2022年福建省莆田市海峡职业中专学校高一数学文期末试题含解析

2022年福建省莆田市海峡职业中专学校高一数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.对于函数，当实数属于下列选项中的哪一个区间时，才能确保一定存在实数对（），使得当函数的定义域为时，其值域也恰好是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D2.如右图，在正方体OABC－O1A1B1C1中，棱长为2，E是B1B的中点，则点E的坐标为()A．(2,2,1)

B．(2,2，)C．(2,2，)

D．(2,2，)参考答案：A略3.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则与故事情节相吻合是（

）参考答案：B4.掷一颗质地均匀的骰子，观察所得的点数a，设事件A=“a为3”，B=“a为4”，C=“a为奇数”，则下列结论正确是（）A．A与B为互斥事件 B．A与B为对立事件C．A与C为对立事件 D．A与C为互斥事件参考答案：A【考点】C4：互斥事件与对立事件．【分析】观察所给的三个事件，A与B是互斥事件，B与C是互斥事件，这里没有对立事件，A事件包含在C事件里，得到结论．【解答】解：∵设事件A=“a为3”，B=“a为4”，C=“a为奇数”，∴A与B是互斥事件，B与C是互斥事件，这里没有对立事件，A事件包含在C事件里，故选：A．5.下列说法中，正确的是(

)．

A．数据5，4，4，3，5，2的众数是4

B．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方

C．数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半

D．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数参考答案：C略6.已知集合M＝｛x|x＜3｝，N＝｛x|｝，则M∩N＝(

)A．

B．｛x|0＜x＜3｝

C．｛x|1＜x＜3｝

D．｛x|2＜x＜3｝参考答案：D略7.设O为△ABC内一点,已知,则(

)A. B. C. D.参考答案：B由，得，化为，，设，则，即O为ADE的重心，，则，，故选B.

8.设集合，则A.

B.

C.

D.参考答案：C9.若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B10.已知，，，则、、的大小关系为A.

B.

C.

D.

参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设是定义在区间D上的函数，对于区间D的非空子集I，若存在常数，满足：对任意的，都存在，使得，则称常数m是函数在I上的“和谐数”。若函数，则函数在区间上的“和谐数”是

。参考答案：略12.两条平行直线与之间的距离

参考答案：

2略13.（4分）已知cosα=﹣，α∈（，π），则sin（α﹣）=_________．参考答案：14.在△ABC中，已知，则b=_______．参考答案：3【分析】根据余弦定理求解.【详解】由余弦定理得：即解得或（舍去）【点睛】本题考查解三角形，正弦定理余弦定理是常用方法，注意增根的排除.15.如图是函数

的图象，则其解析式是

.参考答案：16.定义在R上的偶函数f(x)是最小正周期为的周期函数，且当时，，则的值是

参考答案：17.若点A(-1,4).B(3,2)，则线段AB中点坐标________参考答案：（1,3）三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠BAC=90°，AB=AA1，点M，N分别为A1B和B1C1的中点．（1）证明：A1M⊥平面MAC；（2）证明：MN∥平面A1ACC1．参考答案：【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）证明A1M⊥MA，AM⊥AC，故可得A1M⊥平面MAC；（2）连结AB1，AC1，由中位线定理得出MN∥AC1，故而MN∥平面A1ACC1．【解答】证明：（1）由题设知，∵A1A⊥面ABC，AC?面ABC，∴AC⊥A1A，又∵∠BAC=90°，∴AC⊥AB，∵AA1?平面AA1BB1，AB?平面AA1BB1，AA1∩AB=A，∴AC⊥平面AA1BB1，A1M?平面AA1BB1∴A1M⊥AC．又∵四边形AA1BB1为正方形，M为A1B的中点，∴A1M⊥MA，∵AC∩MA=A，AC?平面MAC，MA?平面MAC，∴A1M⊥平面MAC…（2）连接AB1，AC1，由题意知，点M，N分别为AB1和B1C1的中点，∴MN∥AC1．又MN?平面A1ACC1，AC1?平面A1ACC1，∴MN∥平面A1ACC1．…19.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，向量m=(cos(A—B)，sin(A—B)),向量n=(cosB，—sinB),且(1)求sinA的值；

