算数学抽象2.理解复数乘法的运算律数学运算我们知道，两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即a，b，c∈R时，有（a＋b）c＝ac＋bc，而且，实数的正整数次幂满足aman＝am＋n，（am）n＝amn，（ab）n＝anbn，其中m，n均为正整数.问题复数的运算满足上述的运算律吗？

知识点一复数的乘法1.复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则z1z2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i.2.复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1z2＝z2z1结合律（z1z2）z3＝z1（z2z3）分配律z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z31.复数的乘法与多项式乘法有何不同？提示：复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并.2.多项式乘法的运算律在复数乘法中能否成立？提示：仍然成立，乘法公式也适用.知识点二复数的除法复数代数形式的除法法则（a＋bi）÷（c＋di）＝a＋bic＋di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i提醒对复数除法的两点说明：①实数化，分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”类似；②代数式，注意最后结果要将实部、虚部分开.1.已知i为虚数单位，复数z＝（3－i）（2＋i），则z的虚部为（）A.i B.1C.7i D.7解析：B∵z＝（3－i）（2＋i）＝7＋i，∴z的虚部为1.故选B.2.复数z＝－i2+i－i在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：C因为z＝－i2+i－i＝－i（2－i）（2+i)(2－i）－i＝－1－2i5－i3.设复数z满足（1＋i）z＝2－2i（i为虚数单位），则｜z｜＝.

解析：由已知可得z＝2（1－i）1+i＝2（1－答案：2题型一复数代数形式的乘法运算【例1】计算下列各题：（1）（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）；（2）（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i.解（1）（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）＝1－i2－1＋i＝1＋i.（2）（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i＝（－2＋10i＋i－5i2）（3－4i）＋2i＝（3＋11i）（3－4i）＋2i＝（9－12i＋33i－44i2）＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.通性通法复数的乘法运算法则的应用（1）复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简；（2）对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便.例如平方差公式、完全平方公式等.1.已知复数z＝i（1－i），则其共轭复数z＝（）A.－1－i B.－1＋iC.1－i D.1＋i解析：Cz＝i（1－i）＝i－i2＝1＋i，所以z＝1－i.故选C.2.若复数z1，z2满足z1＝1－2i，z2＝3＋4i（i是虚数单位），则z1·z2的虚部为.

解析：由题意知，z1·z2＝（1－2i）（3＋4i）＝11－2i，所以z1·z2的虚部为－2.答案：－2题型二复数代数形式的除法运算【例2】（1）已知z＝3+4i1+i，i为虚数单位，则｜z｜＝A.52 B.C.522 （2）若复数z满足zi＝－1＋i（i为虚数单位），则z＝（）A.－1－i B.－1＋iC.1－i D.1＋i解析（1）z＝3+4i1+i＝（3+4i)(1－i）（1+i)(1－i（2）因为复数z满足zi＝－1＋i（i为虚数单位），所以z＝－1+ii＝(-1+i)(-i答案（1）C（2）D通性通法1.两个复数代数形式的除法运算的步骤（1）首先将除式写为分式；（2）再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；（3）然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式.2.常用公式（1）1i＝－i；（2）1+i1－i＝i；（31.设复数z＝1－i（i是虚数单位），则复数2z＋z2＝（A.1－i B.1＋iC.2＋i D.2－i解析：A2z＋z2＝21－i＋（1－i）2＝2（1+i）（1－i)(1+2.复数z＝a＋2i，a∈R，若zi＋1－3i为实数，则a＝.解析：zi＋1－3i＝a+2ii＋1－3i＝－i（a+2i）i·(-i）＋1－3i＝3－（a＋3）i，∵zi＋1－答案：－3题型三i幂值的周期性及应用【例3】（1）复数z＝i2023的模是（）A.i B.－1C.0 D.1（2）计算：1＋i＋i2＋i3＋…＋i100（i为虚数单位）的结果是.

