2020年自考《初等数论》专业考试题库及答案

2020年自考《初等数论》专业考试题库及答案

一填空题(每空2分)

1.写出30以内的所有素数2,3,5,7,11,13,17,19,23,29.

2.设是任意两个不为零的整数,顺^，上)=_1—.

(a,b)(a,b)

3.若Q1是非零整数，则a与b互素的充要条件是存在整数羽y,适依+勿=1

4.写出180的标准分解式是22-32-5淇正约数个数有_(2+1)(2+1)(1+1)=18个.

5.设a与b是正整数,则在1,2,…,a中能被人整除的整数恰有」々一个.

b

6.设a,b是非零整数,c是整数，方程ax+纱=c有整数解(x,y)的充要条件是(a,。)Ic

7.若整数集合A是模机的完全剩余系，则A中含有—加一个整数.

8.°(3)=2:夕⑷=2.

9.当p素数时,(l)°(p)=_p—lX2)9(P")=pk_pi.

10.设机是正整数,(。,冽)=1,则a。""'一1三0(modni).

11.设p是素数，则对于任意的整数a,有〃-。三0(modp).

12.已知2x+3三5(mod7),贝Ux=1(mod7).

13.同余方程必三2(mod7)的解是4(mod7).

14.同余方程3/+10x+12三0(mod9)的解是,X=6..

P-1

15.若(",p)=1,"是模2的二次剩余的充要条件是n2三l(modp)..

16.若(",p)=1是模p的二次非剩余的充要条件是n2=-l(modp)..

34

17.(-)=-1;(-)=1.

5-----------5-----------

2.

18.设p是奇素数，则(!)=—(-1)8..

P

19.设p是奇素数,则(2)=J—;(-)=—(-Ip..

PP

二判断题(判断下列结论是否成立，每题2分).

1.a\〃且〃|c=＞对任意的羽yGZ有Q\bx+cy成立

2.若(a,b)=(。,c),则[a,句=[a,c].不成立

3.若"屹3,则〃g.不成立

4.〃三伏modm),k>b,keNnak三b左(modmk).成立

5.ac=Z?c(modm)^a=Z7(modm).不成立

6.若a之三.(modm),贝！Ja三b(mod加)或〃三一b(mod加)至少有一个成立.不成立

7,若〃三b(mod加)，贝I」/三射(mod加2)不成立

8.若x通过模加的完全剩余系，则x+Z?(b是整数)通过模机的完全剩余系.成立

9.若｛4,%，9｝与他也，4｝都是模m的完全剩余系不成立

则｛q+4s+%，，%+j他是模相的完全剩余系不成立

10.若(〃,㈤=l,x通过模机的简化剩余系，则以+Z?也通过模机的简化剩余系.不成立

11.若叫，加2GN'Qn^ni?)=1,贝！J°(加]牡)=0(叫)0(加2),成立

12.同余方程4%2一3%+3三0(modl5)和同余方程4%2+12%—12三0(modl5)是同解的.成立

13.同余方程ax三伏modM等价于不定方程改+zny=/?.成立

14.当相是奇素数时，若Y三々(modm)有解，则(勺=1.成立

m

15.当相不是奇素数时，若(0)=1,则方程d三〃(modM)一定有解.不成立

m

三计算题

1.求(—1859,1573).(6分)

刀1.(-1859,1573)=(1859,1573)=(286,1573)

斛：=(286,1573-286x5)=(286,143)=(0,143)=143

2.求[-36,108,204].(8分)

2.[-36,108,204]=[36,108,204],

解：.36=22X32,108=22X33,204=22X3X17,

[36,108,204]=22X33X17=1836.

3.求(125,17),以及不,,使得125尤+17y=(125,17).(10分)

3.由等式6=5+1起逐步回代,得

1=6-5=6-(17-2x6)=3x6-17=3x(125-17x7)-17

：=3x125-22x17.

.-.125x3-17x22=l,x=3,y=-22.

4.求整数x,y,使得1387x-162y=（1387,162）.（10分）

4.由等式9=4x2+1起逐步回代得

1=9-4x2=9-4x（11-9）=5x9-4x11=5x（20-11）-4x11

=5x20-9x11=5x20-9x（71-3x20）=32x20-9x71

解.=32x（91-71）-9x71=32x91-41x71

'=32x91-41x（162-91）=73x91-41x162

=73x（1387-8x162）-41x162

=73x1387-625x162.

