极坐标系和常见曲线及参数方程习题

极坐标系和常见曲线及参数方程习题PAGEPAGE1极坐标系和常见曲线及参数方程习题极坐标系:在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫点M的极坐标,这样建立的坐标系叫做极坐标系。在极坐标系中表示点\o"查看图片"点(3,60°)和点（4,210°）在极坐标中，x被ρcosθ代替，y被ρsinθ代替。ρ=(x^2+y^2)^0.5正如所有的二维坐标系，极坐标系也有两个坐标轴：r（半径坐标）和θ（角坐标、极角或方位角，有时也表示为φ或t）。r坐标表示与极点的距离，θ坐标表示按逆时针方向坐标距离0°射线（有时也称作极轴）的角度，极轴就是在平面直角坐标系中的x轴正方向。比如，极坐标中的（3,60°）表示了一个距离极点3个单位长度、和极轴夹角为60°的点。（−3,240°）和（3,60°）表示了同一点，因为该点的半径为在夹角射线反向延长线上距离极点3个单位长度的地方（240°−180°=60°）。极坐标系中一个重要的特性是，平面直角坐标中的任意一点，可以在极坐标系中有无限种表达形式。通常来说，点（r，θ）可以任意表示为（r，θ±n×360°）或（−r，θ±(2n+1)180°），这里n是任意整数。[7]如果某一点的r坐标为0，那么无论θ取何值，该点的位置都落在了极点上。思：平面上一点的极坐标是否唯一？不唯一有多少种表示方法？2.坐标不唯一不同是由谁引起的？3.不同的极坐标是否可以写出统一表达式？答案：1.极坐标系的建立需确定几条？极点；极径；长度单位和角度正方向。其中φ为射线的倾斜角度，若m为直角坐标系的射线的斜率，则有φ=arctanm。任何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。玫瑰线极坐标的玫瑰线（polarrose）是数学曲线中非常著名的曲线，看上去像花瓣，它只能用极坐标方程来描述，方程如下：r（θ）=a*coskθ或r（θ）=asinkθ，如果k是整数，当k是奇数时那么曲线将会是k个花瓣，当k是偶数时曲线将是2k个花瓣。如果k为非整数，将产生圆盘（disc）状图形，且花瓣数也为非整数。注意：该方程不可能产生4的倍数加2（如2，6，10……）个花瓣。变量a代表玫瑰线花瓣的长度。玫瑰线是极坐标方程ρ=acosnθ或ρ=asinnθ（0≤θ<2π）所表示的曲线。例如，曲线ρ=asin3θ是三叶玫瑰线，ρ=acos2θ是四叶玫瑰线。三叶玫瑰线\o"查看图片"方程为r（θ）=2sin4θ的玫瑰线\o"查看图片"阿基米德螺线定义：

动点沿一直线作等速移动，而此直线又围绕与其直交的轴线作等角速的旋转运动时，动点在该直线的旋转平面上的轨迹。右图为方程r（θ）=θfor0<θ<6π的一条阿基米德螺线。阿基米德螺线在极坐标里使用以下方程表示：r（θ）=a+bθ，改变参数a将改变螺线形状，b控制螺线间距离，通常其为常量。阿基米德螺线有两条螺线，一条θ>0，另一条θ<0。两条螺线在极点处平滑地连接。把其中一条翻转90°/270°得到其镜像，就是另一条螺线。一条阿基米德螺线它的极坐标方程为：r=aθ，这种螺线的每条臂的距离永远相等于2πa。笛卡尔坐标方程式为：r=10*(1+t)x=r*cos(t*360)y=r*sin(t*360)z=0阿基米德螺旋线的标准极坐标方程：r（θ）=a+b（θ）在极坐标系与平面直角坐标系（笛卡尔坐标系）间转换：极坐标系中的两个坐标r和θ可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值由上述二公式，可得到从直角坐标系中x和y两坐标如何计算出极坐标下的坐标摆线(外摆线、内摆线)定义：在平面上，一个动圆（发生圆）沿着一条固定的直线（基线）或固定圆（基圆）作纯滚动时，此动圆上一点的轨迹。一个圆在一条定直线上滚动时，圆周上一个定点的轨迹。又称旋轮线。圆上定点的初始位置为坐标原点，定直线为x轴。当圆滚动j角以后，圆上定点从O点位置到达P点位置。当圆滚动一周，即j从O变动2π时，动圆上定点描画出摆线的第一拱。再向前滚动一周，动圆上定点描画出第二拱，继续滚动，可得第三拱，第四拱……，所有这些拱的形状都是完全相同的，每一拱的拱高为2a（即圆的直径），拱宽为2πa（即圆的周长）。摆线有一个重要性质，即当一物体仅凭重力从A点滑落到不在它正下方的B点时，若沿着A，B间的摆线，滑落所需时间最短，因此摆线又称最速降曲线。\o"查看图片"摆线摆线具有如下性质：1．它的长度等于旋转圆直径的4倍。尤为令人感兴趣的是，它的长度是一个不依赖于π的有理数．2．在弧线下的面积，是旋转圆面积的三倍。3．圆上描出摆线的那个点，具有不同的速度——事实上，在特定的地方它甚至是静止的。4．