实际应用问题（含一次函数、反比例函数、二次函数的实际问题6题型）-备战2024年中考数学抢分秘籍（全国版）

第第页抢分秘籍09实际应用问题（含一次函数、反比例函数、二次函数的实际问题）（压轴通关）目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）用一次函数、反比例函数、二次函数解决实际问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。1．从考点频率看，用函数求最值问题是数学的基础，也是高频考点、必考点，所以必须提高运算能力。2．从题型角度看，以解答题的第五题或第六题为主，分值8分左右，着实不少！题型一用一次函数解决实际问题【例1】（2024·河南漯河·一模）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以龙的十二生肖专属汉字“辰”为名．设计灵感以中华民族龙图腾的代表性实物，突出呈现吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某网店从工厂购进大号、中号两种型号的“龙辰辰”，已知每个大号“龙辰辰”进价比中号“龙辰辰”多15元，2个大号“龙辰辰”和1个中号“龙辰辰”共150元．(1)求大号、中号两种型号的“龙辰辰”的进价．(2)该网点准备购进两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过中号的一半．中号“龙辰辰”定价60元，大号“龙辰辰”的定价比中号多．当购进大号“龙辰辰”多少个时，销售总利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)大号的“龙辰辰”的进价为55元，中号的“龙辰辰”的进价为元(2)当购进大号“龙辰辰”20个时，销售总利润最大，最大利润是元．【分析】此题考查了一次函数、一元一次不等式、一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是解题的关键．（1）设大号的“龙辰辰”的进价为x，则中号的“龙辰辰”的进价为元，根据2个大号“龙辰辰”和1个中号“龙辰辰”共150元列方程，解方程即可得到答案；（2）设购进大号“龙辰辰”m个，则中号“龙辰辰”的个数为个，销售总利润为元，得到，再根据题意求出，根据一次函数的性质即可得到答案．【详解】（1）解：设大号的“龙辰辰”的进价为x，则中号的“龙辰辰”的进价为元，则解得，则，答：大号的“龙辰辰”的进价为55元，中号的“龙辰辰”的进价为元；（2）解：设购进大号“龙辰辰”m个，则中号“龙辰辰”的个数为个，销售总利润为元，则，∵大号“龙辰辰”的个数不超过中号的一半∴，∴，∵中，，∴w随着m的增大而增大，∴当时，w取得最大值，此时，∴当购进大号“龙辰辰”20个时，销售总利润最大，最大利润是元．此题考查了一次函数、一元一次不等式、一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是解题的关键．此题考查了一次函数、一元一次不等式、一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是解题的关键．【例2】（2024·河南信阳·一模）烟花爆竹的发明与火药技术的使用息息相关．最初的爆竹是由唐朝的李畋发明的，他利用火药、纸筒等材料制作爆竹，目的是产生巨大声响以驱鬼辟邪，烟花爆竹不仅在重要节日以示庆贺，还承载着中国人迎祥纳福的美好愿望．小红的爸爸是一家烟花爆竹店的老板，在春节前购进甲，乙两种烟花，用3120元购进甲种烟花与用4200元购进乙种烟花的数量相同，乙种烟花进货单价比甲种烟花进货单价多9元．(1)求甲、乙两种烟花的进货单价；(2)小红的爸爸打算再购进甲、乙两种烟花共1000个，其中乙种烟花的购货数量不少于甲种烟花数量的3倍，如何进货才能花费最少？并求出最少的花费．【答案】(1)甲种烟花的进货单价为26元，则乙种烟花的进货单价为元；(2)购进甲种烟花个，则乙种烟花个，花费最少为元．【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程及一元一次不等式和相应的函数关系式．（1）设甲种烟花的进货单价为x元，则乙种烟花的进货单价为元，由题意列出分式方程，解方程即可；（2）设购进甲种烟花m个，则乙种烟花个，花费为y元，根据题意确定相应的函数关系式和不等式，然后求解，利用一次函数的性质即可得出结果．【详解】（1）解：设甲种烟花的进货单价为x元，则乙种烟花的进货单价为元，由题意得：，解得：，经检验：是原方程的解，且符合题意，则，答：甲种烟花的进货单价为26元，则乙种烟花的进货单价为元；（2）设购进甲种烟花m个，则乙种烟花个，花费为y元，由题意得：，∵乙种烟花的购货数量不少于甲种烟花数量的3倍，∴，解得：，∵，则y随m的增大而减小，∴当时，y最小，最小为元，则，答：购进甲种烟花个，则乙种烟花个，花费最少为元．1．（2024·浙江温州·一模）2023年10月4日，亚运会龙舟赛在温州举行．某网红店看准商机，推出了A和B两款龙舟模型．该店计划购进两种模型共200个，购进B模型的数量不超过A模型数量的2倍．