9.1.2 三角形的内角和与外角和 华东师大版数学七年级下册素养提升练习(含解析)

9.1.2三角形的内角和与外角和基础过关全练知识点1三角形的内角和1.(2023河北石家庄三模)已知三角形一个内角的度数为70°,则x+y的值为()A.180B.110C.100D.702.(2023河南周口太康期末)在△ABC中,∠A=10°,∠B=60°,则△ABC的形状是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形3.【跨学科·物理】(2023河南郑州中原三模)物理课上,小明研究一个小木块沿斜坡向下滑动时的运动状态,如图,∠C=90°,∠B=13°,小木块(△DEF)在AB上,且EF∥AC,则∠DFE的度数为()A.13°B.77°C.87°D.63°4.如图,在△ABC中,BD是∠ABC的平分线,CE是△ABC的AB边上的高,∠ACB=60°,∠ADB=100°,求∠A和∠ACE的度数.知识点2三角形的外角及其性质5.(2023福建漳州模拟)如图,∠CBD是△ABC的外角,∠A=38°,∠CBD=68°,则∠C的度数是()A.68°B.40°C.38°D.30°6.(2022河南信阳浉河期末)如图所示,下列结论正确的是()A.∠1>∠B>∠2B.∠B>∠2>∠1C.∠2>∠1>∠BD.∠1>∠2>∠B7.【一题多解】(2023吉林吉大附中期中)如果将一副三角板按如图所示的方式叠放,那么∠α的度数是()A.75°B.100°C.105°D.135°8.【教材变式·P78例1】(2023山西运城垣曲期末)如图,AD平分∠BAC,∠B=35°,∠ADC=82°,则∠C=°.

9.(2023福建福州格致中学鼓山校区期末)如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,且CE交BA的延长线于点E,若∠B=36°,∠E=24°,则∠BAC=°.

10.(2023河南商丘民权期末)如图,△ABC中,BE⊥AC于点E,AF平分∠CAB,交BE于点F,∠C=78°,∠CBA=38°,求∠AFB的度数.知识点3三角形的外角和11.【新独家原创】【一题多解】如图,在△ABC中,沿虚线截去∠C,若∠1+∠2=240°,则∠C的度数为()A.60°B.70°C.80°D.65°12.(2023福建省泉州实验中学期中)若一个三角形的三个外角度数的比为1∶4∶4,则此三角形最大内角的度数为°.

13.∠1和∠2是△ABC的外角,若∠A=90°,如图①,则∠1+∠2的度数为;若∠A=60°,如图②,则∠1+∠2的度数为;若∠A=α,如图③,则∠1+∠2的度数为.

图①图②图③能力提升全练14.(2023山东聊城中考,5,★☆☆)如图,分别过△ABC的顶点A,B作AD∥BE.若∠CAD=25°,∠EBC=80°,则∠ACB的度数为()A.65°B.75°C.85°D.95°15.(2023吉林松原前郭期末,6,★☆☆)在△ABC中,∠A=12∠B=13∠C,则△ABC是(A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定16.【一题多变·运用三角形的角平分线求角的度数】【双内角平分线模型】(2023四川成都都江堰、邛崃期末,6,★★☆)如图,在△ABC中,BM平分∠ABC,CM平分∠ACB,∠A=72°,则∠M=()A.126°B.54°C.102°D.108°[变式1·条件变成一条内角平分线和一条外角平分线]【内外角平分线模型】(2023河北沧州十四中期中,11,★★☆)如图,BP是∠ABC的平分线,CP是∠ACM的平分线,若∠ABP=20°,∠ACP=50°,则∠A+∠P=()A.70°B.80°C.90°D.100°[变式2·条件变为两条外角平分线]【双外角平分线模型】(2023福建省泉州实验中学期中,7,★★☆)如图,△ABC的两个外角的平分线相交于点O,若∠A=80°,则∠O=()A.40°B.50°C.60°D.80°17.(2023山东烟台栖霞月考,14,★☆☆)如图所示的图形中,α+β=°.