当弹子从一个摆线形状的容器的不同点放开时，它们会同时到达底部方程式：摆线的参数方程是x＝a（φ－sinφ），y＝a（1－cosφ）a为圆的半径，φ是圆的半径所经过的角度（滚动角），当φ由0变到2π时，动点就画出了摆线的一支，称为一拱。外摆线在平面上，一个动圆（发生圆）沿着一个固定圆（基圆）的外侧，作外切或内切的纯滚动时，动圆上任意一点的轨迹。极坐标方程为：r=a（1+cosθ）心脏线是外摆线的一种，其n为2。它亦可以极坐标的形式表示：r=1+cosθ内摆线在平面上，一个动圆（发生圆）沿着一个固定的圆（基圆）的内侧作纯滚动时，此圆上一点的轨迹。内摆线（圆内螺线）是所有形式为x=cost+cos(nt)/ny=sint-sin(nt)/n的曲线，其中n为正实数。n=3四尖点星形线n=7圆锥曲线圆锥曲线方程如下：r=l/(1+e*cosθ）其中l表示半径，e表示离心率。如果e<1，曲线为椭圆，如果e=1，曲线为抛物线，如果e>1，则表示双曲线。或者r=

e*p

/(1-e*cosθ）其中e表示离心率，p表示焦点到准线的距离。双纽线也称伯努利双纽线，设定线段AB长度为2a,动点M满足MA*MB=a^2那么M的轨迹称为双纽线基础知识归纳总结：1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点P(x,y)对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。3．点的极坐标：设是平面内一点，极点Ｏ与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴Ｏx为始边，射线OM为终边的∠XOM叫做点的极角，记为。有序数对叫做点的极坐标，记为.极坐标与表示同一个点。极点O的坐标为.4.若,则,规定点与点关于极点对称，即与表示同一点。如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示；同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。5．极坐标与直角坐标的互化：6。圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是；在极坐标系中，以(a>0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是；在极坐标系中，以(a>0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是；7.在极坐标系中，表示以极点为起点的一条射线；表示过极点的一条直线.在极坐标系中，过点，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是.8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。9．圆的参数方程可表示为.椭圆(a>b>0)的参数方程可表示为.抛物线的参数方程可表示为.经过点，倾斜角为的直线l的参数方程可表示为（t为参数）。10．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致.【切记】1．能在极坐标中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化；2．能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线，过极点的圆或圆心在极点的圆）的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程。理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义。3．能选择适当的参数写出直线，圆和圆锥曲线的参数方程。基础知识归纳：1．极坐标的定义：2．极坐标和直角坐标的互化：3．直线的参数方程：4．圆的参数方程：5．椭圆的参数方程：6．抛物线的参数方程：典型例题：例1（1）点的极坐标为，则其直角坐标为（2）已知点的直角坐标为，则点的极坐标为（）例2（1）的直角坐标方程为（2）圆心为，半径为的圆的极坐标方程为例3在极坐标系中，直线被曲线：所截得弦的中点的极坐标为．例4已知直线与圆，则上各点到的距离的最小值为_______．例5椭圆为参数）的焦点坐标为；若点在椭圆上运动，则的范围是巩固练习：1．在极坐标系中,与圆相切的一条直线方程为()2．两圆,的公共部分面积是3．与曲线关于对称铁曲线的极坐标方程是4．在极坐标系中,过圆的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为．