已知B模型的进价为30元/个，A模型的进价为20元/个，B模型售价为45元/个,A模型的售价为30元/个．(1)求售完这批模型可以获得的最大利润是多少?(2)如果B模型的进价上调m元，A模型的进价不变，但限定B模型的数量不少于A模型的数量，两种模型的售价均不变．航模店将购进的两种模型全部卖出后获得的最大利润是2399元，请求出m的值．【答案】(1)2665元(2)2【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）分及三种情况，找出y关于x都函数关系式．（1）设购进模型x个，则购进模型个，根据购进模型的数量不超过模型数量的2倍，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论；设售完这批模型可以获得的总利润为y元，利用总利润=每个的销售利润×销售数量（购进数量），可得出y关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题；（2）由购进模型的数量不少于模型的数量，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，结合（1）的结论可确定x的取值范围，分三种情况，找出y关于x的函数关系式或y的值，结合y的最大值为2399，可求出m的值，取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】（1）解：设购进模型x个，则购进模型个，根据题意得：，解得：，又∵x为正整数，∴x的最大值为设售完这批模型可以获得的总利润为y元，则，即∵∴y随x的增大而增大，∴当时，y取得最大值，最大值．答：售完这批模型可以获得的最大利润是2665元；（2）解：根据题意得：解得：又∵，且x为正整数，∴且x为整数．当时，即∵，∴y随x的增大而增大，∴当时，y取得最大值，此时，解得：；当时，即，不符合题意，舍去；当时，即，∵∴y随x的增大而减小，∴当时，y取得最大值，此时解得：（不符合题意，舍去）．答：m的值为2．2．（2024·湖南怀化·一模）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知B型充电桩比A型充电桩的单价多万元，且用20万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等．(1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？(2)该停车场计划购买A，B两种型号充电桩共26个，购买总费用不超过28万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．请问A，B型充电桩各购买多少个可使购买总费用最少？【答案】(1)A，B两种型号充电桩的单价各是1万元，万元(2)A，B型充电桩各购买18个，8个可使购买总费用最少【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用：（1）设A型号充电桩的单价为x万元，则B型号充电桩的单价为万元，根据用20万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等列出方程求解即可；（2）设购买A型号充电桩m个，总费用为W，则购买B型号充电桩个，先根据题意列出不等式组求出m的取值范围，再求出W关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设A型号充电桩的单价为x万元，则B型号充电桩的单价为万元，由题意得，，解得，经检验，是原方程的解，且符合题意，∴，答：A，B两种型号充电桩的单价各是1万元，万元；（2）解：设购买A型号充电桩m个，总费用为W，则购买B型号充电桩个，∵购买总费用不超过28万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．∴，解得，，∵，∴W随m增大而减小，又∵m为正整数，∴当时，总费用最少，∴，答：A，B型充电桩各购买18个，8个可使购买总费用最少．3．（2024·河北石家庄·一模）周末，甲、乙两学生从学校出发，骑自行车去图书馆．两人同时从学校出发，以每分钟a米的速度匀速行驶，出发5分钟时，甲同学发现忘带学生证，以a米/分的速度按原路返回学校，取完学生证后（在学校取学生证的时间忽略不计），立即以另一速度匀速追赶乙．甲追上乙后，两人继续以a米/分的速度前往图书馆，乙骑自行车的速度始终不变．设甲、乙两名同学相距的路程为s（米），行驶的时间为x（分），s与x之间的函数图象如图1所示；甲学生距图书馆的路程为y（米），行驶的时间为x（分），y与x之间的部分函数图象如图2所示．(1)学校与图书馆之间的路程为米，；(2)分别求及时，s与x的函数关系式，并求甲、乙两名同学相距的路程不小于1000米的总时长；(3)请直接在图2中补全y与x之间的函数图象．【答案】(1)5000，200；(2)，分钟(3)见解析【分析】本题考查一次函数的应用、行程问题等知识，解答本题时认真分析函数图象反应的数量关系是关键．（1）由图②可得学校与净月潭公园之间的路程和a的值；（2）利用待定系数法求出s与x的函数关系式，然后分别求出时x的值，进而求解即可；（3）计算出甲第20分钟时y的值和第25分钟时y的值，完成图象．