2023-2024学年内蒙古自治区赤峰市赤峰第四中学分校高二下学期第一次月考（4月）数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页内蒙古自治区赤峰市赤峰第四中学分校2023-2024学年高二下学期第一次月考（4月）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列导数运算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用导数的求导公式求解即可.【详解】，A正确；，B不正确；，C不正确；，D不正确.故选：A2．2023世界科幻大会在成都举办，主题场馆以自由､扩散､无界的未来建筑形象诠释科学与科幻主题，提取古蜀文化中神秘“古蜀之眼（黄金面具）”融入“星云”屋顶造型，建筑首层围绕共享中庭设置了剧场､主题展区及博物馆三大主题空间.现将4名志愿者安排到这三个主题空间进行志愿服务，则每个主题空间都有志愿者的不同的安排方式有（

）A．6种 B．18种 C．24种 D．36种【答案】D【分析】根据已知条件先分组再分配.【详解】首先根据题意将志愿者分成三组有种分法，安排到三个主题空间有种，根据分步乘法计数原理，不同的安排方式有种.故选：D.3．已知曲线过点，则该曲线在处的切线的方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由曲线上的一点坐标求得参数m，在有导数的几何意义求得切线的斜率，最后由直线的点斜式方程表示直线方程即可.【详解】因为曲线过点，所以，解得，即，所以，从而切线斜率为，所以过点的切线的方程为，即.故选：D【点睛】本题考查由导数的几何意义求切线的方程，属于基础题.4．若，则（

）A． B．16 C．15 D．1【答案】B【分析】利用赋值法可得答案.【详解】因为，令得.故选：B5．“”是“函数是上的单调增函数”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．即不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据单调性得到恒成立，计算得到，根据范围的大小关系得到答案.【详解】函数是上的单调增函数，故恒成立.即恒成立，，故.故“”是“函数是上的单调增函数”的必要不充分条件.故选：B6．小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（

）A．48 B．32 C．24 D．16【答案】C【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解.【详解】1与4相邻，共有种排法，两个2之间插入1个数，共有种排法，再把组合好的数全排列，共有种排法，则总共有种密码．故选：C7．若函数在上存在零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由分离参数得，引入函数，确定在上的单调性，值域，从而可得的范围．【详解】令，则，设，易知函数在上单调递增，而当时，，且，故实数的取值范围为，故选：C.8．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记作：，若，，则b的值可以是（

）A．2024 B．2022 C．2020 D．2088【答案】D【分析】根据二项式定理得到，进而得到，依次判断四个选项，得到D正确.【详解】，故，故，，，，，ABC错误，D正确.故选：D二、多选题9．已知定义在上的函数，其导函数的大致图像如图所示．则下列叙述正确的是（

）A．B．函数在上单调递增，在上单调递减C．的极值点为D．的极大值为【答案】BC【分析】利用导数与函数单调性间的关系和极值、极值点的定义，结合图形，对各个选项逐一分析判断，即可得出结果.【详解】由导数与函数单调性知，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，由图知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则，故选项A错误，又，，所以选项B正确，对于选项C，由图知，，且两侧导数值异号，所以选项C正确，对于选项D，由图知，所以不是极值，所以选项D错误，故选：BC.10．杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律．如图是一个11阶杨辉三角：（

）A．第行中从右到左的第个数是B．第行中从左到右的第个数是，C．若第行中从左到右第与第个数的比为，则D．阶(包括阶)杨辉三角的所有数的和为；【答案】CD【分析】根据条件，利用二项式定理及二项式系数的性质，逐一对各个选项分析判断，即可求出结果.【详解】对于选项A，根据图象及二项式定理知，第行中从右到左的第个数是，所以选项A错误，对于选项B，根据图象及二项式定理知，第行中从左到右的第个数是，所以选项B错误，对于选项C，由题知，得到，整理得到，解得，所以选项C正确，对于选项D，由二项式系数的性质知，第行各数的和为，所以阶(包括阶)杨辉三角的所有数的和为，所以选项D正确，故选：CD.11．已知函数的定义域为，则（

