2023年宁夏回族自治区吴忠市第三中学中考数学模拟试题（一）

2023年宁夏吴忠三中中考数学模拟试卷（一）一、选择题（共8小题24分）1.计算的结果是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂的除法，按照公式计算即可．【详解】解：，故选B．2.小欣同学用纸（如图）折成了个正方体的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在验证立方体的展开图时，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断．【详解】解：根据展开图中各种符号的特征和位置，可得墨水在B盒子里面．

故选：B．【点睛】本题考查正方体的表面展开图及空间想象能力．易错易混点：学生对相关图的位置想象不准确，从而错选，解决这类问题时，不妨动手实际操作一下，即可解决问题．解题的关键是掌握基本图形的展开图．3.冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（）A.众数是 B.平均数是 C.方差是 D.中位数是【答案】D【解析】【分析】分别根据众数、平均数、方差、中位数的定义判断即可．【详解】将这组数据从小到大的顺序排列：10,11,11,11,13,13,15，A．这组数据的众数为11，此选项正确，不符合题意；B．这组数据的平均数为（10+11+11+11+13+13+15）÷7=12，此选项正确，不符合题意；C．这组数据的方差为=，此选项正确，不符合题意；D．这组数据的中位数为11，此选项错误，符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了众数、平均数、方差、中位数，熟练掌握他们的意义和计算方法是解答的关键．4.如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】解：∵D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，∴△DEF与△ABC的位似比为1︰2，∴其面积比是1︰4，故选B．5.从1，2，3，4，5这五个数中任选两个数，其和为偶数的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据列表法求概率即可求解．【详解】解：列表如下，123451345623567345784567956789共有20种等可能结果，其中和为偶数的有8种，则其和为偶数的概率为故选B【点睛】本题考查了列表法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．6.已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（）A. B. C.且 D.且【答案】C【解析】【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数得到且，即可求解．【详解】方程两边同时乘以，得，解得，关于x的分式方程的解是正数，，且，即且，且，故选：C．【点睛】本题考查了分式方程的解，涉及解分式方程和分式方程分母不为0，熟练掌握知识点是解题的关键．7.我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据“现在拿30斗谷子，共换了5斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【详解】解：依题意，得：．故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．8.中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，为直角三角形中的一个锐角，则（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，再接着利用勾股定理得到关于a的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出的值即可．【详解】∵小正方形与每个直角三角形面积均为1，∴大正方形的面积为5，∴小正方形的边长为1，大正方形的边长为，设直角三角形短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，其中a>0，∴a2+(a+1)2=5，其中a>0，解得：a1=1，a2=-2(不符合题意，舍去)，===2，故选：A．【点睛】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．二、填空题（共8小题24分）9.分解因式________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查因式分解，提公因式后再利用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：原式，故答案为：．10.第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超过218000000人．数据218000000用科学记数法表示为______．【答案】【解析】【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．11.在函数中，自变量x的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】直接利用二次根式和分式有意义的条件列出不等式组求解即可．【详解】解：函数中：，解得：．故答案为：．【点睛】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确把握二次根式和分式有意义的条件是解题关键．12.已知一个多边形的每一个内角都是，则这个多边形的边数是________．【答案】12【解析】【分析】本题考查的是多边形的内角与外角，解答此类问题时要找到不变量，即多边形的外角是这一关键．设这个多边形的边数为n，根据多边形的外角和是求出n的值即可．【详解】解：多边形的各个内角都等于，每个外角为，设这个多边形的边数为，则，解得．故答案为：12．13.已知实数a，b是方程x2－x－1＝0的两根，则的值为________．【答案】－3【解析】【详解】解：∵实数a，b是方程x2-x-1=0的两根，∴a+b=1，ab=-1，∴．故答案为：-3．14.如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得弧，连结，则图中阴影部分的面积为______．【答案】【解析】【分析】由正六边形的边长为2，可得，，进而求出，过B作于H，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，在中，由勾股定理求得的长，根据扇形的面积公式即可得到阴影部分的面积．【详解】解：∵正六边形的边长为2，∴，，∵，∴，过B作于H，∴，，在中，，∴，同理可证，，∴，∴，∴图中阴影部分的面积为，故答案为：．