【详解】（1）由图②可得学校与净月潭公园之间的路程为5000米，（米/分），故答案为：5000，200；（2）当时，设将，代入得解得∴；当时，设将，代入得解得∴；综上所述，，当甲返回学校时，当时，解得；当时，解得；∴（分钟）答：甲、乙两名同学相距的路程不小于1000米的总时长为分钟；（3）由（2）得，甲追乙的过程中，当时，甲的速度是400米/分，当时，，甲乙两人第25分钟时，到达公园，如图，4．（2024·陕西西安·二模）2024年3月22日是第三十二届“世界水日”，联合国呼呼全世界关注和重视水资源的重要性．小明同学发现水龙头关闭不严会造成滴水浪费．为了倡议全校同学节约用水，他做了如下试验：用一个足够大的量杯，放置在水龙头下观察量杯中水量的变化情况．知量杯中原来装有水，内7个时间点量杯中的水量变化如下表所示，其中表示时间，表示量杯中的水量．时间051015202530量杯中的水量10203040506070为了描述量杯中的水量与时间的关系，现有以下三种函数类型供选择：，，(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际情况的函数类型，求出y与t的函数表达式；(2)在这种漏水状态下，若不及时关闭水龙头，请你估计照这样漏一天，量杯中的水量约为多少？【答案】(1)图见解析，函数类型为，y与t的函数表达式为(2)【分析】本题考查一次函数的应用，关键是熟知一次函数的图象及其函数解析式．（1）用描点、连线方法画出函数图象，根据图象选择一次函数解析式，然后利用待定系数法求解函数表达式即可；（2）先算出一天的时间，再代入（1）中函数表达式中求解即可．【详解】（1）解：如图，根据图象，所给数据对应点都在一条直线上，故该函数符合一次函数类型：，∴将，代入中，得，解得，∴y与t的函数表达式为；（2）解：一天时间为，当时，，答：估计照这样漏一天，量杯中的水量约为2890．题型二用反比例函数解决实际问题【例1】（新考法，跨学科，拓视野）（2024·宁夏吴忠·一模）已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．

(1)求该品牌电动车电池的电流I与电阻R的函数类系式．(2)该物理小组通过询问经销商得知该电动车以最高速度行驶时，工作电压为电池的电压，工作电流在的范围，请帮该小组确定这时电阻值的范围．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查反比例函数的应用，理解题意得出反比例函数的解析式是解题关键．（1）设电流I与电阻R之间的函数表达式为，将点代入求解即可；（2）把，分别代入解析式求出对应的R，然后结合函数图象即可得出结果．【详解】（1）解：设电流I与电阻R之间的函数表达式为，由图象知，函数图象过点，∴，解得，∴电流I与电阻R之间的函数表达式为；（2）解：当时，，解得，当时，，解得，观察图形可知：，即该小组确定这时电阻值的范围为．本题主要考查反比例函数的应用，理解题意得出反比例函数的解析式是解题关键．本题主要考查反比例函数的应用，理解题意得出反比例函数的解析式是解题关键．【例2】（2024·广东中山·一模）在某一电路中，电源电压U保持不变，电流I，电压U，电阻R三者之间满足关系式电流与电阻之间的函数关系如图．(1)写出Ⅰ与R的函数解析式；(2)结合图象回答：当电路中的电流不超过12A时，电路中电阻R的取值范围是什么?【答案】(1)(2)【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，结合图形求出函数解析式是解题的关键；（1）由图知，把点A的坐标代入中，可求得U的值，从而确定函数解析式；（2）求出当时，．结合反比例函数的图象与性质即可确定电路中电阻R的取值范围．【详解】（1）解：电源电压U保持不变，由图象可知，I与R的函数解析式为；

把点A的坐标代入上式中得：，即，∴；（2）解：由（1）可知，函数解析式为．∵电源电压U保持不变，∴当时，．∵函数图象在第一象限内，I随R的增大而减小，

∴当电路中的电流不超过时，．1．（2024·山西临汾·一模）在物理学中，电磁波（又称电磁辐射）是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式移动，随着技术的发展，依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域．电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．下表是某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值：频率f（）51015202530波长603020151210(1)该段电磁波的波长与频率f满足怎样的函数关系？并求出波长关于频率f的函数表达式；(2)当时，求此电磁波的波长．【答案】(1)反比例函数关系，(2)【分析】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键．