18.【易错题】(2022黑龙江哈尔滨香坊风华中学月考,19,★★☆)已知BD、CE是△ABC的高,直线BD、CE相交所成锐角的度数为40°,则∠BAC的度数是.

19.【一题多解】(2023河南安阳滑县实验学校期末,19,★★☆)阅读材料:探究不规则图形中的角之间的关系时,可以通过作辅助线将不规则图形转化为三角形,利用三角形内角和与内外角的关系得出结论.如图1,想要找到∠BDC与∠BAC+∠B+∠C之间的关系时,通过连结AD并延长到点E,得到△ABD和△ADC,进而得出∠BDC=∠BAC+∠B+∠C的结论.请你应用材料中的方法,探究图2中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.图1图2素养探究全练20.【推理能力】【跨学科·物理】(2022河南许昌建安期中)实验证明平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.阅读以上材料并解决下列问题.(1)如图,一束光线m射到平面镜a上,被a反射到平面镜b上,又被b反射.若被b反射出的光线n与光线m平行,且∠1=50°,求∠2及∠3的度数.解:易知∠1=∠4,∠5=∠6,∴∠7=180°-∠1-∠4=,∵m∥n,∴∠2+∠7=180°,∴∠2=180°-∠7=,∴∠5=∠6=,根据三角形内角和为180°,知∠3=180°-∠4-∠5=.

在(1)中,①若∠1=55°,则∠3=;②若∠1=40°,则∠3=.

(3)由(1)(2),请你猜想:当两平面镜a、b的夹角∠3为多少度时,可以使任何射到平面镜a上的光线m,经过平面镜a、b的两次反射后,入射光线m与反射光线n平行?请你写出推理过程.