.-.1387x73-162x625=1.

5.分解12!为质因数乘积.（8分）

6.求最大的正整数左，使10%|199!.吐分）

7.求[1H>=+HI--].（10分）

V2V37100

8.求方程8x+17y=43的整数解.（6分）

9.求方程19x+20y=1909的正整数数解。（10分）

10.求方程111x-321y=75的整数解.（10分）

11.求方程15%+10%+6%=61的整数解.（8分）

12.求不定方程3%+6丁+122=15的整数解.（8分）

13.求不定方程％+2丁+32=7的所有正整数解.（8分）

14.将卷写成三个分数之和，它们的分母分别是2,3和5.（10分）

15.求方程f丁+2炉—3y—7=0的整数解.（6分）

16.求方程d+y3=1072的整数解.（8分）

17.求方程5（孙+yz+zx）=4盯z的正整数解.（10分）

18.求3得6的个位数字与最后两位数字（十进制）.（10分）

19.解同余方程6x三7（mod23）.（8分）

20.解同余方程12x+15m0（mod45）.（8分）

x=2（mod3）

21.解同余式组<x=3（mod5）.（6分）

x=2（mod7）

22.解同余期（x）三0（mod35）,/（x）=x4+2d+8x+9.（10分）

23.解同余方程:犬—_7/+1+2三0（mod5）.（6分）

24.求出模23的所有二次剩余和二次非剩余.（8分）

25.判断方程必三5（modl1）有没有解.（6分）

26.已知563是素数，判定方程f三429（mod563）是否有解.（8分）

27.求以3为其二次剩余的全体素数.（8分）

ini73

28.计算:⑴（记）;（2）（五）.（8分）

29.计算9（300）.（6分）

x=3（mod8）

30.解同余式组x三ll（mod20）.（10分）

x=l（modl5）

四证明题

1、设是两个给定的非零整数,且有整数x,y,使得ox+加=1.求证:若a\n,b\n,则次?|n.（6分）

1.n=n（ax+by）=nax+nby

证明：又ab|na,ab\nb

ab\n.

2.设01M2,…，4是整数，且回+/+♦+%=0吗%=〃.则41（8分）

2若"是奇数，则”吗,。2，都是奇数，则q+。2++4=0不可能2|”.

即在%,%,中至少有一个偶数.如果只有一个偶数，不妨设为4,则2不

证明：整除《（2三三〃）.

由出+%++4=9知,左边是5-1）个奇数的和，右边是偶数，这是不可能的.

.•.在卬/，“中至少有两个偶数，即川

3.任给的五个整数中，必有三个数之和被3整除.（8分）

3.设q=3功+°,0W°<3,，=1,2,3,4,5.

证明：⑴若在《中数01,2都出现，不妨设弓=0,弓=1,々=2,则4+%+。3=3（6+%+%）+3成立.

（2）若在乙中数0,1,2至少有一个不出现,则至少有三个彳取相同的值，令q=r2=r3=r（r=0,1或2）,

贝！Jq+%+%=3（0+%+%）+3厂成立.

4.设a,b是整数,且91片+"+从,则31（”,母。分）

4.9a9卜〃_人)2+3〃瓦.二3|(a-/?)2^-3ab,:.3^a-b)2,:.3\a-b,

:.9^(a-b)2.:.9^3ab,.3^ab,:.3k或30.

证明：若3]〃，3\a-b,.\3\b.

若3。.3\a-b,:.3\a.

故

5.设〃力是正整数，证明(a+b)[a,b]=a[b,a+b].(8分)

口,7、「71,1、ab"(〃+")

5\a+b)[a,b\-(〃+。)-------=a-----------,

(a,b)(a,b)

、丁皿•b(a+b)=而3,Q+b)=(a,b),

证明：

/.b(a+")=[/?,〃+b](a,b),

即b(a+b)=g+句，结论成立

(a,b)

6,当o三/7(mod根)时,又〃>O,neN,贝！JQ〃=bn(modm).(6分)

6..a=b(modm),:.m\a-b,

证明：又。〃一V=(a—b)(优t+a〃—2b+罐一3y++夕-1),

m^an—bn,^an=bn(modni).

