专题2.3一元二次方程的解法：配方法（重难点培优）-【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题（解析版）【浙教版】

【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【浙教版】专题2.3一元二次方程的解法：配方法（重难点培优）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022秋•双滦区校级期末）用配方法解方程，x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2＝6 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝9【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．【解答】解：x2﹣2x﹣5＝0，x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝5+1，（x﹣1）2＝6，故选：B．2．（2022秋•东城区校级期末）用配方法解方程x2﹣4x＝1，变形后结果正确的是（）A．（x+2）2＝5 B．（x+2）2＝2 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝2【分析】根据配方法可直接进行求解．【解答】解：由方程x2﹣4x＝1两边同时加上4，可得（x﹣2）2＝5．故选：C．3．（2022秋•武昌区校级月考）用配方法解一元二次方程x2+2x＝3时，将其化为（x+m）2＝n的形式，则m，n的值分别是（）A．m＝1，n＝2 B．m＝1，n＝3 C．m＝1，n＝4 D．m＝﹣1，n＝3【分析】方程两边加上1变形即可得到结果．【解答】解：方程x2+2x＝3，配方得：x2+2x+1＝3+1，即（x+1）2＝4，则m＝1，n＝4．故选：C．4．（2022秋•鄱阳县月考）将一元二次方程x2+6x+3＝0化为（x+h）2＝k的形式，则k的值为（）A．3 B．6 C．9 D．12【分析】方程移项，利用完全平方公式配方后即可求出k的值．【解答】解：方程x2+6x+3＝0，移项得：x2+6x＝﹣3，配方得：x2+6x+9＝6，即（x+3）2＝6，则k＝6，故选：B．5．（2022•杭州模拟）将方程x2﹣6x+1＝0化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用完全平方公式整理后得（x﹣3）2＝8，即可求出a与b的值．【解答】解：方程x2﹣6x+1＝0，变形得：x2﹣6x＝﹣1，配方得：x2﹣6x+9＝8，即（x﹣3）2＝8，则a＝﹣3，b＝8，故a+b＝﹣3+8＝5，故选：D．6．（2021秋•东明县期末）用配方法解方程2x2﹣12x＝5时，先把二次项系数化为1，然后方程的两边都应加上（）A．4 B．9 C．25 D．36【分析】利用配方法，即可求解．【解答】解：2x2﹣12x＝5，方程两边同时除以2得：x2方程两边同时加上9得：x2故选：B．7．（2022秋•襄都区期中）用配方法解一元二次方程x2﹣2x＝35时，步骤如下：①x2﹣2x+1＝36；②（x﹣1）2＝36；③x﹣1＝±6；④x＝±7，即x1＝7，x2＝﹣7．其中开始出现错误的步骤是（）A．① B．② C．③ D．④【分析】将方程左边配成一个完全平方式，将求解过程与相关步骤对比即可解答．【解答】解：x2﹣2x＝35，x2﹣2x+1＝36，（x﹣1）2＝36，x﹣1＝±6，x＝±6+1，x1＝7，x2＝﹣5．故选：D．8．（2021秋•安平县期末）如表，在解方程2x2+4x+1＝0时，对方程进行配方，表①中是嘉嘉做的，表②中是琪琪做的，对于两人的做法，下列说法正确的是（）①2x2+4x＝﹣1，4x2+8x＝﹣2，4x2+8x+4＝2，（2x+2）2＝2．②2x2+4x＝﹣1，x2+2x=-x2+2x+1=-12（x+1）2=A．两人都正确 B．嘉嘉正确，琪琪不正确 C．嘉嘉不正确，琪琪正确 D．两人都不正确【分析】利用配方法对两种解法进行判断．【解答】解：嘉嘉：2x2+4x＝﹣1，4x2+8x＝﹣2，4x2+8x+4＝2，（2x+2）2＝2；琪琪：2x2+4x＝﹣1，x2+2x=-x2+2x+1=-12（x+1）2=1所以两人的做法都正确．故选：A．9．（2021秋•安义县月考）在解方程2x2+4x+1＝0时，对方程进行配方，文本框①中是小贤做的，文本框②中是小淇做的，对于两人的做法，下列说法正确的是（）A．两人都正确 B．小贤正确，小淇不正确 C．小贤不正确，小淇正确 D．两人都不正确【分析】先移项，再配方，变形后即可判断小贤的解法；移项，方程两边都除以2，再配方，即可判断小淇的解法．【解答】解：两人的解法都正确，理由是：2x2+4x+1＝0，2x2+4x＝﹣1，4x2+8x＝﹣2，4x2+8x+4＝﹣2+4，（2x+2）2＝2，2x2+4x+1＝0，2x2+4x＝﹣1，x2+2x=-1x2+2x+1=-12（x+1）2=1所以两人解法都正确，故选：A．10．（2022•宁远县模拟）基本不等式的性质：一般地，对于a＞0，b＞0，我们有a+b≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立．