（1）由表中数据可知，电磁波的波长与频率满足反比例函数关系，设解析式为，用待定系数法求解即可；（2）把值代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长．【详解】（1）解：由表中数据可知，电磁波的波长与频率的乘积为定值，∴电磁波的波长与频率满足反比例函数关系，设波长关于频率f的函数解析式为，把点代入上式中得：，解得：，；（2）当时，，答：当时，此电磁波的波长为．题型三用二次函数解决实际问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·浙江·模拟预测）某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有根支架，，相关数据如图所示，其中支架，，这个大棚用了根支架．为增加棚内空间，农场决定将图中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为元/米（接口忽略不计），需要增加经费元．(1)分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．①求出改造前的函数解析式．②当米，求的长度．(2)只考虑经费情况下，求出的最大值．【答案】(1)①；②米(2)米【分析】（1）①设改造前的函数解析式为，根据所建立的平面直角坐标系得到，，，然后代入解析式得到关于、、的方程组，求解即可；②根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到、的坐标即可得到结论；（2）根据已知条件表示出、的坐标得到的不等式，进而得到的最大值．【详解】（1）解：①如图，以为原点，分别以和所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：，，，设改造前的抛物线解析式为，∴，解得：，∴改造前的抛物线的函数表达式为；②如图，建立与（1）相同的平面直角坐标系，由①知改造前抛物线的解析式为，∴对称轴为直线，设改造后抛物线解析式为：，∵调整后与上升相同的高度，且，∴对称轴为直线，则有，当时，，∴，∴，，∴改造后抛物线解析式为：，当时，改造前：，改造后：，∴（米），∴的长度为米；（2）如（2）题图，设改造后抛物线解析式为，∵当时，，当时，，∴，，∴，由题意可列不等式：，解得：，∵，要使最大，需最小，∴当时，的值最大，最大值为米．本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称轴，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用等知识点．掌握二次函数的性质及是一元一次不等式的应用解题的关键．本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称轴，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用等知识点．掌握二次函数的性质及是一元一次不等式的应用解题的关键．【例2】（2024·河南信阳·一模）信阳位于中国南北地理分界线，地处淮河中上游，素有“北国江南，江南北国”美誉，自古雨水充沛，河流众多，降雨量和人均水资源量久居河南第一，素以“水广桥多”著称，被誉为“千湖之市”．其中一座桥的桥洞形状符合抛物线形状，如图1所示，桥墩高3米，拱顶A与起拱线相距4米，桥孔宽6米．(1)若以起拱点B为坐标原点建立平面坐标系，求抛物线的函数表达式，并求其顶点坐标．(2)河面的平均水位2米，信阳游客服务部门打算建造河上观赏船，故应考虑船下水后的吃水线问题．额定载客后，观赏船吃水线上面部分的截面图为矩形（如图2），当船宽为3米时．①求吃水线上船高约多少米时，可以恰好通过此桥；②若考虑涝季水面会再往上升1米，则求此时吃水线上船高的设计范围．【答案】(1)抛物线的函数表达式，顶点坐标为，(2)①米，②当船宽为3米时，要求吃水线上船高小于3米【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据建立的平面直角坐标系求出函数的表达式是解题关键．（1）以起拱点B为坐标原点建立平面坐标系，所在线为轴，过点作的垂线为轴，建立的平面直角坐标系如下：因此，抛物线的顶点坐标为，可设抛物线的函数表达式为，再将点的坐标代入即可求解；（2）①根据题（1）的结果，令求出值，从而可得吃水线上船高；②涝季水面会再往上升1米，即要求吃水线上船高在①的基础上减少1米.【详解】（1）以起拱点B为坐标原点建立平面坐标系，所在线为轴，过点作的垂线为轴，建立的平面直角坐标系如下：