5．在极坐标系中，直线的方程为，则点到直线的距离为．6．在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值是.7．在极坐标系中，直线被圆截得的弦长为__.8．在极坐标系中，过点作圆的切线，则切线的极坐标方程是．9．在极坐标系中，若过点且与极轴垂直的直线交曲线于A、B两点，则10．设是曲线（为参数）上任意一点，则的取值范围是．11．将参数方程为参数)化为普通方程为12．在极坐标系中，是圆的极坐标方程，则点A到圆心C的距离是13．直线为参数)上与点距离等于的点的坐标是14．设分别是曲线和上动点，则两点的最小距离是15．在极坐标系中，已知直线过点，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为，则直线的极坐标方程为16．直线为参数）被圆为参数）所截得的弦长为极坐标与参数方程参考答案例1（1）（2）例2（1）（2）例3例4例5，巩固练习：1．2．3．4．5．26．17．8．9．10．11．12．13．14．15．16．6极坐标高考题的几种常见题型和直角坐标系一样,极坐标系是常用的一种坐标系,极坐标是历年理工类高考必考的内容,随着新课程改革的深入,在2007年4个省市新课标高考试题中有3个省市考查了极坐标.涉及较多的是极坐标与直角坐标的互化及简单应用.多以选择题、填空题形式出现,以考查基本概念,基本知识,基本运算为主,一般属于容易题.一、极坐标方程与直角坐标方程的互化互化条件：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，长度单位相同.互化公式：或θ的象限由点(x,y)所在的象限确定.例1(2007海南宁夏)⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为，．(I)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(II)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．解：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(I)，，由得．所以．即为⊙O1的直角坐标方程．同理为⊙O2的直角坐标方程．(II)解法一:由解得，即⊙O1，⊙O2交于点(0,0)和(2,－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y=－x．解法二:由,两式相减得－4x-4y=0,即过交点的直线的直角坐标方程为y=－x．评述:本题主要考查曲线的极坐标方程化为直角坐标方程的方法及两圆公共弦所在直线方程的求法.例2(2003全国)圆锥曲线的准线方程是(A)(B)(C)(D)解:由去分母后两边同时乘以得:,所以x2=8y,其准线方程为y=,在极坐标系中方程为,故选C.例3(1998年上海)以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若椭圆两焦点的极坐标分别是(1,),(1,),长轴长是4,则此椭圆的直角坐标方程是_______________.解：由已知条件知椭圆两焦点的直角坐标为(0,1),(0,-1).c=1,a=2,b2=a2-c2=3,故所求椭圆的直角坐标方程为=1评述：点的直角坐标与极坐标的互化、曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化要熟练掌握.类题:1(1995年上海)把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并且在两种坐标系中取相同的长度单位.若曲线的极坐标方程是,则它的直角坐标方程是___________.(答案:3x2-y2=1)2(1998年全国)曲线的极坐标方程=4sin化成直角坐标方程为(A)x2+(y+2)2=4(B)x2+(y-2)2=4(C)(x-2)2+y2=4(D)(x+2)2+y2=4(答案:B)3(2002北京)已知某曲线的参数方程是(为参数)若以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,长度单位不变，建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是 (A)(B)(C)(D)(答案:D)二、已知曲线的极坐标方程,判断曲线类型常见的直线和圆的极坐标方程及极坐标系中的旋转不变性:1、直线的极坐标方程(a>0)(1)过极点,并且与极轴成α角的直线的极坐标方程:=α;(2)垂直于极轴和极点间的距离为a的直线的极坐标方程:cos=a;(3)平行于极轴和极轴间的距离为a的直线的极坐标方程:sin=a;(4)不过极点,和极轴成角,到极点距离为a的直线的极坐标方程:sin(α-θ)=a.2、圆的极坐标方程(a>0)(1)圆心在极点,半径为a的圆的极坐标方程:=a;(2)圆心在(a,0),半径为a的圆的极坐标方程:=2acos;(3)圆心在(a,),半径为a的圆的极坐标方程:=;(4)圆心在(a,),半径为a的圆的极坐标方程:=2asin;(5)圆心在(a,),半径为a的圆的极坐标方程:=;(6)圆心在(a,0),半径为a的圆的极坐标方程:=2acos(-0).3、极坐标系中的旋转不变性:曲线f(,+)=0是将曲线f(,)=0绕极点旋转||角(时,按顺时针方向旋转,时,按逆时针方向旋转)而得到.例4(1990年全国)极坐标方程4sin2=5所表示的曲线是(A)圆(B)椭圆(C)双曲线的一支(D)抛物线解:由已知极坐标方程及三角公式得:2(1-cos)=5,∴2=2cos+5,由互化公式得2=2x+5,平方整理得y2=5(x+),方程表示的曲线是抛物线,故选D.评述:对于给出的极坐标方程相对于极坐标系而言不是标准的,一般将其等价转化为直角坐标方程来判断其曲线类型.类题:1(1991年三南)极坐标方程4sin2=3表示的曲线是(A)二条射线(B)二条相交直线(C)圆(D)抛物线(答案:B)2(1987年全国)极坐标方程=sin+2cos所表示的曲线是(A)直线(B)圆(C)双曲线(D)抛物线(答案:B)3(2001年广东、河南)极坐标方程2cos2=1所表示的曲线是(A)两条相交直线(B)圆(C)椭圆(D)双曲线(答案:D)4(2003北京)极坐标方程表示的曲线是 (A)圆 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)双曲线(答案:D)例5(1994年全国)极坐标方程=cos(-)所表示的曲线是(A)双曲线(B)椭圆(C)抛物线(D)圆解:曲线=cos(-)=cos(-)是把圆=cos绕极点按逆时针方向旋转而得,曲线的形状仍然是一个圆,故选D评述:把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程较为麻烦,利用旋转不变性则更容易得出答案.方程cos(-0)=0表示一条直线,方程=acos(-0)表示半径为,圆心为(,0)的圆,要注意两者的区别.1x01x01x01x01x01x0x01(A)(B)(C)(D)解:圆=2sin(+)是把圆=2sin绕极点按顺时针方向旋转而得,圆心的极坐标为(1,),故选C.类题:1(2002江苏)极坐标方程与=的图形是00x0x0x0x(A)(B)(C)(D)(答案:B)2(2004北京春)在极坐标系中，圆心在(且过极点的圆的方程为(A)(B)(C) (D)(答案:B)三、判断曲线位置关系例7(2000年京皖春)直线=和直线sin(-)=1的位置关系(A)垂直(B)平行(C)相交但不垂直(D)重合解:直线sin(-)=1是把直线sin=1绕极点按逆时针方向旋转角而得,从而两直线平行,故选B.评注:对直线sin(-)=1与直线sin=1的关系要十分熟悉.四、根据条件求直线和圆的极坐标方程例8(2002北京春)在极坐标系中,如果一个圆的方程是=4cos+6sin，那么过圆心且与极轴平行的直线方程是(A)sin=3(B)sin=–3(C)cos=2(D)cos=–2解:将圆的极坐标方程化为直角坐标方程得:x2+y2=4x+6y,即(x-2)2+(y-3)2=13.圆心为(2,3),所求直线方程为y=3,即sin=3,故选A.评述:注意直线的直角坐标方程极易求出.类题:1(1992年上海)在极坐标方程中,与圆=4sin相切的一条直线的方程是(A)sin=2(B)cos=2(C)cos=4(D)cos=-4(答案:B)2(1993年上海)在极坐标方程中,过点M(2,)且平行于极轴的直线的极坐标方程是_______.(答案:sin=2)3(1994年上海)已知点P的极坐标为(1,),那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为(A)=1(B)=cos(C)=(D)=(答案:C)4(2000年全国)以极坐标系中点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程是(A)=2cos(-)(B)=2sin(-)(C)=2cos(-1)(D)=2sin(-1)(答案:C)五、求曲线中点的极坐标例9(2003上海)在极坐标系中，定点A(1,),点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是_________.