考研数学三(多元函数微分学)模拟试卷6(题后含答案及解析)

考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷6(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．设u=f(x+y，xz)有二阶连续的偏导数，则A．f′2+xf”11+(x+z)f”12+xzf”22B．xf”12+xzf”22C．f′2+xf”12+xzf”22D．xzy”22正确答案：C解析：选(C)．知识模块：多元函数微分学2．函数z=f(x，y)在点(x0，y0)可偏导是函数z=f(x，y)在点(x0，y0)连续的()．A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．非充分非必要条件正确答案：D解析：如在点(0，0)处可偏导，但不连续；又如在(0，0)处连续，但对x不可偏导．选(D)．知识模块：多元函数微分学3．设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则下列结论正确的是()．A．f(x0，y)在y=y0处导数为零B．f(x0，y)在y=y0处导数大于零C．f(x0，y)在y=y0处导数小于零D．f(x0，y)在y=y0处导数不存在正确答案：A解析：可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则有f′x(x0，y0)=0，f′0(x0，y0)=0，于是f(x0，y)在y=y0处导数为零，选(A)．知识模块：多元函数微分学填空题4．设f(x，y)满足f(x，0)=1，f′y(x，0)=x，则f(x，y)=________．正确答案：由得因为f′y(x，0)=x，所以φ1(x)=x，即再由得f(x，y)=y1+xy+φ1(x)，因为f(x，0)=1，所以φ2(x)=1，故f(x，y)=y2+xy+1．涉及知识点：多元函数微分学5．设u=f(x，y，z)=exyz2，其中z=z(x，y)是由x+y+z+xyz=0确定的隐函数，则正确答案：x+y+z+xyz=0两边关于x求偏导得将x=0，y=1，z=一1代入得涉及知识点：多元函数微分学6．设其中f(u)可导，则正确答案：涉及知识点：多元函数微分学7．设y=y(x，z)是由方程ex+y+z=x2+y2+z2确定的隐函数，则正确答案：ex+y+z=x2+y2+z2两边对z求偏导得从而涉及知识点：多元函数微分学8．设z=f(x，y)是由确定的函数，则正确答案：将代入e2yz+x+y2+z=中得z=0，两边求微分得2e2yz(zdy+ydz)+dx+2ydy+dz=0，将z=0代入得涉及知识点：多元函数微分学9．设y=y(x)由确定，则正确答案：当x=0时，y=1，两边对x求导，得将x=0，y=1代入得涉及知识点：多元函数微分学10．设z=z(x，y)由z+ez=xy2确定，则dz=___________．正确答案：方法一z+ez=xy2两边对x求偏导得解得z+ez=xy2两边对y求偏导得解得则方法二z+ez=xy2两边求微分得d(z+ez)=d(xy2)，即dz+ezdz=y2dx+2xydy，解得涉及知识点：多元函数微分学11．设z=f(x+y，y+z，z+x)，其中f连续可偏导，则正确答案：z=f(x+y，y+z，z+x)两边求x求偏导得解得涉及知识点：多元函数微分学12．设其中f可导，则正确答案：则涉及知识点：多元函数微分学13．由方程确定的隐函数z=z(x，y)在点(1，0，一1)处的微分为dz=__________．正确答案：两边求微分得把(1，0，一1)代入上式得涉及知识点：多元函数微分学14．设f(x，y，z)=exyz2，其中z=z(x，y)是由x+y+z+xyz=0确定的隐函数，则f′x(0，1，一1)=__________．正确答案：x+y+z+xyz=0两边对x求偏导得将x=0，y=1，z=一1代入得解得f′x(0，1，一1)=1．涉及知识点：多元函数微分学15．设f(x，y)可微，且f′1(-1,3)=-2，f′2(-1，3)=1，令则dz|(1,3)=________．正确答案：则则dz|(1,3)=一7dx+3dy．涉及知识点：多元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．设有一阶连续的偏导数，求正确答案：涉及知识点：多元函数微分学17．设函数z=z(x，y)由方程x2+y2+z2=xyf(x2)所确定，其中f是可微函数，计算并化成最简形式．正确答案：x2+y2+z2=xyf(z2)两边对x求偏导得解得x2+y2+z2=xyf(z2)两边对y求偏导得解得故涉及知识点：多元函数微分学18．设f(t)二阶可导，g(u，v)二阶连续可偏导，且z=f(2x—y)+g(x，3y)，求正确答案：涉及知识点：多元函数微分学19．设z=f(exsiny，x2+y2)，且f(u，v)二阶连续可偏导，求正确答案：涉及知识点：多元函数微分学20．