例如：若a＞0，则a+9a≥2a⋅9a=6，当且仅当a＝3时取等号，a+9a的最小值等于6A．6 B．8 C．10 D．12【分析】4x+1x-1=4x﹣4+1x-1+4＝4（x﹣1）+【解答】解：4x+＝4x﹣4+1＝4（x﹣1）+1x-1∵x＞1，∴x﹣1＞0，∴4x+1x-1=4（x﹣1）+1x-1+4≥∴4x+1x-1的最小值是故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•仪征市期中）新定义，若关于x的一元二次方程：m（x﹣a）2+b＝0与n（x﹣a）2+b＝0，称为“同类方程”．如2（x﹣1）2+3＝0与6（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”．现有关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝0是“同类方程”．那么代数式ax2+bx+2022能取得最大值是2023．【分析】根据“同类方程”的定义，可得出a，b的值，从而解得代数式的最大值．【解答】解：∵2（x﹣1）2+1＝0与（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝0是“同类方程”，∴（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝（a+6）（x﹣1）2+1，∴（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝（a+6）x2﹣2（a+6）x+a+7，∴b+8=2(a+6)6=a+7解得：a=-1b=2∴ax2+bx+2022＝﹣x2+2x+2022＝﹣（x﹣1）2+2023，∴当x＝1时，ax2+bx+2022取得最大值为2023．故答案为：2023．12．（2022•青神县模拟）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a、b为常数）的形式，则a、b的值分别是﹣4，21．【分析】先移项，再配方，即可得出答案．【解答】解：x2﹣8x﹣5＝0，x2﹣8x＝5，x2﹣8x+42＝5+42，（x﹣4）2＝21，所以a＝﹣4，b＝21，故答案为：﹣4，21．13．（2021春•霍邱县期末）把x2+2x﹣2＝0化为（x+m）2＝k的形式（m，k为常数），则m+k＝4．【分析】移项，配方，变形后求出m、k的值，再求出m+k即可．【解答】解：x2+2x﹣2＝0，移项，得x2+2x＝2，配方，得x2+2x+1＝2+1，即（x+1）2＝3，所以m＝1，k＝3，即m+k＝1+3＝4，故答案为：4．14．（2019秋•相城区期中）用配方法解方程x2﹣6x＝2时，方程的两边同时加上9，使得方程左边配成一个完全平方式．【分析】利用方程两边同时加上一次项系数一半的平方求解．【解答】解：x2﹣6x+32＝2+32，（x﹣3）2＝11．故答案为9．15．（2018春•松滋市期末）把一元二次方程2x2﹣x﹣1＝0用配方法配成2（x﹣h）2+k＝0的形式（h，k均为常数），则h和k的值分别为14，-【分析】先将方程变形，利用完全平方公式进行配方．【解答】解：2x2﹣x﹣1＝0，2（x2-12x）﹣1＝2（x2-12x+116）﹣2（x-14）2-∴h=14，k故答案是：14，-16．（2022秋•新蔡县校级月考）若定义如果存在一个数i，使（±i）2＝﹣1，那么当x2＝﹣1时，有x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝﹣1的两个根．据此可知：方程x2﹣2x+5＝0的两根为x1＝1+2i，x2＝1﹣2i（根用i表示）．【分析】移项后配方，开方，即可得出两个方程，再求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣2x+5＝0，x2﹣2x＝5，配方得：x2﹣2x+1＝﹣5+1，（x﹣1）2＝﹣4，开方得：x﹣1＝±2i，解得：x1＝1+2i，x2＝1﹣2i，故答案为：x1＝1+2i，x2＝1﹣2i．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解一元二次方程：（1）3（x﹣2）2﹣27＝0；（2）2x2﹣4x﹣12＝0．【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；（2）利用配方法求解即可．【解答】解：（1）3（x﹣2）2﹣27＝0，3（x﹣2）2＝27，则（x﹣2）2＝9，∴x﹣2＝±3，∴x1＝5，x2＝﹣1；（2）2x2﹣4x﹣12＝0，x2﹣2x﹣6＝0，x2﹣2x＝6，x2﹣2x+1＝6+1，即（x﹣1）2＝7，∴x﹣1=7或x﹣1=-∴x1＝1+7，x2＝1-18．用配方法解方程：（1）（2x﹣1）2＝5；（2）x2+6x+9＝2；（3）x2﹣2x+4＝﹣1．【分析】（1）方程利用直角开平方法求出解即可；（2）方程变形后，开方即可求出解；（3）方程利用配方法求出解即可．【解答】解：（1）方程（2x﹣1）2＝5，开方得：2x﹣1＝±5，解得：x1=5+12，x（2）方程变形得：（x+3）2＝2，开方得：x+3＝±2，解得：x1＝﹣3+2，x2＝﹣3-（3）方程变形得：x2﹣2x＝﹣5，配方得：x2﹣2x+1＝﹣4，即（x﹣1）2＝﹣4，此方程无解．