7.设A={九i,九2，，3}是模相的一个完全乘馀系，以{犬}表示•柏勺小数部分.

mI卜1

证明：若(。,刈)=1,则£{—nx-——}=—(m-l).(10分)

Im2

7.由定理2知，｛叫+b,ax2+瓦+0｝也是模相的一个完全剩余系

证明：可设+/?=加+j（lV]<m）,

m”打I〃m;m;zn-l；-T；1

从而2{W}==&-1=&-1=Z-」m—1

-2-2

i=imj=imj=imj=imj=imm

8.设“eN,证明：9（"）=」油勺充要条件是“=2",左右乂（10分）

2

1n

8.<=若〃=2*,贝I](p(2k)=2\1-1)=27=I.

n若9(")=5,设〃=2。,2[/,

Z71。⑺n。⑺

证明：则a=9(〃)=9(2*t)=火2/)(p(t)=2』9⑺=万x2〃•-----=--------

t2t

即（p（t）=t,t=1,从而得证.

(注9(〃)=1=〃=1或2)

9.设则5"〃+2"+3〃+4/1=4|九(10分)

9.°(5)=4,由定理知,.=i(mod5)(1<k<4).

^n=4q+r,Q<r<3,则1"+2"+3"+4"=(I4)9-V+(24)9-2r+(34)?3+(44)9-4r

证明：=r+2r+3,+4r(mod5).

n若5flH+2"+3"+4",即得5n，+2'+3,+4',♦把r=0,1,2,3代入检验可知厂=0,4;

<=若4]〃,贝r=0,易知5/1'+2'+3’+4’,5/1"+2"+3"+4".

10,设机是正整数,(a,7")=1,证明：x三。aP""Z(mod〃z)是同余方程以三b(mod7〃)的解.

10.(a,/n)=1,由EWer定理，则。"曲三l(mod"z).

证明：ax=b=m),

(a,m)=1,x=a"M%(niodm).

P-1

11.〃是模〃的二次非剩余的充要条件是〃2三-l(modp).(10分)

11.若(〃,p)=1,贝！]由EWer定理npA=l(modp),

p-ip-i

/.(n2+1)(〃2-1)=0(modp),

p-ip-i

证明：p是素数，则〃2+1三0(modp)或〃2一1三0(modp冲必有一个成立，

〃是模p的二次剩余的充要条件是〃2=l(modp),

P-1

n2=-l(modp).

12.设"q(modp),y三生(modp)都是模p的平方剩余，

y=々(modp),y=Z?2(modp)都是模p的平方非乘U余.

求证：y三0a2(modp),y=结?(modp)都是模p的平方剩余,

1(10分)

y三［々(modp)是模p的平方非剩余.

12.由定理1知,

p-1p-1p-1p-\

a2=6Z2=l(modp\b2=b2=-l(modp\

证明:x2x2

p-ip-ip-i

...(6/)？三(1>四)z=l(modp),)2=-l(modp),

二.得证

13.设为两个形如4〃+3的奇质数，求证:若必三p(modq)无解，则/三q(modp)有两个解.(10分)

13.证明:2,q均为形如4〃+3的数,均为奇数，

p-lq-1

XX2=p(modq)无解,；.(K)=又则(幺)=(-1)22(―)=-(—)=1.

qpqq

：.x2=q(modp)有解，设c是其一解,则因为c丰-c(modp),且(-c)?=c?三q(modp),

.♦.-c也是其一解，又因为二次同余方程至多有两个解，

故J?=q(mod夕)恰有两个解为土c.

14.设p是适合pml(mod4)的素数y三«(modp)是模p的平方剩余.

证明：y三-a(modp)也是模p的平方剩余.(8分)

P-1

14.证明：令p=4左+1,由定理1知,a2=l(modp),

则Ga)2=l(modp).

15.设“是整数,证明:1+1的任何奇因数都是4〃z+l的形式(10分)

15.证明:由于奇数都可表示成奇素数之积，

而且任意多个形如4机+1的整数之积也具有4m+1的形式.

我们只需证明:若素数p是*+1的因数，则p具有4租+1的形式.

若pIn2+1,则*=-l(modp),即-1eQR(p),

由以上推论知,p=4m+l.

16.若p是素数，则同余方程产」三l(modp)有p-1个解.(8分)

16.证明:由费马定理定理)可知,任意与2互质的数都是它的解.

因止匕，这个同余方程恰好有"-1个不同的解，

即工三1,2,3,-，.-1(11