【点睛】本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．15.如图，矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长为________．【答案】【解析】【分析】连接BF，交交于点O，由折叠可知：，，可得，，再证，得到，在中，利用等面积法求出的长，最后在中，利用勾股定理即可求出答案．【详解】解：连接，交于点O，如下图：由折叠可知：，，∴，，∵点E为的中点，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∴，在中，由勾股定理得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，平行线的判定和性质等内容，熟练掌握翻折变换和勾股定理的应用是解题的关键．16.某校数学兴趣小组开展无人机测旗杆的活动：已知无人机的飞行高度为30m，当无人机飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m到达B处，测得旗杆顶部的俯角为60°，则旗杆的高度约为________m．（参考数据：，结果按四舍五八保留一位小数）【答案】12.7【解析】【分析】设旗杆底部为点C，顶部为点D，过点D作DE⊥AB，交直线AB于点E．设DE=xm，在Rt△BDE中，，进而求得，在Rt△ADE中，，求得，根据CD=CE-DE可得出答案．【详解】解：设旗杆底部为点C，顶部为点D，延长CD交直线AB于点E，依题意则DE⊥AB，则CE=30m，AB=20m，∠EAD=30°，∠EBD=60°，设DE=xm，在Rt△BDE中，解得则m，在Rt△ADE中，，解得m，∴CD=CE-DE．故答案为：12.7．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．三、解答题（共10小题，72分，解答应写出过程）17.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．（1）在图中作出关于直线对称的；（要求A与，B与，C与相对应）（2）作出绕点C顺时针方向旋转后得到的；（3）在（2）的条件下直接写出点B旋转到所经过的路径的长．（结果保留π）【答案】（1）见详解（2）见详解（3）【解析】【分析】本题主要考查网格作图（旋转和轴对称变换），勾股定理和弧长的计算，（1）根据网格结构找出点A、B、C关于直线l的对称点、、的位置，然后顺次连接即可；（2）根据网格结构找出点A、B绕点C顺时针旋转后、的位置，然后顺次连接即可；（3）利用勾股定理列式求出的长，再根据弧长公式列式计算即可得解．【小问1详解】解：如下图所示；【小问2详解】如图所示，【小问3详解】根据勾股定理，，∴点B旋转到所经过的路径的长．18.（1）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．解：第一步第二步第三步第四步第五步任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据___________（运算律）进行变形的．②第___________步开始出现错误．这一步错误的原因是___________．任务二：请直接写出该不等式的正确解集．解集：____________．【答案】任务一：①乘法分配律（或分配律）；②五,不等式两边都除以，不等号的方向没有改变（或不符合不等式的基本性质3）；任务二：．【解析】【分析】按照含有分母的一元一次不等式解法步骤进行，求出不等式的解集，即可完成任务一与任务二．【详解】解：第一步第二步第三步第四步第五步任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据乘法分配律进行变形的；②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边都除以，不等号的方向没有改变；故答案为：①乘法分配律（或分配律），②五，不等式两边都除以，不等号的方向没有改变．任务二：该不等式的正确解集是．故答案为：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，这里先去分母比较简单，掌握不等式的性质是关键．19.先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】先对分式进行化简，然后再代入进行求解即可．【详解】解：原式=；把代入得：原式=．【点睛】本题主要考查二次根式的运算及分式的化简求值，熟练掌握分式的运算及二次根式的运算是解题的关键．20.吴忠三中开展主题为“交通与防溺水安全教育”的调查活动，抽取了部分学生进行调查，调查问卷设置了A：非常了解、B：比较了解、C：基本了解、D：不太了解四个等级，要求每个学生填且只能填其中的一个等级，采取随机抽样的方式，并根据调查结果绘制成如图所示不完整的频数分布表和频数分布直方图，根据以上信息回答下列问题：等级频数频率A200.4B15bC100.2Da0.1（1）频数分布表中，，将频数分布直方图补充完整；（2）若该校有学生4000人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”交通和防溺水常识的学生共有多少人？（3）在“非常了解”防溺水常识的学生中，某班有5个学生，其中3男2女，计划在这5个学生中随机抽选两个加入防溺水志愿者宣传队，请用列表或画树状图的方法求所选两个学生中至少有一个女生的概率．【答案】（1）5，0.3，图见解析（2）2800人（3）【解析】【分析】本题考查频数分布直方图、频数分布表，用样本估计总体，用列表法求简单的随机事件发生的概率，理解频率，列举出所有可能出现的结果情况是求概率的关键．（1）根据频率可计算出得出总数，进而求出、的值，并补全频数分布直方图；（2）根据样本中“非常了解”“比较了解”所占的百分比估计总体4000人中“非常了解”“比较了解”的人数；（3）用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而求出两个学生中至少有一个女生的概率．【小问1详解】解：（人，（人，；故答案为：5，0.3；补充频数分布直方图中图所示：【小问2详解】解：（人，答：该校1000学生中“非常了解”和“比较了解”防疫常识的学生大约有2800人；【小问3详解】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有20种等可能出现的结果情况，其中两人中至少有一名女生的有14种，所以两个学生中至少有一个女生的概率为．答：两个学生中至少有一个女生的概率为．21.麦收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排A，B两种型号的收割机进行小麦收制作业．已知一台A型收割机比一台B型收割机平均每天多收割2公顷小麦，一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同．