(讲)第十四章-整式的乘法与因式分解复习

第十五章整式的乘除与因式分解复习本章知识导引整式整式的概念单项式多项式系数次数项次数整式的运算整式乘法互逆运算整式除法因式分解概念方法同类项合并同类项整式加减幂的运算单项式乘单项式单项式乘多项式多项式乘多项式乘法公式提公因式法公式珐互逆变形一、整式的有关概念1、单项式：数与字母乘积，这样的代数式叫单项式。单独的一个数或字母也是单项式。2、单项式的系数：单项式中的数字因数。3、单项式的次数：单项式中所有的字母的指数和。4、多项式：几个单项式的和叫多项式。5、多项式的项及次数：组成多项式中的单项式叫多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。特别注意，多项式的次数不是组成多项式的所有字母指数和！！！6、整式：单项式与多项式统称整式。〔分母含有字母的代数式不是整式〕二、整式的运算〔一〕整式的加减法根本步骤：去括号，合并同类项。1、同底数幂的乘法法那么：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。数学符号表示：〔其中m、n为正整数〕〔二〕整式的乘法练习：判断以下各式是否正确。2、幂的乘方法那么：幂的乘方，底数不变，指数相乘。数学符号表示：〔其中m、n为正整数〕练习：判断以下各式是否正确。〔其中m、n、P为正整数〕3、积的乘方法那么：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。符号表示：练习：计算以下各式。4.单项式与单项式相乘的法那么：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，那么连同它的指数作为积的一个因式。计算：解：==相同字母的指数的和作为积里这个字母的指数只在一个单项式里含有的字母连同它的指数作为积的一个因式各因式系数的积作为积的系数(1)3x2y

•(-2xy3);(2)(-5a2b3)•

(-4b2c)2(3)

解:(1)

原式=[3×(-2)](x2•x)(yy3)=-6x3y4(2)原式=(-5a2b3)•〔16b4c2〕=[(-5)×16]a2(b3•b4)c2=-80a2b7c2变式巩固、点拨释疑例1计算：

(3)

原式=5(m2•m)(n3n)(tt2)=5m3n4t35、单项式与多项式相乘的法那么:单项式与多项式相乘,只要将单项式分别乘以多项式的各项,再将所得的积相加.=单项式与多项式相乘八年级数学第十四章整式的乘法②

再把所得的积相加。①用单项式分别去乘多项式的每一项；运算时要注意哪些问题？①不能漏乘:即单项式要乘遍多项式的每一项.②去括号时注意符号确实定.

例1计算：（1）（2）)()3(nmm+--)6()1325)(4(32aaa-×+-单项式与多项式相乘先化简再求值:深入探索----算一算单项式与多项式相乘八年级数学第十四章整式的乘法继续探索----试一试单项式与多项式相乘八年级数学第十四章整式的乘法法那么：多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn(a+b)(m+n)=

a(m+n)+b(m+na(m+n)+b(m+n)6.多项式与多项式相乘：=am+an+bm+bn〔1〕、平方差公式即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫〔乘法的〕平方差公式说明：平方差公式是根据多项式乘以多项式得到的，它是两个数的和与同样的两个数的差的积的形式。7.乘法公式：一般的，我们有：

1、205×1952、(3x+2)(3x-2)3、(-x+2y)(-x-2y)4、

(x+y+z)(x+y-z)〔2〕、完全平方公式法那么：两数和〔或差〕的平方，等于它们的平方和，加上〔或减去〕它们的积的2倍。一般的，我们有：探索与创新题例4假设9x2+kxy+36y2是完全平方式，那么k=—分析:完全平方式是形如：a2±2ab+b2即两数的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2∴±kxy=2·3x·6y=36xy∴k=±36做一做假设x2+(k+3)x+9是完全平方式，那么k=___k=3或k=-9注意：〔1〕(a-b)=-(b-a)(2)〔a-b)2=(b-a)2(3)(-a-b)2=(a+b)2(4)(a-b)3=-(b-a)38.添括号的法那么：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都要改变符号。〔1〕、同底数幂的除法即：同底数幂相除，底数不变，指数相减。一般地，我们有（其中a≠0，m、n为正整数,并且m＞n）9.整式的除法：即任何不等于0的数的0次幂都等于1(2)规定单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，那么连同它的指数作为商的一个因式。(3)单项式除以单项式的法那么理解商式＝系数•同底的幂

•被除式里单独有的幂底数不变，指数相减。保存在商里作为因式。计算:〔1〕10ab3÷(－5ab);〔2〕－18a2b3÷6ab2〔3〕(a＋b)m;〔4〕2xy(2x＋y).-2b2-3abam+bm4x2y+2xy2〔4〕多项式除以单项式的法那么：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。例1〔a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m(m≠0)即例2(a+ab)÷a;