(2)若求角B的大小及向量在方向上的投影.参考答案：（1）（2）,试题分析：（1）由，进行数量积的坐标运算，化简易得，从而可得；（2）由正弦定理求出，可得B．再由余弦定理求出c的值，所以在方向上的投影值为，可求．试题解析：解：（1）由，得，得；又，所以；（2）由正弦定理得，得，得；由余弦定理得，即，解得或（舍去）；在方向上的投影值为．考点：向量的数量积的坐标运算，正余弦定理,投影的概念．20.已知函数f（x）在其定义域（0，+∞），f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），当x＞1时，f（x）＞0；（1）求f（8）的值；（2）讨论函数f（x）在其定义域（0，+∞）上的单调性；（3）解不等式f（x）+f（x﹣2）≤3．参考答案：【考点】3P：抽象函数及其应用．【分析】（1）题意知f（2×2）=f（2）+f（2）=2，f（2×4）=f（2）+f（4）=3，f[x（x﹣2）]＜f（8），（2）利用函数单调性的定义即可证明f（x）在定义域上是增函数；（3）由f（x）的定义域为（0，+∞），且在其上为增函数，将不等式进行转化即可解得答案．【解答】解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，∴f（2×2）=f（2）+f（2）=2，∴f（8）=f（2×4）=f（2）+f（4）=3，（2）当x=y=1时，f（1）=f（1）+f（1），则f（1）=0，f（x）在（0，+∞）上是增函数设x1＜x2，则∵f（x1）＜f（x2），∴f（x1）﹣f（x2）＜0，任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则＞1，则f（）＞0，又f（x?y）=f（x）+f（y），∴f（x1）+f（）=f（x2），则f（x2）﹣f（x1）=f（）＞0，∴f（x2）＞f（x1），∴f（x）在定义域内是增函数．（3）由f（x）+f（x﹣2）≤3，∴f（x（x﹣2））≤f（8）∵函数f（x）在其定义域（0，+∞）上是增函数，∴解得，2＜x≤4．所以不等式f（x）+f（x﹣2）≤3的解集为{x|2＜x≤4}．21.如果函数f(x)在定义域内存在区间[a,b]，使得该函数在区间[a,b]上的值域为[a2,b2]，则称函数f(x)是该定义域上的“和谐函数”.（1）求证：函数f(x)＝log2(x＋1)是“和谐函数”；（2）若函数是“和谐函数”，求实数t的取值范围.参考答案：（1）要证：存在区间使得在上的值域为，又由于是一个单调递増的函数，且定义域为故只需证存在实数满足,且有观察得，即存在符合题意故函数是“和谐函数”（2）由题，即存在实数满足，使得在区间上的值域为，由于单调递増，从而有，该方程组等价于方程在有至少2个解，即在上至少有2个解，即和的图像至少有2个交点，记，则，从而有，记，配方得，又，作出的图像可知，时有两个交点，综上，的取值范围为.22.(本小题12分）已知函数f(x)=tan(sinx)

（1）求f(x)的定义域和值域；

（2）在（－π，π）中，求f(x)的单调区间；参考答案：10．解析：

（1）∵－1≤sinx≤1，∴－

≤sinx≤..........1分又函数y=tanx在x=kπ+(k∈Z)处无定义，

且

（－，）[－,]（－π,π），

∴令sinx=±，则sinx=±.

解之得：x=kπ±

(k∈Z)....................3分

∴f(x)的定义域是A={x|x∈R，且x≠kπ±，k∈Z}...........4分

∵tanx在（－，）内的值域为（－∞，+∞），而当x∈A时，函数y=sinx的值域B满足（－∞，∞）B.

∴f(x)的值域是（－∞，+∞）.......................6分

（2）由f(x)的定义域知，f(x)在[0，π]中的x=和x=处无定义。

设t=sinx，则当x∈[0,)∪（，）∪（，π）时，t∈[0,)∪(,)，且以t为自变量的函数y=tant在区间（0，），（，)上分别单调递增.

又∵当x∈[0，]时，函数t=sinx单调递增，且t∈[0,)

当x∈（，]时，函数t=sinx单调递增，且t∈（,]

当x∈[，)时，函数t=sinx单调递减，且t∈（,)

当x∈（，π）时，函数t=sinx单调递减，且