）A．为奇函数B．在上单调递减C．恰有2个极值点D．有且仅有2个极大值点【答案】ABD【分析】根据奇函数的定义，即可判断A；利用导数判断函数的正负，即可判断B；利用导数，转化为函数图象的交点个数问题，即可判断CD.【详解】函数的定义域为，，所以函数为奇函数，故A正确；，当时，，所以函数在上单调递减，故B正确；显然，当时，令，即，得，分别作出和在的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间上共有4个公共点，且图象在这些公共点处都不相切，故在区间上的极值点的个数为4，有2个极大值点，故C错误，D正确.故选：ABD三、填空题12．已知，的导函数分别为，且，则．【答案】【分析】根据题意，求得，令，即可求解.【详解】由函数，可得，令，可得.故答案为：.13．在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照3（语文、数学、英语）+2（物理、历史）选1+4（化学、生物、地理、政治）选2的模式设置的，则在选考的科目中甲、乙两位同学恰有两科相同的概率为.【答案】【分析】先计算出甲、乙两位同学选考的总数，再分两种情况求出甲、乙两位同学恰有两科相同的总数，利用古典概型求概率公式进行求解.【详解】由题意得出甲、乙两位同学选考的总数为种，若相同的科目为4选2的科目，从4科中选2科，有种选择，则2选1两人选择不同，由种选择，共有种；若相同的科目为2选1和4选2中的各1个，从4科中先选出1科相同的，有种选择，甲乙再分别从剩余3科中选择1个不同的，有种选择，再从2选1中选择一科相同的，有种选择，共有种，所以所求概率为.故答案为：.14．对于且这类函数的求导、可以使用下面的方式进行：第一步：；第二步：；第三步：；第四步：根据框内的信息.则函数的导数.【答案】【分析】根据信息，两边取以的底的对数，得到，两边同时对求导，再利用基本初等函数的导数、导数的运算法则及复合函数的求导法则，即可求出结果.【详解】因为，故可得，所以，即，所以.故答案为：四、解答题15．已知函数（，）的图象过点，且．(1)求，的值；(2)求曲线过点的切线方程．【答案】(1)，．(2)【分析】（1）根据题意可得，由，可得，联立即可得解；（2）由可设曲线上的切点为，利用导数的几何意义可得切线斜率为，利用点斜式可得切线方程，带入点，即可得解.【详解】（1）因为函数的图象过点，所以①．又，，所以②，由①②解得，．（2）由（1）知，设所求切线在曲线上的切点为，则，所以切线方程为，又切线过点，所以，可得，，，解得，所以切点为，切线方程为．故曲线过点的切线方程为．16．用0，1，2，3，4这五个数字，可以组成没有重复数字的：（1）三位偶数有多少个？（2）能被3整除的三位数有多少个？（3）可以组成多少个比210大的三位数？【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）考虑个位是时，个位是时，个位是时，三种情况计算得到答案.（2）能被3整除的三位数的数字组成共有：；；；四种情况，分别计算得到答案.（3）考虑百位是时，百位是时，百位是时，三种情况，分别计算得到答案.【详解】（1）个位是时，有个；个位是时，有个；个位是时，有个.故共有个三位偶数.（2）能被3整除的三位数的数字组成共有：；；；四种情况.共有：个.（3）当百位是时，共有个；当百位是时，共有个；当百位是时，共有个；故共有个.【点睛】本题考查了排列组合的应用，分类计算是常用的数学方法，需要熟练掌握.17．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．【答案】（1）x=15cm（2）【详解】试题分析：（1）先设包装盒的高为，底面边长为，写出，与的关系式，并注明的取值范围，再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积关于的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可；（2）利用体积公式表示出包装盒容积关于的函数解析式，利用导数知识求出何时它取得的最大值即可．设包装盒的高为，底面边长为由已知得（1）∵∴当时，取得最大值（2）根据题意有∴．由得，(舍)或．∴当时；当时∴当时取得极大值，也是最大值，此时包装盒的高与底面边长的比值为即包装盒的高与底面边长的比值为．考点：1．函数的应用问题；2．函数的最值与导数；3．二次函数的图像与性质．18．已知的展开式中各项的二项式系数之和为32.（1）求的值；（2）求的展开式中的系数；（3）求展开式中的常数项.【答案】（1）5；（2）80；（3）.【分析】（1）由二项式系数的性质：即可求解；（2）先求出通项为，然后令即可求解；（3）根据多项式乘法法则及（2）中通项，令和，即可求解.【详解】解：（1）由题意，结合二项式系数的性质可得，解得；（2）由（1）得，所以的通项，令，得，所以的展开式中的系数为；（3）由（2）知，的展开式的通项，令，得；令，得，故展开式中的常数项为.19．函数.(1)函数的单调性；(2)数在区间上的最小值．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求出的定义域，对实数a的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；（2）对正实数a的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，由此可求得结果.【详解】（1）因为的定义域为，且，又，当，即时，当时，当时，所以函数在上