安徽省级示范高中培优联盟2023-2024学年高二下学期春季联赛数学试题

姓名______座位号______（在此卷上答题无效）绝密★启用前安徽省示范高中培优联盟2024年春季联赛（高二）数学本试卷分选择题和非选择题两部分，选择题第1至第3页，非选择题第4至第6页．全卷满分150分，考试时间120分钟．考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致．2．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交．一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知，“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知，则（）A． B． C． D．3．在中，已知，，则（）A．-2025 B．-2024 C．2024 D．20254．在一组数3，3，8，11，28中插入两个整数犿，狀，使得新的一组数极差为原来极差的两倍，且众数和中位数保持不变，则的最大值为（）A．57 B．58 C．60 D．615．设函数的导函数为，则（）A．-25 B．-7 C．7 D．256．已知，，，则（）A． B． C． D．7．在平面直角坐标系xOy中，椭圆：的右焦点为F，y轴右侧的两点A，B在椭圆上，且直线AB与圆O：相切，若椭圆的焦距为12，的周长为15，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．8．函数的定义域为R，对于任意实数x，y，都有，则的值不可能是（）A．-2 B． C．1 D．2二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．复数p，q，r在复平面内对应的点分别为P，Q，R，下列说法正确的有（）A．若，则 B．若，则C．若，则P，Q，R三点共线 D．若，则，，成等比数列10．在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，E、F分别为棱AB、PC的中点，下列说法正确的有（）A． B．平面PADC．若，则 D．若平面PCD，则11．已知a，b，c为的三条边长，则下列结论正确的有（）A． B．C． D．考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12．在中，，，，则以B、C为焦点，且过A点的双曲线的离心率为______．13．曲线在点，处的切线分别与y轴交于点，，若c，，d成等差数列，则______．14．某班组织开展知识竞赛，抽取四名同学，分成甲、乙两组：每组两人，进行对战答题．规则如下：每次每名同学回答6道题目，其中有1道是送分题（即每名同学至少答对1题）．若每次每组对的题数之和为3的倍数，则原答题组的人再继续答题；若对的题数之和不是3的倍数，就由对方组接着答题，假设每名同学每次答题之间相互独立，且每次答题顺序不作考虑，第一次由甲组开始答题，则第7次由甲组答题的概率为______．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，D为边BC上一点．（1）试利用“”证明：“”；（2）若，，，，求的面积．16．（15分）某品牌儿童玩具一箱80件，每箱玩具在出厂前都需要经过质检，如果质检不合格，则立即更换．质检时，先从一箱玩具中任取8件检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有玩具进行检验，设每件玩具质检不合格的概率都为，且各件玩具质检是否合格相互独立．（1）若，求8件玩具中至少有一件质检不合格的概率；（2）记8件玩具中恰有2件质检不合格的概率为，求的极大值点．17．（15分）在矩形ABCD中，，取BC边上一点M，将沿着AM折起，折成如图所示的四棱锥．（1）若M为BC的中点，二面角的大小为，求AS与平面ABCD所成角的正弦值；（2）若将沿着AM折起后使得，求线段MC的长．18．（17分）设p为任意给定的大于1的整数，每个正整数n均可以唯一地表示成，，我们将称为n的p进制表示，将称为n在p进制下的数字和．例如：由可知，．（1）请给出2024的三进制表示；（2）若，求．19．（17分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线：的焦点为F，点，，在抛物线上，直线，，的斜率分别为，，．（1）若F为的重心，求证：为定值；（2）若F为的垂心，求证：为定值．培优联盟2024春季联赛高二数学参考答案1234567891011BBDCACDACDBCDAD一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．B【解析】取，，则可知由“”无法推出“”．2．B【解析】．3．D【解析】两式作差得，，所以，即．4．C【解析】若插入两个整数后众数不变，则插入的数可以是“两个都是3”，或是“一个为3，另一个不是3”，或是“两个不等的且不是8，11，28”．①因为新的一组数极差加倍，所以插入的两个数不可能都是3；②因为中位数保持不变，若插入的数“一个为3，另一个不是3”，则一个为3，另一个数不小于8，又因为极差加倍，则另一个数为53，此时；③若插入的两个数是不等的且不是3，8，11，28，且极差为50，则两个数可以为，，，，，，，…所以，的最大值为60．5．A【解析】，．6．C【解析】，，．7．D【解析】记AB与圆O：相切于点，则，，进一步有，同理，故的周长为．8．A【解析】令，则，解得或令，则，故．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．CD【解析】选项A取，．选项B，取，．选项C，由“两个复数相除为实数”可知，实部与虚部比值相等，进而得到两点间的斜率相等，故P，Q，R三点共线．选项D，，则，，成等比数列．10．BCD【解析】选项A：若，则平面PAC，进一步有，而底面ABCD是矩形，不能保证．选项B：取PD中点M，则，进一步有．选项C：．11．AD【解析】选项B：取，，，则；选项C：取，，则选项D：由，，可得．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．3【解析】根据余弦定理计算得，所以．13．【解析】，．由，即，即．14．【解析】记答题的两位同学答对的题数分别为，，则，当时，，故两位同学答对的题数之和是3的倍数的概率为，两位同学答对的题数之和不是3的倍数的概率为．记第n次由甲组答题的概率为，则由乙组答题的概率为，，即，进一步有，所以，令，则．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）解：（1）在中，由．两边同时点乘得，．所以，进而得，，即证．（2）如图，设，，．因为，所以．因为，所以，．所以．化简得，解得或（舍去），所以．所以的面积．16．（15分）解：（1）因为8件玩具质检都合格的概率为，所以8件玩具中至少有一件质检不合格的概率为．（2）8件玩具中恰有2件质检不合格的概率为，即，因为，所以，;，．所以在上单调递增，在上单调递减，故为的极大值点，即．17．（15分）解：（1）取AM的中点H，连接HS，HB．因为四边形ABCD是矩形，且，所以为等腰直角三角形，所以也为等腰直角三角形，因此HS，HB均垂直于AM，所以平面BSH，．故二面角的平面角为．因为，所以为正三角形．以H为坐标原点，HB，HM所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则点S在坐标平面xHz内，则，，所以．易得平面ABCD的一个法向量为．设AS与平面ABCD所成的角为，则，所以AS与平面ABCD所成角的正弦值为．（2）作于H，则．因为，所以平面BSH．以H为坐标原点，HB，HM分别为x轴、y轴建系，则点S在坐标平面xHz内．设，，则．取AM的方向向量为．因为，所以，解得，即D在x轴上，所以B，H，D三点共线，故．因为矩形ABCD中，，与相似，所以，解得，故．18．（17分）解：（1）2024的三进制表示为；（2）对任意正整数k，都有，所以对任意正整数k，l，当时，，因为，所以，进一步有，所以，即．故．19．（17分）解：抛物线：的焦点F的坐