根据所建立的平面直角坐标系可知，点的坐标为，抛物线的顶点坐标为、点的坐标为，因此设抛物线的函数表达式为，将代入得：，解得：，则所求的抛物线的函数表达式为；（2）①由题意，当船的中轴线与桥拱的对称轴重合时，而且恰好通过此桥，如图：∵，则、的横坐标，当得，即坐标为，∵河面的平均水位2米，故（米）船高约4米时，可以恰好通过此桥，②若考虑涝季水面会再往上升1米，则要求吃水线上船高的减少1米，吃水线上船高，即若考虑涝季水面会再往上升1米，则要求吃水线上船高小于3米.1．（2024·陕西西安·二模）如图，某一抛物线型隧道在墙体处建造，现以地面和墙体分别为轴和轴建立平面直角坐标系．已知米，且抛物线经过点请根据以上信息，解决下列问题．(1)求此抛物线的函数表达式；(2)现准备在抛物线上的点处，安装一个直角形钢拱架对隧道进行维修（点，分别在轴，轴上，且，轴，轴），已知钢拱架的长为米，求点的坐标．【答案】(1)；(2)．【分析】（）利用待定系数法求解析式即可；（）设点，则点，，从而有求出的值，然后代入求解即可；本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次图象及性质是解题的关键．【详解】（1）∵米，∴设抛物线的函数表达式为将点，代入，得，解得，∴抛物线的函数表达式是；（2）由题意，设点，则点，，由题意，得解得，，当时，（不符合题意，舍去）；当时，∴点的坐标为．2．（2024·河北石家庄·一模）一个装满水的水杯竖直放置在水平桌面上时的纵向截面如图所示，其左右轮廓线、都是抛物线的一部分，已知水杯底部宽为，水杯高度为，杯口直径为且，以杯底的中点为原点，以为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．（1）轮廓线、所在的抛物线的解析式为：；（2）将水杯绕点倾斜倒出部分水，杯中水面，如图当倾斜角时，水面宽度为【答案】；．【分析】（）设抛物线的解析式为，把点，代入中，求出抛物线的解析式即可；（）在坐标系中作出，求出的解析式，进而求出点的坐标，即可求出的长；本题考查二次函数的应用，一次函数的应用，理解题意，利用待定系数法求出抛物线的解析式时解题的关键．【详解】（）由题意可知，，，设抛物线的解析式为，将点、坐标代入得，解得，∴解析式为；（）如图，易知，设、分别与轴交于点、，在中，，∴，即，，设直线解析式为，则，解得：，∴直线的解析式为，令，解得，，将代入，得，∴，∴．3．（2024·辽宁鞍山·一模）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．图2是图1所示乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度（距离球台的高度）为的点A处，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：）．测得如下数据：水平距离0105090130170230竖直高度33454945330(1)如图3，在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象．(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是______，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是______．②求满足条件的抛物线的表达式．(3)技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练，如图2，乒乓球台长为，球网高为．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．【答案】(1)见解析(2)①49，230；②(3)乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用：（1）根据描点法画出函数图象即可求解；（2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当时，；②待定系数法求解析式即可求解；（3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为，根据题意当时，，代入进行计算即可求解．【详解】（1）解：如图所示，（2）解：①观察表格数据，可知当和时，函数值相等，则对称轴为直线，顶点坐标为，又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是，当时，，∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是；故答案为：；．②设抛物线解析式为，将代入得，，解得：，∴抛物线解析式为；（3）解：∵当时，抛物线的解析式为，设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为，则平移距离为，∴平移后的抛物线的解析式为，依题意，当时，，即，解得：．答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为．题型四用一次函数和反比例函数解决实际问题【例1】（2024·河南漯河·一模）河南作为粮食生产大省，发展设施农业是推动乡村产业振兴的重要抓手．设施农业就是利用工程技术手段和工业化生产的农业，能够为植物生产提供适宜的生长环境，使其在舒适的生长空间内，健康生长，从而获得较高经济效益．例如冬天的寒潮天气，气温较低不利于蔬菜生长，可用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时之问的函数关系，其中线段表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示温系统关闭阶段，请根据图中信息解答下列问题：(1)求图象中段的函数表达式，并写明自变量的取值范围．