河南省开封市五校2023-2024学年高一上学期1月期末联考数学试题（含答案解析）

开封五校2023～2024学年上学期期末联考高一数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A版必修第一册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，若，则的值为（）A.1 B.2 C.1或2 D.1或【答案】C【解析】【分析】利用集合包含关系求得的值，从而得解.【详解】因为，，，所以或，即或，当时，；当时，，都符合题意.故选：C.2.下列表示同一个函数的是（）A.与 B.与C.与 D.与【答案】D【解析】【分析】利用同一函数的定义域与对应法则相同，逐一分析判断各选项即可得解.【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，所以两者定义域不同，不是同一个函数，故A错误；对于B，的定义域为，的定义域为，所以两者定义域不同，不是同一个函数，故B错误；对于C，与的定义域和对应法则都不同，不是同一个函数，故C错误；对于D，，，这两个函数的定义域都是，且对应法则也相同，故是同一个函数，故D正确.故选：D.3.函数（）的最小正周期为，则（）A. B.1 C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】利用正切函数的最小正周期公式即可得解.【详解】因为（）的最小正周期为，所以的最小正周期，解得.故选：A.4.已知，，则是的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】举例说明充分不成立，分和两种情况说明必要性成立，即可得答案.【详解】解：令，，满足，但，故不能推出，所以充分性不满足；当，时，当时，；当时，；故能推出，故是的必要不充分条件．故选：C．5.在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值得到，从而利用诱导公式和三角函数定义求出答案.【详解】因为，故角的终边经过点，所以.故选：D.6.已知幂函数的图象过点，则的定义域为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用幂函数的定义求得的解析式，再利用其定义即可得解.【详解】依题意，设幂函数为，则，故，则，所以的定义域为，故满足，解得.故选：B.7.已知，当取最大值时，则值为（）A. B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】先根据已知使用基本不等式，整理求出取最大值时的和值，再得出结果.【详解】由已知可得，则，即，所以，当且仅当时取等号，即，，此时.故选：B．8.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用与的关系，结合换元法求得，从而得解.【详解】因为，设，则，且，又，所以，即，即，所以，所以，即异号，所以.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列各式中值为1的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】对于ABC，由二倍角公式验算即可；对于D，由平方关系验算即可.【详解】对选项A，，错误；对选项B，，错误；对选项C，，正确；对选项D，，正确．故选：CD.10.已知函数，则（）A.， B.的图像关于直线对称C.在上单调递增 D.的图象关于点对称【答案】AD【解析】【分析】利用三角函数的性质逐一分析判断即可得解.【详解】对于A，函数的最小正周期，故A正确；对于B，因为，所以的图象不关于直线对称，故B错误；对于C，当时，，因为在上不单调，所以在上不单调，故C错误；对于D，因为，所以的图象关于点对称，故D正确.故选：AD.11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.的定义域为B.是奇函数C.是偶函数D.对任意的，【答案】CD【解析】【分析】根据指数函数的性质，结合奇函数、偶函数的定义逐一判断即可.【详解】A：由，所以该函数的定义域为，因此本选项结论不正确；B：因为，所以有，因此是偶函数，所以本选项不正确；C：由上可以确定本选项正确；D：，当时，，而，于是有，当时，，而，于是有，综上所述：对任意的，，因此本选项正确，故选：CD12.已知函数，若方程有4个不同实根，则（）A. B.C D.【答案】BCD【解析】【分析】画出函数图像，结合函数性质逐项分析得答案.【详解】当时，即，当且仅当时取等号，在上递增，在上递减，当时，且在上递减，在上递增，综上，可得图象如下，当且仅当时方程有4个不同实根，A错误；结合图象及题设知：，B正确；由题得且，所以，C正确；是方程的两个根，即方程的两个根，所以则，由，得，所以，D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在半径为2的圆中，的圆心角所对的弧的长度为______.【答案】##【解析】【分析】利用扇形的弧长公式即可得解.【详解】在半径为2的圆中，的圆心角所对的弧的长度为.故答案为：.14.若命题：“，”为假命题，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】将问题转化为恒成立问题，从而得解.【详解】因为命题：“，”为假命题，所以“，”为真命题，即恒成立，所以，解得，故实数的取值范围为.故答案为：.15.若是定义域为的奇函数，的零点分别为，则________.【答案】0【解析】【分析】由函数为奇函数，可得关于中心对称，从而可得，为奇数，代入求解即可.【详解】解：因为函数为奇函数，所以图象关于中心对称，设函数的个零点分别为，所以，又由的图象是由函数的图象向右平移个单位得到，所以关于中心对称，则，因为是定义域为奇函数，所以零点个数为奇数，则.故答案为：16.已知函数（其中m，，且）的图象恒过定点，若，则______.【答案】【解析】【分析】根据指数幂的性质可得，，根据可得代入求解.【详解】由于的图象恒过定点，所以，且，故且，由于，所以，又，即，故，因此，故，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知为锐角，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的关系和正弦的二倍角公式求解；（2）利用诱导公式，同角三角函数关系以及两角差的余弦公式求解即可．【小问1详解】因为，所以，所以．【小问2详解】因为，所以，所以．18.已知集合．（1）若，求；（2）若是的必要条件，求实数的取值范围．【答案】18.19.或【解析】【分析】（1）解分式不等式可求得，再由集合基本运算可求得结果；（2）易知，对集合是否为空集进行分类讨论即可求得实数的取值范围．【小问1详解】解不等式可得，则，若，则，所以．【小问2详解】若是的必要条件，则．当，即时，，符合题意；当，即时，，要满足，可得，解得，综上实数的取值范围为或19.函数是定义在R上的偶函数，当时，．（1）求函数在的解析式；（2）当时，若，求实数m的值．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根据偶函数的性质，令，由即可得解；（2），有，解方程即可得解.【详解】（1）令，则，由，此时；（2）由，，所以，解得或或（舍）.20.某机构通过对某企业今年的生产经营状况的调查，得到月利润（单位：万元）与相应月份的部分数据如下表：25710229244241227（1）根据上表中的数据，从（这里的都是常数）三个函数模型中选取一个恰当的模型描述与的变化关系，并说明理由；（2）利用2月份和5月份的数据求出（1）中选择的函数模型，并估计几月份的月利润最大.【答案】（1）选取二次函数，理由见解析（2）；6月份的利润最大【解析】【分析】（1）根据表格中的数据不是单调函数，即可作出选择；（2）将点代入，求得函数，结合二次函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：由题目中的数据知，描述每月利润与相应月份数的变化关系不是单调函数，所以应选取二次函数进行描述.【小问2详解】解：将点，代入，可得，解得，所以，即，所以当时，取最大值，故可估计6月份的利润最大.21.已知函数的图象关于原点对称，其中为常数.（1）求的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由的图像关于原点对称可得为奇函数，再根据奇函数的性质即可求解；（2）先利用对数型函数的单调性得到，再利用分离参数法得到在上恒成立，构造函数，求出即可.【详解】解：（1）函数的图象关于原点对称，函数为奇函数，，即，即，整理得：，又上式对定义域内任意的均成立，，解得：或(舍)；（2）由（1）知，，，即，，，即在上恒成立，令，，则，易得，且在上单调减，，，故实数的取值范围为.【点睛】方法点睛：由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由函数的单调性求出函数的最值，进而可求出结果.22.如图，已知函数的图象与轴相交于点，图象的一个最高点为．（1）求的解析式；（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的所有零点之和．【答案】（1）（2）9【解析】【分析】（1）根据函数图象求出周期，即可求得，再将点代入解析式求出即可；（2）先根据函数平移的性质求出，将函数的零