第二章《点直线平面之间的位置关系》教案

§2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系一、教学重点、难点重点：1、异面直线的概念；2、公理4及等角定理。难点：异面直线所成角的计算。二、教学思想讲授新课1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：共面直线相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图：2、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？组织学生思考：长方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'∥AA'，DD'∥AA'，BB'与DD'平行吗？生：平行再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c是三条直线=>a∥ca=>a∥cc∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。。4、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。（1）师：如图，已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'∥a、b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。（2）强调：①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；②两条异面直线所成的角θ∈(0，)；③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。课后作业1、判断题：（1）a∥bc⊥a=>c⊥b（）（1）a⊥cb⊥c=>a⊥b（）2、填空题：在正方体ABCD-A'B'C'D'中，与BD'成异面直线的有________条。§2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系一、教学重点、难点重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。二、教学思想研探新知1、引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点（3）直线在平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα来表示aαa∩α=Aa∥α例4（投影）师生共同完成例4例4的给出加深了学生对这几种位置关系的理解。2、引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考，准确归纳出两个平面之间有两种位置关系：（1）两个平面平行——没有公共点（2）两个平面相交——有且只有一条公共直线用类比的方法，学生很快地理解与掌握了新内容，这两种位置关系用图形表示为αβαβLαβ本章例题：例1、正方体ABCD-A1B1C1D1中，

（1）DD1和A1B1的位置关系如何？D1B和AC的位置关系如何？A1C和D1B的位置关系如何？

（2）和AD成异面直线的棱所在直线有几条？（3）和BD1成异面直线的棱所在直线有几条？

（4）六个面的正方形对角线共12条，这些对角线所在直线中，异面直线共有多少对？例1例2解析：我们知道空间两条直线的位置关系有且只有三种，判断的依据是看两条直线是共面还是异面及是否有公共点。

（1）异面直线；异面直线；相交直线；（2）4条．分别是A1B1、B1B、C1D1、C1C；

（3）6条．分别是AA1、CC1、A1B1、B1C1、AD、CD；（4）30对。

例2、已知：如图，立体图形A—BCD的四个面分别是△ABC、△ACD、△ABD和△BCD，E、F、G分别为线段AB、AC、AD上的点，EF∥BC，FG∥CD．

求证：△EFG∽△BCD．证明：∵在平面ABC中，EF∥BC，∴＝．

又在平面ACD中，FG∥CD，∴=．

∴=．∴EG∥BD．∴∠EFG=∠BCD．

同理∠FGE=∠CDB，∴△EFG∽△BCD．

与本例类似变形还有：

已知：将一张长方形的纸片ABCD对折一次，EF为折痕再打开竖直在桌面上，如图所示，连结AD、BC．求证：ADBC，∠ADE＝∠BCF．（证明略）本章练习：

1．下列图形中，满足的图形是（）．

（A）（B）（C）（D）

2．已知A、B表示点，b表示直线，、表示平面，下列命题和表示方法都正确的是（）．

（A）（B）

（C）（D）

3．用符号表示“若A、B是平面内的两点，C是直线AB上的点，则C必在内”，即是_______

4．“a，b为异面直线”是指：

（1）且a不平行于b；（2）且；

（3）且；（4）；

（5）不存在平面，使且成立．上述结论中，正确的是（）．

（A）（1）（4）（5）（B）（1）（3）（4）（C）（2）（4）（D）（1）（5）

5．一条直线和两条异面直线的一条平行，则它和另一条的位置关系是（）．

（A）平行或异面（B）异面（C）相交（D）相交或异面

6．如图空间四边形ABCD中，M、N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD＝m，则MN＝？7.如上图，是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AF、BC、DE这三条线段所在直线是异面直线的是__________，它们所成的角为________度。四、练习答案：

1.（C）．2.（C）．3..

