湖北省咸宁市通城县2023届九年级下学期开学考试数学试卷(含解析)

数学试题（考试时间：120分钟满分：120分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.答案：D解析：解析：A既不是轴对称图形也不是中心对称图形；B是中心对称图形，但不是轴对称图形；C是轴对称图形，但不是中心对称图形；D既是轴对称图形，又是中心对称图形,故选D.2.下列事件中是必然发生的事件是（）A.任意画一个三角形，其内角和是B.某种彩票中奖率是，则买这种彩票张一定会中奖C.掷一枚硬币，正面朝上D.投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数答案：A解析：解析：解：A、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，故此选项正确；B、某种彩票中奖率是1%，则买这种彩票100张一定会中奖，是随机事件，故此选项错误；C、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故此选项错误；D、投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数，是随机事件，故此选项错误；故选A．3.关于抛物线，下列说法错误的是（）A.开口向上 B.顶点坐标为 C.函数的最小值是 D.对称轴为直线答案：B解析：解析：∵，∴a=1，则抛物线的开口向上，对称轴是直线x=-1，顶点坐标是（-1，-3），所以函数有最小值-3.可知B错误.故选B．4.定义运算：．例如：，则方程根的情况为（）A.无实数根 B.只有一个实数根C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根答案：A解析：解析：解：根据题意得，∆，方程无实数根．故选：A．5.如图所示，边长为2的正三角形ABO的边OB在x轴上，将△ABO绕原点O逆时针旋转30°得到三角形OA1B1，则点A1的坐标为（）A.（，1） B.（，﹣1） C.（1，﹣） D.（2，﹣1）答案：B解析：解析：试题分析：设A1B1与x轴相交于C，∵△ABO是等边三角形，旋转角为30°，∴∠A1OC=60°﹣30°=30°，∴A1B1⊥x轴，∵等边△ABO的边长为2，∴OC=×2=，A1C=×2=1，∴点A1的坐标为（，﹣1）．故选B．考点：1.坐标与图形变化-旋转2.等边三角形的性质．6.已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）是反比例函数的图象上三点，其中x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A.y1＞y2＞y3 B.y3＞y2＞y1 C.y1＞y3＞y2 D.y2＞y3＞y1答案：C解析：解析：∵反比例函数中k＝﹣4＜0，∴此函数的图象在二、四象限，且在每一个象限内y随x的增大而增大，∵x1＜0＜x2＜x3，∴（x1，y1）在第二象限，（x2，y2），（x3，y3）在第四象限，∴y1＞0，y2＜y3＜0，即y1＞y3＞y2．故选：C．7.如图，在中，半径垂直弦于D，点E在上，，则半径等于（）A. B. C.2 D.答案：D解析：解析：解：连接，半径OC垂直弦于D，点C为的中点，，，，，，，是等腰直角三角形，，，故选：D．8.已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，则，其中正确的结论是（）A.②③⑤ B.①③④⑤ C.②③④⑤ D.①③④答案：C解析：解析：解：抛物线的开口向上，，抛物线的对称轴为：，，抛物线与y轴的交点在x轴的下方，，，故①错误；抛物线与x轴有两个交点，，故②正确；时，，，且，，又，，故③正确；时，y有最小值，（t为任意实数），即，故④正确；图象经过点时，方程的两根为，，二次函数与直线的一个交点为：，抛物线的对称轴为：，二次函数与直线的另一个交点为：，即，，，故⑤正确，正确的结论是②③④⑤，故选C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9.若点与点关于原点对称，则____________．答案：解析：解析：解：点与点关于原点对称，，，，故答案为：．10.把二次函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，经过这两次平移后所得到的抛物线的解析式为________________．答案：解析：解析：解：把二次函数的图象向右平移个单位长度，得，再向下平移个单位长度，得，即经过这两次平移后所得到的抛物线的解析式为．故答案为：．11.对一批口罩进行抽检，统计合格口罩的只数，得到合格口罩的频率如下：抽取只数（只）50100150500100020001000050000合格频率0.820.830.820.830.840.840.840.84估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为_____．答案：0.84解析：解析：解：∵随着抽样的增大，合格的频率趋近于0.84，∴估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为0.84．故答案为：0.84．12.已知一元二次方程的两根为、，则=_______．答案：13解析：解析：∵一元二次方程的两根为、∴，，∴==．故答案为：13．13.如图，在中，，，，则的内切圆半径______．答案：1解析：解析：设的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，，，，四边形是矩形，，四边形是正方形，，，，，，，，在中，，，，解得．故答案为：1．14.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⨀O经过点D．若∠C＝30°，且CD＝3，则阴影部分的面积是_________________．答案：##解析：解析：解：连接OD，连接DE、OD、DF、OF，设圆的半径为R，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠DAO，∵OD＝OA，∴∠DAO＝∠ODA，则∠DAB＝∠ODA，∴DOAB，而∠B＝90°，∴∠ODB＝90°，∵∠C＝30°，CD＝3，∴OD＝CD•tan30°＝3×＝3，∵∠DAB＝∠DAE＝30°，∴，∵∠DOE＝60°，∴∠DOF＝60°，∴∠FOA＝60°，∴△OFD、△OFA是等边三角形，∴DFAC，∴S阴影＝S扇形DFO＝．故答案为：．15.如图，是反比例函数的图象上一点，过点作轴交反比例函数的图象于点，已知的面积为，则的值为___________．答案：4解析：解析：延长AB交x轴于点C，