(2)解释线段的实际意义．(3)大棚里栽培的这种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长．【答案】(1)(2)线段表示恒温系统设定恒温为；(3)【分析】本题是以实际应用为背景的函数综合题，主要考查求一次函数、反比例函数的关系式，解题的关键是根据图象求出一次函数、反比例函数解析式．（）利用待定系数法求函数解析式即可；（）根据函数图象结合题意回答即可；（）把代入和中，即可求得结论．【详解】（1）当时为双曲线的一部分，设与的关系式为，∴，解得：，∴与的关系式为；（2）线段表示恒温系统设定恒温为；（3）设段的解析式为，由图象可知过点，，∴，解得：，∴段的解析式为，∴当时，代入得,解得；代入得，∴最适合生长的时间有（小时）．本题是以实际应用为背景的函数综合题，主要考查求一次函数、反比例函数的关系式，解题的关键是根据图象求出一次函数、反比例函数解析式．本题是以实际应用为背景的函数综合题，主要考查求一次函数、反比例函数的关系式，解题的关键是根据图象求出一次函数、反比例函数解析式．1．实验数据显示，一般成年人喝50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图所示（图象由线段与部分双曲线组成）．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．

(1)求部分双曲线的函数表达式；(2)假设某驾驶员晚上在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由．【答案】(1)(2)第二天早上不能驾车去上班【分析】本题考查反比例函数的实际应用．（1）待定系数法求函数解析式即可；（2）求出时对应的时间，结合规定可进行判断．读懂题意，正确的识图，是解题的关键．【详解】（1）解：根据题意得，直线OA过，即小时时酒精含量为20毫克/百毫升，则1小时时酒精含量为80毫克/百毫升，则直线OA的表达式为，当时，，即，设函数表达式为，将点代入得：，∴；（2）由得，当时，，从晚上到第二天早上时间间距为小时，∵，∴第二天早上不能驾车去上班．题型五用一次函数和二次函数解决实际问题【例1】（2024·湖北襄阳·一模）某地大力推广成本为10元/斤的农产品，该农产品的售价不低于15元/斤，不高于30元/斤．(1)每日销售量（斤）与售价（元/斤）之间满足如图函数关系式．求与之间的函数关系式；(2)若每天销售利润率不低于，且不高于，求每日销售的最大利润；(3)该地科技助农队帮助果农降低种植成本，成本每斤减少元（），已知每日最大利润为2592元，求的值．【答案】(1)(2)每日销售的最大利润为1600元(3)的值为6【分析】本题考查了一次函数及二次函数的应用，利用函数解决实际问题时，要注意自变量的取值范围，这也是解决实际问题的难点和关键．（1）由图象可知函数为一次函数，设函数关系式为，把和代入即可求出结果；（2）由每天销售利润率不低于，且不高于可求出的取值范围，设每日销售利润为元，利用二次函数模型即可求出最大利润；（3）设成本每斤减少元后每日销售利润为元，由和确定当时，利润最大，从而得出关于的方程，解出方程即可求得的值．【详解】（1）解：由图象可知函数为一次函数，设函数关系式为，由题意得：当时，；当时，；，解得：，．，答：与之间的函数关系式为；（2）解：由题意得：，解得：，设每日销售利润为元，，，开口向下，对称轴为直线，，随的增大而增大，当时，利润最大为（元，答：每日销售的最大利润为1600元；（3）解：设成本每斤减少元后每日销售利润为元，则，对称轴为：直线，，，，当时，利润最大，，解得：或（不合题意舍去），答：的值为6．本题考查了一次函数及二次函数的应用，利用函数解决实际问题时，要注意自变量的取值范围，这也是解决实际问题的难点和关键．本题考查了一次函数及二次函数的应用，利用函数解决实际问题时，要注意自变量的取值范围，这也是解决实际问题的难点和关键．【例2】（2024·广东深圳·一模）飞盘运动是一种老少皆宜的健身项目，只要有一片空旷的场地就能让我们开心地锻炼．某商家销售某品牌的橡胶飞盘，成本价为每个16元，销售中平均每天销售量y（个）与销售单价x（元）的关系可以近似地看作一次函数，如表所示：x18202224y70605040(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)设该商家每天销售该品牌的橡胶飞盘的利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，当x取何值时，w的值达到最大?最大值是多少?【答案】(1)(2)，当时，w取最大值，最大值为320【分析】本题考查一次函数、二次函数的实际应用：（1）根据表中数据，利用待定系数法求解；（2）结合（1）中结论，根据利润、销量、进价、售价之间的关系可得w与x之间的二次函数关系式，化为顶点式可得最值．【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，由表中数据知，当时，，当时，，，解得，y与x之间的函数关系式为；（2）解：由题意知，，即w与x之间的函数关系式为；，当时，w取最大值，最大值为320．