4.D提示：根据异面直线定义“不同在任何一个平面内，没有公共点的两条直线叫异面直线”，结合图形可排除（2）、（3）、（4）．（∵（2）中可能有a∥b，（3）中可能有a∥b，（4）可能有a与b相交或平行．）（5）是正确的，再由直线位置关系可得（1）也是正确的．

5.（D）提示：由公理可排除（A），再结合图形可利用平移方法验证．

6.答案：1/3m．提示：重心是三条中线的交点，并分每条中线的比为2∶3．连结AM并延长交BC于E，连结AN并延长交CD于F，再连结MN、EF，根据三角形重心性质得BE＝EC，CF＝FD．

∴MNEF，EFBD．∴MNBD∴MN＝m．

7.解析：展开图还原成正方体如图所示（C点与D点重合），成异面直线的是AF与BC（或BD)，AF与BC所成角即为CE与BC所成角，为60度。§2.2.1直线与平面平行的判定一、教学重点、难点重点、难点：直线与平面平行的判定定理及应用。二、教学思想（一）创设情景、揭示课题引导学生观察身边的实物，如教材第55页观察题：封面所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？如何去确定这种关系呢？这就是我们本节课所要学习的内容。（二）研探新知αaαa直线a与平面α平行吗？ααab若α内有直线b与a平行，那么α与a的位置关系如何？是否可以保证直线a与平面α平行？得出以下结论：直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：aαbβ=>a∥αa∥b2、例1引导学生思考后，师生共同完成该例是判定定理的应用，让学生掌握将空间问题转化为平面问题的化归思想。§2.2.2平面与平面平行的判定一、教学重点、难点重点：两个平面平行的判定。难点：判定定理、例题的证明。二、教学思想1、问题：（1）平面β内有一条直线与平面α平行，α、β平行吗？（2）平面β内有两条直线与平面α平行，α、β平行吗？通过长方体模型，引导学生观察、思考、交流，得出结论。两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：aβbβa∩b=Pβ∥αa∥αb∥α教师指出：判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。2、例2引导学生思考后，教师讲授。例子的给出，有利于学生掌握该定理的应用。（三）自主学习、加深认识练习：教材第59页1、2、3题。作业布置第65页习题2.2A组第7题。§2.2.3—2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质一、教学重点、难点重点：两个性质定理。难点：（1）性质定理的证明；（2）性质定理的正确运用。二、教学思想（一）创设情景、引入新课1、思考题：教材第60页，思考（1）（2）学生思考、交流，得出（1）一条直线与平面平行，并不能保证这个平面内的所有直线都与这个直线平行；（2）直线a与平面α平行，过直线a的某一平面，若与平面α相交，则直线a就平行于这条交线。在教师的启发下，师生共同完成该结论的证明过程。于是，得到直线与平面平行的性质定理。定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：a∥αaβa∥bα∩β=b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。思考：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么样的位置关系？学生借助长方体模型思考、交流得出结论：异面或平行。再问：平面AC内哪些直线与B'D'平行？怎么找？在教师的启发下，师生共同完成该结论及证明过程，于是得到两个平面平行的性质定理。定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：α∥βα∩γ=aa∥bβ∩γ=b教师指出：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行（三）自主学习、巩固知识练习：课本第63页（四）归纳整理、整体认识1、通过对两个性质定理的学习，大家应注意些什么？2、本节课涉及到哪些主要的数学思想方法？本章例题：例1：已知正方体．求证：平面平面．证明：∵为正方体，∴，