解:原式=a÷a+ab÷a=1+b用多项式的每一项分别除以单项式

例3(4x2y+2xy2)÷2xy解:原式=4x2y÷2xy+2xy2÷2xy=2x+y多项式的每一项分别除以单项式例4[(x+y)2-y(2x+y)-8x]÷2x解:原式=(x2+2xy+y2-2xy-y2-8x)÷2x=(x2-8x)÷2x=x2÷2x-8x÷2x=0.5x-4多项式的每一项分别除以单项式有乘方,先算乘方合并10分解因式定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，象这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解或分解因式。与整式乘法的关系：互为逆过程，互逆关系方法提公因式法公式法步骤一提：提公因式二用：运用公式三查：检查因式分解的结果是否正确〔彻底性〕平方差公式

a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2〔1〕提公因式法：

公因式：一个多项式的各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式

找公因式：找各项系数的最大公约数与各项都含有的字母的最低次幂的积。

.提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，作为多项式的一个因式，然后用原多项式的每一项除以这个公因式，所得的商作为另一个因式，将多项式写成因式乘积的形式，这种因式分解的方法提公因式法。【例1】把8a3b2+12ab3c分解因式.分析：找公因式1.系数的最大公约数

42.找相同字母aｂ3.相同字母的最低指数a1b2

公因式为：4ab2【解析】8a3b2+12ab3c

=4ab2•2a2+4ab2•3bc

=4ab2(2a2+3bc).【例题】【解析】a〔x－3〕+2b〔x－3〕=(x－3)(a+2b).【例2】把a〔x－3〕+2b〔x－3〕分解因式.分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即a(x－3)与2b(x－3)，每项中都含有〔x－3〕,因此可以把(x－3)作为公因式提出来.1.填空请在以下各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立:〔1〕2－a=______〔a－2〕;〔2〕y－x=_____〔x－y〕;〔3〕b+a=______〔a+b〕;〔4〕〔b－a〕2=_____〔a－b〕2;〔5〕－m－n=_____〔m+n〕;〔6〕－s2+t2=_____〔s2－t2〕.--++--2.〔苏州·中考〕分解因式a2－a=．【解析】a2－a=a(a-1).答案：a(a-1)3.〔盐城·中考〕因式分解

【解析】用提公因式法因式分解：答案：2a(a-2)

〔2〕利用平方差公式分解因式a2－b2=〔a+b)(a-b)能用平方差公式分解因式的多项式的特点：〔1〕一个二项式.〔2〕每项都可以化成整式的平方.〔3〕整体来看是两个整式的平方差.两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.【例1】把以下各式分解因式：〔1〕25－16x2.〔2〕9a2－b2.【解析】〔1〕25－16x2=52－〔4x〕2=〔5+4x)(5－4x〕.〔2〕9a2－b2=〔3a〕2－〔b〕2=〔3a+b)(3a－b〕.【例题】【例2】把以下各式分解因式:〔1〕9〔m+n〕2－〔m－n〕2.〔2〕2x3－8x.【解析】〔1〕9〔m+n〕2－〔m－n〕2=［3〔m+n〕］2－(m－n)2=[3(m+n)+(m－n)][3(m+n)－(m－n)]=〔3m+3n+m－n)(3m+3n－m+n〕=〔4m+2n)(2m+4n〕=4〔2m+n)(m+2n〕.〔2〕2x3－8x=2x〔x2－4〕=2x〔x+2)(x－2〕.有公因式时，先提公因式，再考虑用公式.1.〔杭州·中考〕分解因式m3–4m=.【解析】m3

–4m=m(m+2)(m-2).

答案：m(m+2)(m-2)2.(江西·中考)因式分解:2a2－8＝___________.【解析】

原式=答案：3.(珠海·中考)因式分解:=______.【解析】先提公因式，再利用平方差公式分解因式；即ax2-ay2=a〔x2－y2〕=a〔x+y〕〔x－y〕答案:a(x+y)(x－y)4.〔东阳·中考〕因式分解：x3-x=___.【解析】x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1).答案:x(x+1)(x-1)5.〔盐城·中考〕因式分解:=______.

【解析】原式=〔x+3〕(x-3).答案:〔x+3〕(x-3)〔3)利用完全平方公式分解因式a2+2ab+b2=〔a+b〕2；a2－2ab+b2=〔a－b〕2.完全平方公式的两个特点：多项式有三项.其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项那么是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.