（1）一台A型收割机和一台B型收割机平均每天各收割小麦多少公顷？（2）该农场安排两种型号的收割机共12台同时进行小麦收割作业，为确保每天完成不少于50公顷的小麦收割任务，至少要安排多少台A型收割机？【答案】（1）一台A型收割机平均每天收割小麦5公顷，一台B型收割机平均每天收割小麦3公顷（2）至少要安排7台A型收割机【解析】【分析】（1）设一台A型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台B型收割机平均每天收割小麦公顷，然后根据一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同列出方程求解即可；（2）设每天要安排y台A型收割机，然后根据确保每天完成不少于50公顷的小麦收割任务列出不等式求解即可．【小问1详解】解：设一台A型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台B型收割机平均每天收割小麦公顷．根据题意，得，解得经检验：是所列分式方程的根∴（公顷）．答：一台A型收割机平均每天收割小麦5公顷，一台B型收割机平均每天收割小麦3公顷．【小问2详解】解：设每天要安排y台A型收割机，根据题意，得，解得，答：至少要安排7台A型收割机．【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的式子求解是解题的关键．22.如图，在▱ABCD中，以点4为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F；再分别以点B、F为圆心，大于BF的长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF（1）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB＝2，AE＝2，求∠BAD的大小．【答案】(1)见解析;(2)60°.【解析】【分析】（1）先证明△AEB≌△AEF，推出∠EAB=∠EAF，由AD∥BC，推出∠EAF=∠AEB=∠EAB，得到BE=AB=AF，由此即可证明；（2）连结BF，交AE于G．根据菱形的性质得出AB=2，AG=AE=，∠BAF=2∠BAE，AE⊥BF．然后解直角△ABG，求出∠BAG=30°，那么∠BAF=2∠BAE=60°．【详解】解：（1）在△AEB和△AEF中，，∴△AEB≌△AEF，∴∠EAB=∠EAF，∵AD∥BC，∴∠EAF=∠AEB=∠EAB，∴BE=AB=AF．∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB=BE，∴四边形ABEF是菱形；（2）连结BF，交AE于G．∵AB=AF=2，∴GA=AE=×2=，在Rt△AGB中，cos∠BAE==，∴∠BAG=30°，∴∠BAF=2∠BAG=60°，【点睛】本题考查了平行四边形的性质与菱形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握平行四边形的性质与菱形的判定与性质.23.如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△PBD∽△DCA；（3）当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角得到∠BAC为直角，再由AD为角平分线，得到一对角相等，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等量代换确定出∠DOC为直角，与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到OD与PD垂直，即可得证；（2）由PD与BC平行，得到一对同位角相等，再由同弧所对的圆周角相等及等量代换得到∠P=∠ACD，根据同角的补角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证；（3）由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理求出BC的长，再由OD垂直平分BC，得到DB=DC，根据（2）的相似，得比例，求出所求即可．【小问1详解】证明：∵圆心O在BC上，∴BC是圆O的直径，∴∠BAC＝90°，连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC，∵∠DOC＝2∠DAC，∴∠DOC＝∠BAC＝90°，即OD⊥BC，∵PD∥BC，∴OD⊥PD，∵OD为圆O的半径，∴PD是圆O的切线；小问2详解】证明：∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠P＝∠ADC，∵∠PBD+∠ABD＝180°，∠ACD+∠ABD＝180°，∴∠PBD＝∠ACD，∴△PBD∽△DCA；【小问3详解】解：∵△ABC为直角三角形，∴BC2＝AB2+AC2＝62+82＝100，∴BC＝10，∵OD垂直平分BC，∴DB＝DC，∵BC为圆O的直径，∴∠BDC＝90°，在Rt△DBC中，DB2+DC2＝BC2，即2DC2＝BC2＝100，∴DC＝DB＝5，∵△PBD∽△DCA，∴PB=【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定与性质，熟练掌握各自的判定与性质是解本题的关键．24.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数的图像交于点C，连接．已知点，．（1）求b、k的值；（2）求的面积．【答案】（1）b=2，k=6；（2）6【解析】【分析】（1）过点C作CD⊥x轴，则OB∥CD，把代入得：b=2，由，得，进而即可求解；（2）根据三角形的面积公式，直接求解即可．【详解】解：（1）过点C作CD⊥x轴，则OB∥CD，把代入得：，解得：b=2，∴，令x=0代入，得y=2，即B(0，2)，∴OB=2，∵，OB∥CD，∴，∴，即：∴DA=6，CD=3∴OD=6-4=2，∴C(2，3)，∴，解得：k=6；（2）的面积=．【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数综合，相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法以及函数图像点的特征，是解题关键．25.如图抛物线经过点，点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点p，使的面积是面积的3倍，若存在，请直接写出点p的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存，或【解析】【分析】本题考查了待定系数法求解析式，根据三角形面积关系确定点的存在性，掌握待定系数法求函数解析式的方法，理解二次函数图象上点的坐标特征，利用方程思想解题是关键．（1）待定系数法求解析式即可；（2）设抛物线上的点P坐标为，结合方程思想和三角形面