设z=f(x2+y2，xy，x)，其中f(u，v，w)二阶连续可偏导，求正确答案：涉及知识点：多元函数微分学21．设z=z(x，y)由x—yz+yez-x-y=0确定，求及dz．正确答案：方程x—yz+yez-y-x=0两边对x求偏导得解得方程x—yz+yez-x-y=0两边对y求偏导得解得涉及知识点：多元函数微分学22．设z=f[x—y+g(x—y—z)]，其中f，g可微，求正确答案：等式z=f(x—y+g(x—y—z))两边对x求偏导得解得等式z=f(x—y+g(x—y—z))两边对y求偏导得解得涉及知识点：多元函数微分学23．设u=f(x)，其中z是由z=y+xφ(z)确定的x，y的函数，其中f(z)与φ(z)为可微函数．证明：正确答案：两边对x求偏导得解得则两边对y求偏导得解得则所以涉及知识点：多元函数微分学24．设xy=xf(z)+yg(z)，且xf′(z)+yg′(z)≠0，其中z=z(x，y)是x，y的函数．证明：正确答案：xy=xf(z)+yg(z)两边分别对x，y求偏导，得解得于是涉及知识点：多元函数微分学25．设z=f(x，y)由方程z—y—x+xez-y-x=0确定，求dz．正确答案：对z—y—x+xz-y=x=0两边求微分，得dz—dy—dx+ez-y-xdx+xez-y-x(dz—dy—dx)=0，解得涉及知识点：多元函数微分学26．设u=f(x．y，z)有连续的偏导数，y=y(x)，z=z(x)分别由方程exy—y=0与ez一xz=0确定，求正确答案：方程exy一y=0两边对x求导得解得方程ez一xz=0两边对x求导得解得则涉及知识点：多元函数微分学27．设y=y(x)，z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x，y，z)=0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求正确答案：z=xf(x+y)及F(x，y，z)=0两边对x求导数，得解得涉及知识点：多元函数微分学28．(1)设y=f(x，t)，其中t是由G(x，y，t)=0确定的x，y的函数，且f(x，t)，G(x，y，t)一阶连续可偏导，求(2)设z=z(x，y)由方程确定，求正确答案：(1)将y=f(x，t)与G(x，y，t)=0两边对x求导得解得(2)当x=0，y=0时，z=1．两边分别对x和y求偏导得两边对y求偏导得故涉及知识点：多元函数微分学29．设且F可微，证明：正确答案：两边对x求偏导得解得两边对y求偏导得解得于是涉及知识点：多元函数微分学30．设变换可把方程化简为求常数a．正确答案：将u，v作为中间变量，则函数关系为z=f(u，v)，则有将上述式子代入方程根据题意得解得a=3．涉及知识点：多元函数微分学31．设z=f[x+φ(x—y)，y]，其中f二阶连续可偏导，φ二阶可导，求正确答案：z=f[x+φ(x—y)，y]两边对y求偏导得涉及知识点：多元函数微分学32．设z=f(x，y)由f(x+y，x—y)=x2一y2一xy确定，求dz．正确答案：令则代入得涉及知识点：多元函数微分学33．(1)求二元函数f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的极值．(2)求函数f(x，y)=(x2+2x+y)ey的极值．-正确答案：(1)二元函数f(x，y)的定义域为D={(x，y)|y＞0}，因为AC—B2＞0且A＞0，所以为f(x，y)的极小值点，极小值为(2)由得由AC—B2=2＞0及A=2＞0得(x，y)=(一1，0)为f(x，y)的极小值点，极小值为f(-1，0)=一1．涉及知识点：多元函数微分学34．试求z=f(x，y)=x3+y3一3xy在矩形闭域D={(x，y)|0≤x≤2，一1≤y≤2}上的最大值与最小值．正确答案：当(x，y)在区域D内时，在L1：y=一1(0≤x≤2)上，z=x3+3x一1，因为z′=3x2+3>0，所以最小值为z(0)=一l，最大值为z(2)=13；在L2：y=2(0≤x≤2)上，z=x3一6x+8，由z′=3x2一6=0得z(2)=4；在L3：x=0(-1≤y≤2)上，z=y3，由z′=3y2=0得y=0，z(一1)=一1，z(0)=0，z(2)=8；在L4：x=2(-1≤y≤2)上，z=y3一6y+8，由z′=3y2一6=0得z(2)=4.故z=x3+y3一3xy在D上的最小值为一1，最大值为13．涉及知识点：多元函数微分学35．平面曲线L：绕x轴旋转所得曲面为S，求曲面S的内接长方体的最大体积．正确答案：曲线L：绕x轴旋转一周所得的曲面为S：根据对称性，设内接长方体在第一卦限的顶点坐标为M(x，y，z)，则体积为V=8xyz．令由由实际问题的特性及点的唯一性，当时，内接长方体体积最大，最大体积为涉及知识点：多元函数微分学36．设某工厂生产甲乙两种产品，产量分别为x件和y件，利润函数为L(x，y)=6x—x2+16y一4y2一2(万元)．已知生产这两种产品时，每件产品都要消耗原料2000kg，现有该原料12000