又平面，故

平面．同理

平面．又

，∴平面平面．说明：上述证明是根据判定定理1实现的．本题也可根据判定定理2证明，只需连接即可，此法还可以求出这两个平行平面的距离．（五）布置作业课本第65页习题2.2A组第6题。例2设直线、，平面、，下列条件能得出的是（C）．A．，，且，B．，，且C．，，且D．，，且分析：选项A是错误的，因为当时，与可能相交．选项B是错误的，理由同A．选项C是正确的，因为，，所以，又∵，∴．选项D也是错误的，满足条件的可能与相交．例3如图所示，平面平面，点、，点，是、的公垂线，是斜线．若，，、分别是和的中点，(1)求证：；(2)求的长．分析：（1）要证，取的中点，只要证明所在的平面．为此证明，即可．(2)要求之长，在中，、的长度易知，关键在于证明，从而由勾股定理可以求解．证明：(1)连结，设是的中点，分别连结、．∵是的中点，∴．又，∴．同理∵是的中点，∴．∵，∴．∵，，∴平面．∵平面，∴．(2)分别连结、．∵，，又∵是、的公垂线，∴，∴≌，∴，∴是等腰三角形．又是的中点，∴．在中，．说明：(1)证“线面平行”也可以先证“面面平行”，然后利用面面平行的性质，推证“线面平行”，这是一种以退为进的解题策略．(2)空间线段的长度，一般通过构造三角形、然后利用余弦定理或勾股定理来求解．(3)面面平行的性质：①面面平行，则线面平行；②面面平行，则被第三个平面所截得的交线平行．本节练习：直线、平面平行的判定及其性质1．平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面a＝c，若a∥b，则c与a，b的位置关系是（）A．c与a，b都异面B．c与a，b都相交C．c至少与a，b中的一条相交D．c与a，b都平行2．过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1A.4条B.6条C.8条D.12条3．考察下列三个命题，是否需要在“”处添加一个条件，才能构成真命题（其中l，m为直线，α、β为平面）？如需要，请填这个条件，如不需要，请把“”划掉。①②③4．给出下面四个命题：=1\*GB3①在空间过直线外一点，作这条直线的平行线只能有一条；=2\*GB3②既不平行又不相交的两条直线是异面直线；=3\*GB3③两两平行的三条直线确定三个平面；=4\*GB3④不可能在同一平面内的两条直线是异面直线。其中正确的命题是__________5．对于不重合的两个平面，给定下列条件：①存在平面，使得α、β都垂直于；②存在平面，使得α、β都平行于；③存在直线，直线，使得；④存在异面直线l、m，使得其中，可以判定α与β平行的条件有___________6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝a则平面AD1B1与平面BC17．已知平面平面，是外一点，过点的直线与分别交于点，过点的直线与分别交于点，且，，，则的长为___________8．已知直线m,n及平面α，其中m//n，那么在平面α内到两条直线m,n距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集。其中正确的序号有.9．已知，线段GH、GD、HE交、于A、B、C、D、E、F，若GA=9，AB=12，BH=16，，则=__________。10．求证：过两条异面直线中的一条直线有且只有一个平面与另一条直线平行。ADCADCBEFNM参考答案：１．Ｄ２．D.解：如图，过平行六面体任意两条棱的中点作直线,其中与平面平行的直线共有12条．３．解：①；②；③。４．_①②④__５．_②_④___６．解：设A1C∩平面AB1D1＝Ｍ，A1C∩平面BC1D＝Ｎ，O1，Ｏ分别为上底面A1B1C1D1，下底面ABCD的中心，则M∈AO1，N∈C1O，且AO1∥C1O，MN的长即等于平面AB1D1与平面BC1D的距离，即MN=A1７．或8．①②④9．96证明：AC∥BDAE∥BF∴abaα10．证明：①存在性:在直线b上任取一点B，过B作a∥a，∵a与b相交于B，∴过a，b可作一个平面α，∵a∥a，aabaα唯一性：假设过b还有一平面β，使a∥β，∵bα，bβ。∴α∩β=b，而a∥α，a∥β，∴a∥b，这与a，b是异面直线矛盾。∴假设不成立，∴过b有且只有一个平面与a平行。思维点拨：“有且只有”包含“存在”与“唯一”两个方面。ADCBEFNMGADDCADCBEFNMGADDCBFEEMPQN证法二：过M作MG∥BC，交AB于G（如图），连结NG，∵MG∥BC，BC⊂平面BCE，MG⊄平面BCE，∴MG∥平面BCE，又，∴GN∥AF∥BE，同样可证明GN∥平面BCE，而MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCE，MN⊂平面MNG，∴MN∥平面BCE。§2.3.1直线与平面垂直的判定一、教学重点、难点直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。三、教学设计（一）创设情景，揭示课题1、教师首先提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗？然后让学生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。2、接着教师指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课题内容。（二）研探新知1、如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图2.3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。并对画示表示进行说明。Lpα图2-3-12、老师提出问题，让学生思考：（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？（2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图2.3-2试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？ABDC图2.3-2（3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平面），进行合情推理，获得判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。