解:在直角坐标系中,A点坐标为(0,1),B在直线x+y=0上,AB最短,则B为,化为极坐标为.例10(1999年上海)极坐标方程52cos2+2-24=0所表示的曲线焦点的极坐标为__________.解:由52cos2+2-24=0得52(cos2-sin2)+2-24=0化为直角坐标方程得,该双曲线的焦点的直角坐标为(,0)与(-,0),故所求焦点的极坐标为(,0)、(,).评述:本题考查圆锥曲线极坐标方程的基础知识,掌握点的直角坐标与极坐标的对应关系极为有用.例11(2001年京皖蒙春)极坐标系中,圆=4cos+3sin的圆心的坐标是(A)(,arcsin)(B)(5,arcsin)(C)(5,arcsin)(D)(,arcsin)解:由=4cos+3sin=5(cos+sin)=5cos(-φ)(其中sinφ=)所以所求圆心坐标为(,arcsin),故选A.类题：(2002上海)若A、B两点的极坐标为A(4,),B(6,0),则AB中点的极坐标是_________.(极角用反三角函数值表示).答案.()六、求距离例12(2007广东文)在极坐标系中，直线的方程为ρsinθ=3，则点(2,)到直线的距离为___________.解:将直线的极坐标方程ρsinθ=3化为直角坐标系方程得:y=3,点(2,)在直角坐标系中为(,1),故点(2,)到直线的距离为2.评注：本题主要考查极坐标系与直角坐标系之间的互化.例13(1992年全国、1996年上海)极坐标方程分别是=cos和=sin的两个圆的圆心距是(A)2(B)(C)1(D)解法一:两圆的圆心坐标分别为(,0)与(,),由此求得圆心距为,选D.解法二:将极坐标方程化成直角坐标方程得(x-)2+y2=与x2+(y-)2=,由此求得圆心距为,选D.评述:本题考查对极坐标的理解,理解深刻者可在极坐标系上画出简图直接求解,一般理解者,化极坐标方程为直角坐标方程也能顺利得到正确答案.例14(1997年全国)已知直线的极坐标方程为sin(+)=,则极点到该直线的距离是_______.解法一:化直线方程为=,根据极坐标的概念极点到该直线的距离等于这个函数ρ的最小值,当sin(+)=1时,取最小值即为所求.解法二:对极坐标欠熟悉时,可把直线的极坐标方程化为直角坐标方程x+y=1,应用点到直线的距离公式得原点到此直线的距离为.类题:1(2000年上海)在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线=4cos于A、B两点，则|AB|=______.(答案:2)2(2004上海)在极坐标系中,点M(4,)到直线:的距离d=__________________.(答案:)七、判定曲线的对称性例15(1999年全国)在极坐标系中,曲线=4sin(-)关于(A)直线=轴对称(B)直线=轴对称(C)点(2,)中心对称(D)极点中心对称解:把圆=4sin绕极点按逆时针方向旋转便得到曲线=4sin(-)=,知其圆心坐标为(2,),故圆的对称轴为=,应选B.评述:方程表示的曲线是圆,为弄清轴对称或中心对称的问题,关键是求出其圆心的坐标.八、求三角形面积ABOx例16(2006上海)在极坐标系中,O是极点，设点A(4,)，B(5,)，则△OAB的面积是ABOx解:如图所示,在△OAB中，评述:本题考查极坐标及三角形面积公式.直线的参数方程，圆锥曲线的参数方程及其应用一.教学内容：直线的参数方程，圆锥曲线的参数方程及其应用，极坐标系，曲线的极坐标方程及其应用。

［基本知识点］（1）直线的参数方程<1>标准形式： <2>一般形式 （2）参数t的几何意义及其应用 标准形式： <1>直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1,t2，则弦长|AB|=|t1-t2|<2>定点M0是弦M1、M2的中点t1+t2=0<3>设弦M1，M2中点为M；则点M相应的参数（3）圆锥曲线的参数方程<1> <2>角）。<3><4>抛物线y2=2px的参数方程为 （4）极坐标系的基本概念。 在平面内任取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向），对于平面内任一点M，用表示线段OM的长度，表示从Ox到OM的角度，叫做M的极径，叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做点M的极坐标系，这样建立的坐标叫做极坐标系。（5）极坐标与直角坐标的互化<1>互化条件： 极点与直角坐标系原点重合； 极轴与直角坐标系Ox轴重合； 两坐标系中的长度单位统一。<2>互化公式（6）曲线的极坐标方程<1>定义