1．（2024·湖北襄阳·模拟预测）某网店专门销售杭州第十九届亚运会吉祥物机器人“江南忆”套装，成本为每件30元，每天销售y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系，如图所示，网店每天的销售利润为W元．网店希望每天吉祥物机器人“江南忆”套装的销售量不低于220件．(1)求y与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）．(2)当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？(3)如果每天的利润不低于3000元，直接写出销售单价x(元)的取值范围．【答案】(1)(2)当销售单价为48元时，每天获得的利润最大，最大利润是3960元(3)【分析】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出函数表达式，是解题的关键．（1）设函数解析式为，待定系数法求出函数解析式即可；（2）利用总利润等于单件利润乘以销量列出二次函数解析式，求最值即可；（3）先求出时的的值，进而求出的取值范围即可．【详解】（1）解∶设，将代入，得，解得，∴y与x之间的函数关系式为．（2）依题意得，又∵，∴．∵时，W随x的增大而增大，∴当时，W取得最大值，最大值为．（3）当时：，解得：，∵抛物线的开口向下，且，∴当时，．2．（23-24九年级下·湖北随州·阶段练习）某公司开发出一种新技术产品，上市推广应用，从销售的第1个月开始，当月销售量（件）与第个月之间的函数关系如图1所示，月产品销售成本（元）与当月销售量（件）之间的函数关系如图2所示，每件产品的售价为100元．

(1)求出与和与之间的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围）(2)推广销售的第三个月利润为多少？(3)第几个月获得利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)，(2)元(3)第个月利润最大，最大利润为元【分析】本题考查一次函数，二次函数的应用．（1）根据图1知，一次函数图象上经过了两个点，利用待定系数法即可求，根据图2已知点代入即可；（2）先用月份表示出利润，再令即可求出利润；（3）先用月份表示出利润，再利用二次函数的顶点式即可求出最值．【详解】（1）解：设与的函数关系式，代入得解得将代入得或（舍去）；（2）设第个月的利润为元，则当时，，故第个月的利润为元；（3）由（2）知，当时，有最大值为元，答：第个月利润最大，最大利润为元．3．（2024·新疆·一模）某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2024年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜．经调查发现，甲蔬菜种植成本y与其种植面积x的函数关系如图所示，其中；乙蔬菜的种植成本为50元/．

(1)当甲蔬菜的种植面积______时，其种植成本；(2)设2024年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？(3)学校计划今后每年在这土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲蔬菜种植成本平均每年下降10%．乙蔬菜种植成本平均每年下降a%；当a为何值时，2026年的总种植成本为28920元？【答案】(1)500(2)当种植甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，W最小(3)20【分析】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用等知识：（1）当时，由待定系数法求出一次函数关系式，当时，，再求出当时x的值，即可得出结论；（2）当时，，由二次函数的性质得当时，W有最小值，最小值为42000，再求出当时，，由一次函数的性质得当时，W有最小值为43000，然后比较即可；（3）根据2026年的总种植成本为28920元，列出一元二次方程，解方程即可．【详解】（1）解：当时，设甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系式为，把，代入得：，解得：，∴，当时，，∴当时，，解得：，故答案为：500；（2）解：当时，，∵，∴抛物线开口向上，∴当时，W有最小值，最小值为42000，此时，，当时，，∵，∴当时，W有最小值为：，∵，∴当种植甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，W最小；（3）解：由（2）可知，甲、乙两种蔬菜总种植成本为42000元，乙种蔬菜的种植成本为（元），则甲种蔬菜的种植成本为（元），由题意得：，设，整理得：，解得：（不符合题意，舍去），∴，∴，答：当a为20时，2026年的总种植成本为28920元．题型六用一次函数、反比例函数和二次函数解决实际问题【例1】