解析（1）因为i2＝－1，i4＝1，所以z＝i2023＝i4×505＋3＝i3＝－i，所以复数z的模是1.故选D.（2）由复数的运算法则可知：1＋i＋i2＋i3＋…＋i100＝1＋（i＋i2＋i3＋i4）＋…＋（i97＋i98＋i99＋i100）＝1＋0＋…＋0＝1.答案（1）D（2）1通性通法利用i幂值的周期性解题的技巧（1）熟记i的幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数是0，1，2，3时，相应的幂值分别为1，i，－1，－i；（2）对于n∈N，有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0.计算：1+i1－解：∵1+i1－i＝（1+i)(1+i）（1－i)(1+i）＝2i2＝i∴1+i1－i2022＋1－i1+i2023＝i2022＋（－i）2023＝i2020×i2＋（－i）2020×题型四在复数范围内解方程【例4】在复数范围内解下列方程：（1）x2＋5＝0；（2）x2＋4x＋6＝0.解（1）因为x2＋5＝0，所以x2＝－5，又因为（5i）2＝（－5i）2＝－5，所以x＝±5i，所以方程x2＋5＝0的根为x＝±5i.（2）法一因为x2＋4x＋6＝0，所以（x＋2）2＝－2，因为（2i）2＝（－2i）2＝－2，所以x＋2＝2i或x＋2＝－2i，即x＝－2＋2i或x＝－2－2i，所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±2i.法二由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8＜0，所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根.在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi（a，b∈R且b≠0），则（a＋bi）2＋4（a＋bi）＋6＝0，所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，整理得（a2－b2＋4a＋6）＋（2ab＋4b）i＝0，所以a又因为b≠0，所以a解得a＝－2，b＝±2.所以x＝－2±2i，即方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±2i.通性通法在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求解方法（1）求根公式法：①当Δ≥0时，x＝－b②当Δ＜0时，x＝－b（2）利用复数相等的定义求解：设方程的根为x＝m＋ni（m，n∈R），代入方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），化简后利用复数相等的定义求解；（3）一元二次方程根与系数的关系仍成立，即x1＋x2＝－ba，x1x2＝c1.已知2i－3是关于x的方程x2＋6x＋q＝0（q∈R）的一个根，则该方程的另一个根为（）A.2i＋3 B.－2i－3C.2i－3 D.－2i＋3解析：B根据题意，方程的另一个根为－6－（2i－3）＝－3－2i.故选B.2.已知关于x的方程x2＋（k＋2i）x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根及实数k的值.解：设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得（x02＋kx0＋2）＋（2x0＋k）i由复数相等的条件得x02＋kx0＋2＝2x0＋k＝解得x0＝∴方程的实根为x＝2或－2，相应的k的值为－22或22.1.已知m∈R，i为虚数单位，若（m＋i）（2－3i）＝5－i，则m＝（）A.1 B.－1C.2 D.－2解析：A由（m＋i）（2－3i）＝（2m＋3）＋（2－3m）i＝5－i，得2m+3=5，22.复数z满足：z（2＋i）＝5（i是虚数单位），则复数z的虚部为（）A.－2 B.2C.－i D.－1解析：Dz＝52+i＝5（2－i）（2+i)(3.已知复数z＝i＋2i2＋3i3＋4i4（其中i为虚数单位），则｜z｜＝（）A.2 B.22C.4 D.10解析：B依题意，z＝i＋2×（－1）＋3（－i）＋4＝2－2i，所以｜z｜＝22＋(-2）24.已知复数z满足z（1＋i）＝2ti（t∈R），若｜z｜＝22，求t的值.解：由z（1＋i）＝2ti（t∈R），得z＝2ti1+i＝2ti（1－i）（1+i)(1－i）＝ti（1－i）＝t＋ti，因为｜z｜＝22，所以t2欧拉公式及应用欧拉公式eix＝cosx＋isinx（x∈R，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域推广到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.【例】（1）欧拉公式eiθ＝cosθ＋isinθ把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美.若复数z满足（eiπ＋i）·z＝i，则z的虚部为（）A.12B.－12 C.1D.（2）（多选）欧拉公式exi＝cosx＋isinx（其中i为虚数单位，x∈R），依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A.复数e2i对应的点位于第三象限B.eπC.复数exiD.eπ6i的共轭复数为1解析（1）由欧拉公式知：eiπ＝cosπ＋isinπ＝－1，∴（eiπ＋i）·z＝（－1＋i）·z＝i，∴z＝i－1+i＝i(-1－i）(-1+i)(-1－i）（2）由题知e2i＝cos2＋isin2，而cos2＜0，sin2＞0，则复数e2i对应的点位于第二象限，故A错误；eπ2i＝cosπ2＋isinπ2＝i，则eπ2i为纯虚数，故B正确；exi3＋i＝cosx＋isinx3＋i＝（cosx＋isinx)(3－i）（3＋i)(3－i）＝3cosx＋sin答案（1）B（2）BC1.（2023·济南月考）欧拉公式eiθ＝cosθ＋isinθ（e＝2.71828…），被誉为数学上优美的数学公式.已知ei（θ＋π6）＝12＋3A.π3＋2kπ（k∈Z） B.π6＋2kπ（k∈C.π3＋kπ（k∈Z） D.π6＋kπ（k∈解析：B∵eiθ＝cosθ＋isinθ，∴ei（θ＋π6）＝cos（θ＋π6）＋isin（θ＋π6）＝12＋32i，∴cos（θ＋π6）＝12，sin（θ＋π2.（多选）公式eix＝cosx＋isinx（x∈R，i为虚数单位）在复变函数中有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，据此公式，则有（）A.eiπ＋1＝0 B.（12＋32i）2022C.｜eix＋e－ix｜≤2 D.－2≤eix－e－ix≤2解析：ABC对于A，当x＝π时，因为eiπ＝cosπ＋isinπ＝－1，所以eiπ＋1＝0，故