特别强调：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。（三）实际应用,巩固深化（1）课本P69例1教学（2）课本P69例2教学（四）归纳小结，课后思考小结：采用师生对话形式，完成下列问题：①请归纳一下获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程。②直线与平面垂直的判定定理，体现的教学思想方法是什么？课后作业:①课本P70练习2②求证：如果一条直线平行于一个平面，那么这个平面的任何垂线都和这条直线垂直。思考题：如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线就和这个平面垂直，这个结论对吗？为什么？§2.3.2平面与平面垂直的判定一、教学设计（一）创设情景，揭示课题问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？（二）研探新知1、二面角的有关概念老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）角二面角图形A边顶点O边BA梭lβBα定义从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形构成射线—点（顶点）一射线半平面一线（棱）一半平面表示∠AOB二面角α-l-β或α-AB-β2、二面角的度量二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。教师特别指出：（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L”，OB⊥L；（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平面的位置关系怎样？承上启下，引导学生观察，类比、自主探究，βB获得两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。COA（三）应用举例，强化所学α1、课后作业：自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：它们所成的角与二两角的平面角互补。2、课后思考问题：在表示二面角的平面角时，为何要求“OA⊥L、OB⊥L”？为什么∠AOB的大小与点O在L上的位置无关？§2、3.3直线与平面垂直的性质§2、3.4平面与平面垂直的性质一、教学重点、难点两个性质定理的证明。二、教学设计（一）创设情景，揭示课题问题：若一条直线与一个平面垂直，则可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？（二）研探新知1、操作确认观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系。如图2.3—4，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间是有什么位置关系？（显然互相平行）然后进一步迁移活动：已知直线a⊥α、b⊥αC1D1C1D1abA1A1B1αDαDCCABAB图2.3-4图2.3-52、推理证明引导学生分析性质定理成立的条件，介绍证明性质定理成立的特殊方法——反证法，然后师生互动共同完成该推理过程，最后归纳得出：垂直于同一个平面的两条直线平行。（三）应用巩固例子：课本P.74例4做法：教师给出问题，学生思考探究、判断并说理由，教师最后评议。（四）类比拓展，研探新知类比上面定理：若在两个平面互相垂直的条件下，又会得出怎样的结论呢？例如：如何在黑板面上画一条与地面垂直的直线？引导学生观察教室相邻两面墙的交线，容易发现该交线与地面垂直，这时，只要在黑板上画出一条与这交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直。然后师生互动，共同完成性质定理的确认与证明，并归纳性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。（五）巩固深化、发展思维思考1、设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，直线a与平面α具有什么位置关系？（答：直线a必在平面α内）思考2、已知平面α、β和直线a，若α⊥β，a⊥β，aα，则直线a与平面α具有什么位置关系？（六）归纳小结,课后巩固小结：（1）请归纳一下本节学习了什么性质定理，其内容各是什么？（2）类比两个性质定理，你发现它们之间有何联系？作业：（1）求证：两条异面直线不能同时和一个平面垂直；（2）求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。本章例题：例1如图，在正方体中，是的中点，是底面正方形的中心，求证：平面．分析：本题考查的是线面垂直的判定方法．根据线面垂直的判定方法，要证明平面，只要在平面内找两条相交直线与垂直．证明：连结、、，在△中，∵分别是和的中点，∴．∵面，∴为在面内的射影．又∵，∴．同理可证，．又∵，、面，∴平面．∵，∴平面．例2如图，在△中，，平面，点在和上的射影分别为，求证：．分析：本题考查的仍是线面垂直的判定和性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化思想．欲证，可证面，为此须证，进而可转化为证明平面，而已知，所以只要证即可．由于图中线线垂直、线面垂直关系较多，所以本题也可以利用三垂线定理和逆定理来证线线垂直．证明：∵面，平面，∴．∵，即，，∴平面．∵平面．∴．又∵，，∴平面．∵平面，∴，又∵，，∴平面．∵平面．∴．另证：由上面可证平面．∴为在平面内的射影．∵，∴．本章练习：1.已知直线，和平面，且，，则与的位置关系是．2.已知两个平面垂直，下列命题一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线．一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线．一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确的个数是（）A．３ Ｂ．２ Ｃ．１ Ｄ．０3.如图所示，为正方形，平面，过且垂直于的平面分别交，，于，，．求证：．第3题图第5题图第7题