2022-2023学年高二物理竞赛课件：玻色分布和费米分布

玻色分布和费米分布12一、玻色分布玻色系统(N>>1，nm>>1，ωm>>1)玻色分布和费米分布32.玻色系统

N个粒子不可分辨，可认为是量子全同粒子，且每个个体量子态容纳的粒子数不受限制。

能级εm非简并。由于粒子不可分辨，在任一能级上nm个粒子的分布只有一种方式。

能级εm简并。简并度为ωm，nm个粒子在ωm个不同量子态上的分布方式就象nm个相同的球在ωm个盒子中的分布一样。4计算nm个粒子占据

m上

m个量子态的可能方式。用小格代表量子态，用小圆圈代表微观粒子，将最左方固定为量子态1。小方格和小圆圈的可能组合数（nm+

m

-1）!。由于粒子的不可分辨，扣除粒子之间的相互交换数nm!，和量子态之间的相互交换数(

m

-1)!5能级εm的微观状态数为：各能级的结果相乘，得玻色系统与分布{nm}相应的微观状态数为：

（Bose-Einstein）6费米系统

N个粒子不可分辨，每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子。

nm

个粒子占据εm上的ωm个量子态，相当于从ωm个量子态中挑选nm个来为粒子所占据（ωm≥nm

）,共有可能方式。各能级的结果相乘，得费米系统与分布{nm}相应的微观状态数为：（Fermi-Dirac）7

经典极限条件

如在玻色系统和费米系统中，任一能级上的粒子数均远小于该能级的量子态数，即称经典极限条件(也称非简并条件),即在所有能级上，粒子数都远小于量子态数。意味着，平均而言，处在每一个量子态上的粒子数均远小于1。8在满足经典极限条件下，由于每个量子态上的粒子数远小于1，粒子间的关联可忽略，全同性的影响只表现在因子1/N!上。9经典统计中的分布和微观状态数

系统在某一时刻的运动状态用N个粒子的坐标(qi1，qi2，…,qir)和动量(pi1,pi2,…,pir)确定,相应于

d空间的N个点。为计算微观状态数,将qi和pi分为大小相等的小间隔,使，对于具有r个自由度的粒子,

相应于

d空间中的一个相格。

假使h0足够小,就可以由粒子运动状态代表点所在的相格确定粒子的运动状态。处在同一相格的代表点,代表相同的运动状态。

10将

d空间划分为许多体积元

(m=1,2,…)

，以表示运动状态处在的粒子所具有的能量,N个粒子处在各的分布可描述如下:

体积元简并度能量粒子数经典统计中与分布{nm}

对应的微观状态数，参照玻尔兹曼系统得11最可几分布

微观状态数出现最多（概率最大）的分布，是最具代表性的分布。根据等几率原理，微观状态数最多的分布出现的几率最大。最可几分布的两个重要特点：

1.当粒子数目很大时，其它分布中的微观状态数与之相比可以忽略；

2.最可几分布中的任一微观状态出现的几率最小，且随体系粒子数目的增多而进一步减小。

12玻尔兹曼分布M-B系统中最可几分布，称玻尔兹曼分布。斯特令公式：lnm！=m（lnm-1），（m>>1）M-B系统中的最可几分布是使ΩM.B为极大的分布。lnΩM.B随ΩM.B的变化是单调的，可等价讨论使lnΩM.B为极大的分布。13使lnM.B为极大的分布{nm}

，必使lnM.B=0注：这些nm不完全独立，它们满足一定条件。N>>1，考虑nm>>1，ωm>>1，利用斯特令公式14

、称拉格朗日未定乘子。麦克斯韦-玻尔兹曼分布15,,

、拉氏乘子、由下两式确定16能级

m有

m个量子态，处在其中任何一个量子态的平均粒子数是相同的。处在能量

s的量子态s上的平均粒子数fs，17思考题与习题1.经典和量子方法对粒子运动状态描述的区别。2.如何对系统微观运动状态进行描述。3.什么是等概率原理？4.玻尔兹曼、玻色和费米分布各自适合什么系统？在满足经典极限的情况下，三种分布的关系。P120，5.1、5.2、5.318能级是简并的，一个能级对应于若干个波函数。能级：

ε1，ε2，…εm，……

简并度：ω1，ω2，...ωm，……波函数：(ψ11，ψ12，…ψ1ω1)，(ψ21，ψ22，…ψ2ω2)…(ψm1，ψm2，…ψmωm)…粒子数：n1，n2，…nm，……（m=1,2,3,…k）19

能级εm上的粒子