19．用配方法解下列方程：（1）x2﹣5x＝2；（2）x2+8x＝9；（3）x2+12x﹣15＝0；（4）x2-14x﹣4＝【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；（2）方程利用配方法求出解即可；（3）方程移项后，利用配方法求出解即可；（4）方程移项后，利用配方法求出解即可．【解答】解：（1）方程x2﹣5x＝2，配方得：x2﹣5x+（52）2＝2+254，即（x-5开方得：x-52=解得：x1=5+332，x（2）方程x2+8x＝9，配方得：x2+8x+16＝25，即（x+4）2＝25，开方得：x+4＝±5，解得：x1＝1，x2＝﹣9；（3）方程移项得：x2+12x＝15，配方得：x2+12x+36＝51，即（x+6）2＝51，开方得：x+6＝±51，解得：x1＝﹣6+51，x2＝﹣6-（4）方程移项得：x2-14x＝配方得：x2-14x+164=25764开方得：x-18解得：x1=1+2578，x20．（2017•滨州）根据要求，解答下列问题：①方程x2﹣2x+1＝0的解为x1＝x2＝1；②方程x2﹣3x+2＝0的解为x1＝1，x2＝2；③方程x2﹣4x+3＝0的解为x1＝1，x2＝3；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2﹣9x+8＝0的解为1、8；②关于x的方程x2﹣（1+n）x+n＝0的解为x1＝1，x2＝n．（3）请用配方法解方程x2﹣9x+8＝0，以验证猜想结论的正确性．【分析】（1）利用因式分解法解各方程即可；（2）根据以上方程特征及其解的特征，可判定方程x2﹣9x+8＝0的解为1和8；②关于x的方程的解为x1＝1，x2＝n，则此一元二次方程的二次项系数为1，则一次项系数为1和n的和的相反数，常数项为1和n的积．（3）利用配方法解方程x2﹣9x+8＝0可判断猜想结论的正确．【解答】解：（1）①（x﹣1）2＝0，解得x1＝x2＝1，即方程x2﹣2x+1＝0的解为x1＝x2＝1，；②（x﹣1）（x﹣2）＝0，解得x1＝1，x2＝2，所以方程x2﹣3x+2＝0的解为x1＝1，x2＝2，；③（x﹣1）（x﹣3）＝0，解得x1＝1，x2＝3，方程x2﹣4x+3＝0的解为x1＝1，x2＝3；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2﹣9x+8＝0的解为x1＝1，x2＝8；②关于x的方程x2﹣（1+n）x+n＝0的解为x1＝1，x2＝n．（3）x2﹣9x＝﹣8，x2﹣9x+814=-（x-92）x-92=所以x1＝1，x2＝8；所以猜想正确．故答案为x1＝x2＝1；x1＝1，x2＝2；x1＝1，x2＝3；x2﹣（1+n）x+n＝0；21．（2022秋•新野县期中）阅读材料：若m2﹣2m+17＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2m+1+n2﹣8n+16＝0∴（m2﹣2m+1）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣1）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣1）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴m＝1，n＝4．根据你的观察，解答下面的问题：（1）已知x2﹣4x+y2+6y+13＝0，求xy的值；（2）已知a、b、c为△ABC三边，且2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝0，判断△ABC的形状．【分析】（1）先利用配方法求出x，y的值，再代入xy，计算即可求出答案；（2）先利用配方法求出a，b的值，再根据三角形三边关系得出c的值，进而求出答案．【解答】解：（1）∵x2﹣4x+y2+6y+13＝0，∴（x+2）2+（y﹣3）2＝0，∴x+2＝0，y﹣3＝0，∴x＝2，y＝3，∴xy＝﹣6；（2）∵a2+b2﹣8a﹣10b+41＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，a﹣c＝0，∴a＝b，b＝c，a＝c，∴△ABC为等边三角形．22．（2022秋•辉县市期中）阅读理解题．先阅读下面的例题，再按要求解答下面的问题：（例题）说明代数式m2+2m+4的值一定是正数．解：m2+2m+4＝m2+2m+1﹣1+4＝（m+1）2+3∵（m+1）2≥0∴（m+1）2+3≥3∴m2+2m+4的值一定是正数（1）说明代数式﹣a2+6a﹣10的值一定是负数（2）设正方形面积为S1，长方形的面积为S2，正方形的边长为a，如果长方形的一边长为4，另一边长比正方形的边长少了3．请你比较S1与S2的大小关系．并说明理由．【分析】（1）利用配方法，化成平方的相反数加一个负数的形式，可判断其值为负数；（2）用a分别表示出S1与S2，再作差比较即可．【解答】解：（1）﹣a2+6a﹣10＝﹣（a2﹣6a+9）﹣1＝﹣（a﹣3）2﹣1，∵（a﹣3）2≥0，∴﹣（a﹣3）2≤0，∴﹣（a﹣3）2﹣1＜0，∴代数式﹣a2+6a﹣10的值一定是负数；（2）S1＞S2，理由是：∵S1＝a2，S2＝4（a﹣3），∴S1﹣S2＝a2﹣4（a﹣3）＝a2﹣4a+12＝a2﹣4