根据反比例函数k的几何意义可知：，，

∴，

∴，

解得：．

故答案为：．16.如图，正方形的顶点O在原点，边，分别在x轴和y轴上，点C坐标为，点D是的中点，点P是边上的一个动点，连接，以P为圆心，为半径作圆，设点P横坐标为t，当与正方形的边相切时，t的值为______．答案：解析：解析：解：∵点C坐标为，点是的中点，四边形是正方形，∴，．当与相切时，如图1所示．∵点横坐标为，∴，在中，，，，∴，即，解得：，故答案为：．三、解答题（本大题共8小题，共72分）17.用你喜欢的方法解方程（1）x2﹣6x﹣6＝0（2）2x2﹣x﹣15＝0答案：（1）x1＝3+，x2＝3﹣；（2）x1＝﹣2.5，x2＝3解析：解析：x2﹣6x﹣6＝0，∵a=1，b=-6，c=-6，∴b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣6）＝60，x＝x1＝3+，x2＝3﹣；（2）2x2﹣x﹣15＝0，（2x+5）（x﹣3）＝0，2x+5＝0，x﹣3＝0，x1＝﹣2.5，x2＝3．18.如图，点是正方形内一点，将绕点顺时针旋转到的位置，点，，恰好在同一直线上．求证：．答案：证明见解析.解析：解析：∵由旋转的性质可得．∴，，又∵正方形中，，即，∴，即，∴是等腰直角三角形，∴．∴．∴．∴．19.小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字2，3，4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．若和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．（1）请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为6的概率．（2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？说说你的理由．答案：（1）；（2）这个游戏规则对双方是不公平的．解析：（2）分别求出和为奇数、和为偶数的概率，即可得出游戏的公平性．解析：（1）列表如下：小亮和小明23422+2＝42+3＝52+4＝633+2＝53+3＝63+4＝744+2＝64+3＝74+4＝8由表可知，总共有9种结果，其中和为6的有3种，则这两数和为6的概率＝；（2）这个游戏规则对双方不公平．理由：因为P（和为奇数）＝，P（和为偶数）＝，而≠，所以这个游戏规则对双方是不公平的．20.如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点和点．（1）求反比例函数的解析式；（2）过点作轴于点，求；（3）轴上是否存在一点，使得的值最小，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．答案：（1）（2）5（3）存在，解析：小问1解析：解：∵反比例函数过点，∴，∴反比例函数的关系式为；小问2解析：解∶由，解得，，又∵，∴点，又∵轴，∴点，即，∴；小问3解析：解∶存在，作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则，此时最小，∵，∴，设直线的关系式为，将，代入得，，解得，∴一次函数的关系式为，当，，∴点．21.如图，在中，，以为直径作半圆交于点，点为的中点，连接．（1）求证：是半圆的切线；（2）若，求的长．答案：（1）见解析（2）．解析：小问1解析：证明：连接，∵为的直径，∴；又∵点E为的中点，∴，∴；∵，∴，∵，∴，∴，又∵点D半圆O上，∴是半圆O的切线；小问2解析：解：由（1）知，又∵，∴，∴，∴，∴，由勾股定理得：．22.“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量（件）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，如图所示.（1）求与之间的函数关系式；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.答案：（1）；（2）单价为46元时，利润最大为3840元.（3）单价的范围是45元到55元.解析：解析：（1）由题意得：．故y与x之间的函数关系式为：y=-10x+700，（2）由题意，得-10x+700≥240，解得x≤46，设利润w=（x-30）•y=（x-30）（-10x+700），w=-10x2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000，∵-10＜0，∴x＜50时，w随x的增大而增大，∴x=46时，w大=-10（46-50）2+4000=3840，答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；（3）w-150=-10x2+1000x-21000-150=3600，-10（x-50）2=-250，x-50=±5，x1=55，x2=45，如图所示，由图象得：当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．23.如图1，已知，是等边三角形，点为射线上任意一点（点与点不重合），连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接并延长交直线于点．（1）如图1，猜想________．（2）如图2、3，若当是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想的度数，选取一种情况加以证明；（3）如图3，若，，且，求的长．答案：（1）60°（2）60°，证明见解析（3）解析：小问1解析：如图1，∵是等边三角形，∴，，∵线段绕点顺时针旋转得到线段，∴，，∴，即，∴，∴，∵，∴；小问2解析：．以是锐角为例．如图2，∵是等边三角形，∴，，∵线段绕点顺时针旋转得到线段，∴，，∴，即，∴，∴，∵，∴；小问3解析：作于，如图3，同（2）可证明，∴，∵，∴，∵，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴．24.如图，已知直线与两坐标轴分别交于A、B两点，抛物线经过点A、B，点P为直线AB上的一个动点，过P作y轴的平行线与抛物线交于C点,抛物线与x轴另一个交点为D．（1）求图中抛物线解析式；（2）当点P在线段AB上运动时，求线段PC的长度的最大值；（3）在直线AB上是否存在点P，使得以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．答案：（1）；（2）当时，线段PC有最大值是2；（3），，解析：解析：解：(1)可求得A（0,2），B(4,0)∵抛物线经过点A和点B∴把(0,2),(4,0)分别代入得：解得：∴抛物线的解析式为.（2）设点P的坐标为(x,−x+2)，则C（）∵点P在线段AB上∴∴当时，线段PC有最大值是2（3）设点P的坐标为(x,−x+2)，∵