即两个数的平方和加上〔或减去〕这两个数的积的2倍，等于这两个数的和〔或差〕的平方.以下各式是不是完全平方式？〔1〕a2－4a+4;〔2〕x2+4x+4y2;〔3〕4a2+4ab+b2;〔4〕a2－ab+b2;〔5〕x2－6x－9;〔6〕a2+a+0.25.是〔2〕不是，因为4x不是x与2y乘积的2倍.是〔4〕不是，ab不是a与b乘积的2倍.〔5〕不是，x2与－9的符号不统一.是【跟踪训练】【例1】把以下完全平方式分解因式：〔1〕x2+14x+49;〔2〕(m+n)2－6〔m+n〕+9.【解析】〔1〕x2+14x+49=x2+2×7x+72=〔x+7〕2.〔2〕(m+n)2－6(m+n)+9=〔m+n〕2－2×〔m+n〕×3+32=［〔m+n〕－3］2=〔m+n－3〕2.【例题】【例2】把以下各式分解因式：〔1〕3ax2+6axy+3ay2;〔2〕－x2－4y2+4xy.【解析】〔1〕3ax2+6axy+3ay2=3a〔x2+2xy+y2〕=3a〔x+y〕2.〔2〕－x2－4y2+4xy=－〔x2－4xy+4y2〕=－［x2－2·x·2y+〔2y〕2］=－〔x－2y〕2.先提公因式3a写成两数或式的平方的两项先变成正号1.〔眉山·中考〕把代数式分解因式，以下结果

中正确的选项是〔〕

A．B．C．D．【解析】选D.=m〔x2－6x＋9)=m(x－3)2.2.〔常德·中考〕分解因式：【解析】原式是一个完全平方式，所以x2+6x+9=

答案：

3.〔杭州·中考〕因式分解：9x2－y2－4y－4＝_____．【解析】9x2－y2－4y－4=9x2－〔y2+4y+4〕=答案：4.〔黄冈·中考〕分解因式：2a2–4a+2.【解析】2a2–4a+2=2〔a2–2a+1〕=2〔a–1〕25.计算:7652×17－2352×17.

【解析】7652×17－2352×17=17(7652－2352)=17(765+235)(765－235)=17×1000×530=9010000.6.20132+2013能被2014整除吗?【解析】∵20132+2013=2013(2013+1)=2013×2014∴20132+2013能被2014整除.海阔凭鱼跃，天高任鸟飞。知识点1因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。X2-1(X+1)(X-1)因式分解整式乘法知识点2提公因式法多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.例如：x2–x=x(x-1)，

8a2b-4ab+2a=2a(4ab-2b+1)x2a探究交流以下变形是否是因式分解？为什么?(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)；(2)x2-2x+3=(x-1)2+2；(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；(4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.提公因式错误，可以用整式乘法检验其真伪.不满足因式分解的含义因式分解是恒等变形而此题不恒等.是整式乘法.典例剖析例1用提公因式法将以下各式因式分解.(1)-x3z+x4y；(2)3x(a-b)+2y(b-a)解：(1)-x3z+x4y=x3(-z+xy).(2)3x(a-b)+2y(b-a)=3x(a-b)-2y(a-b)=(a-b)(3x-2y)x3+(b-a)-(a-b)(a-b)小结运用提公因式法分解因式时，要注意以下问题：

(1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并，而且每个括号内不能再分解.如：(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y)=(x+y)[(7m-8n)-(3m-2n)]=(x+y)(4m-6n).=2(x+y)(2m-3n).

(2)如果出现像(2)小题需统一时，首先统一,尽可能使统一的个数少，这时注意到(a-b)n=(b-a)n(n为偶数)例如：分解因式a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2.此题既可以把(x-y)统一成(y-x)，也可以把(y-x)统一成(x-y),但比较而言把(x-y)化成(y-x)比较简便，因为(x-y)2=(y-x)2.a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2=a(y-x)2+b(y-x)3+c(y-x)2=(y-x)2[a+b(y-x)+c]=(y-x)2(a+by-bx+c).

(3)因式分解最后如果有同底数幂，要写成幂的形式.例如：(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)=(a-2b)[(7a-8b)+(a-8b)]=(a-2b)(8a-16b)=8(a-2b)(a-2b)=8(a-2b)2.做一做把以下各式分解因式.(1)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b)；

(2)4p(1-q)3+2(q-1)2；2(2a+b)22(1-q)2(2p-2pq+1)或2(q-1)2(2p-2pq+1)(2)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式.例如：4x2-12xy+9y2=(2x)2-2·2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2.知识点3公式法(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).例如：4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).探究交流以下变形是否正确？为什么？(1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y)；(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2；(3)x2-2x-1=(x-1)2.目前在有理数范围内不能再分解.不是完全平方式，不能进行分解不是完全平方式，不能进行分解例2把以下各式分解因式.(1)(a+b)2-4a2；(2)1-10x+25x2；(3)(m+n)2-6(m+n)+9解:(1)(a+b)2-4a2=(a+b)2-(2a)2做一做把以下各式分解因式.(1)(x2+4)2-2(x2+4)+1；(2)(x+y)2-4(x+y-1).(1)(x2+3)2(2)(x+y-2)2(2)1-10x+25x2(3)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.=(a+b+2a)(a+b-2a)=(3a+b)(b-a)=(1-5x)2=1-10x+(5x)24a2(2a)2+2a-2a25x2(5x)2综合运用例3分解因式.(1)x