答案全解全析基础过关全练1.B由题图可知,x+y=180-70=110.故选B.2.A∵∠A=10°,∠B=60°,∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-10°-60°=110°,∴△ABC是钝角三角形.故选A.3.B∵∠C=90°,∠B=13°,∴∠A=180°-∠C-∠B=77°,∵EF∥AC,∴∠DFE=∠A=77°.故选B.4.解析∵∠DBC+∠ACB+∠BDC=180°,∠BDC+∠ADB=180°,∴∠ADB=∠DBC+∠ACB,∴∠DBC=∠ADB-∠ACB=100°-60°=40°.∵BD平分∠ABC,∴∠ABC=2∠DBC=80°,∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=40°.∵CE⊥AB,∴∠AEC=90°,∴∠ACE=90°-∠A=50°.5.D∵∠CBD是△ABC的外角,∴∠CBD=∠A+∠C,即68°=38°+∠C,∴∠C=68°-38°=30°.故选D.6.D由题图知∠1>∠2,∠2>∠B,∴∠1>∠2>∠B.故选D.7.C解法一:如图,由题意可得∠1=30°,则∠2=45°-∠1=45°-30°=15°,∴∠α=90°+∠2=105°.故选C.解法二:如上图,∵∠1=30°,∴∠3=180°-(30°+45°)=105°,∴∠α=∠3=105°.故选C.8.51解析∵∠ADC是△ABD的外角,∴∠BAD=∠ADC-∠B=82°-35°=47°,∵AD平分∠BAC,∴∠BAC=2∠BAD=94°,∴∠C=180°-∠B-∠BAC=51°.9.84解析∵∠B=36°,∠E=24°,∴∠ECD=∠B+∠E=36°+24°=60°.∵CE为∠ACD的平分线,∴∠ACD=2∠ECD=120°.又∵∠ACD=∠B+∠BAC,∴∠BAC=∠ACD-∠B=120°-36°=84°.10.解析∵∠C=78°,∠CBA=38°,∴∠CAB=180°-∠C-∠CBA=180°-78°-38°=64°.∵AF平分∠CAB,∴∠EAF=∠FAB=12∠CAB=32°.∵BE⊥AC,∴∠AEB=90°,∴∠AFB=∠EAF+∠AEF=32°+90°=122°11.A解法一:如图.∵∠1+∠2=240°,∴∠3+∠4=360°-240°=120°,∴∠BCA=180°-(∠3+∠4)=60°.解法二:如上图,∵∠1+∠2=240°,∴∠5=360°-∠1-∠2=360°-240°=120°,∴∠BCA=60°.故选A.12.140解析∵三角形的三个外角度数的比为1∶4∶4,∴最小外角的度数为11+4+4×360°=40°,∴三角形最大内角的度数为180°-40°=140°13.270°;240°;180°+α解析题图①中∠A的邻补角为90°,根据三角形的外角和为360°知∠1+∠2+90°=360°,所以∠1+∠2=270°;题图②中∠A的邻补角为120°,根据三角形的外角和为360°知∠1+∠2+120°=360°,所以∠1+∠2=240°;题图③中∠A的邻补角为180°-α,根据三角形的外角和为360°知∠1+∠2+180°-α=360°,所以∠1+∠2=180°+α.能力提升全练14.B∵AD∥BE,∴∠ADC=∠EBC=80°,∵∠CAD+∠ADC+∠ACB=180°,∠CAD=25°,∴∠ACB=180°-25°-80°=75°,故选B.15.B设∠A=x°,则∠B=2x°,∠C=3x°.由∠A+∠B+∠C=180°,得x+2x+3x=180,解得x=30,故∠C=30°×3=90°,∴△ABC是直角三角形.故选B.16.A∵BM平分∠ABC,CM平分∠ACB,∴∠MBC=12∠∠MCB=12∠ACB,∴∠MBC+∠MCB=12(∠ABC+∴∠M=180°-(∠MBC+∠MCB)=180°-12(180°-∠A)=90°+12∵∠A=72°,∴∠M=90°+12×72°=126°.故选方法解读双内角平分线模型:如图,在△ABC中,BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线,则∠BDC=90°+12∠[变式1]C∵BP是∠ABC的平分线,CP是∠ACM的平分线,∠ABP=20°,∠ACP=50°,∴∠ABC=2∠ABP=40°,∠ACM=2∠ACP=100°,∴∠A=∠ACM-∠ABC=60°,∠ACB=180°-∠ACM=80°,∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=130°,∵∠PBC=20°,∴∠P=180°-∠PBC-∠BCP=30°,∴∠A+∠P=90°,故选C.方法解读内外角平分线模型:如图,△ABC的内角∠ABC的平分线和外角∠ACD的平分线相交于P点,则∠P=12∠[变式2]B∵∠A=80°,∴∠ACB+∠ABC=100°,∴∠ECB+∠DBC=260°,∵∠CBD、∠BCE的平分线相交于点O,∴∠OBC=12∠DBC,∠OCB=12∠ECB,∴∠OBC+∠OCB=12×260°∴∠O=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-130°=50°,故选B.方法解读双外角平分线模型:如图,△ABC的外角∠CBE与∠BCF的平分线相交于点D,则∠D=90°-12∠17.85解析如图,∵∠3+∠4=180°-40°=140°,∠1=∠3,∠4=∠2,∴∠1+∠2=140°,又∵70°+α+∠1=180°,∠2+β+65°=180°,∴70°+α+∠1+∠2+β+65°=360°,∴α+β=360°-70°-65°-140°=85°.18.140°或40°解析①当∠BAC为钝角时,如图1,分别延长BD、CE交于点F,∵BD、CE是△ABC的高,∴∠BEF=∠CDF=90°,∵∠F=40°,∴∠BAC=∠EAD=360°-90°-90°-40°=140°;②当∠BAC为锐角时,如图2,设BD、CE交于点F,∵BD、CE是△ABC的高,∴∠AEC=∠ADB=90°,∵∠BFE=40°,∴∠BAC=360°-90°-90°-(180°-40°)=40°.综上所述,∠BAC的度数为140°或40°.易错点本题的易错之处是忽略分类讨论而漏解.19.解析解法一:如图①,连结AF并延长至点M.∵∠BAC=∠BAM+∠CAM,∠BFM=∠B+∠BAM,∠CFM=∠C+∠CAM,∴∠BFC=∠BFM+∠CFM=∠BAC+∠B+∠C.∵∠D+∠E+∠EFD=180°,∠EFD=∠BFC,∴∠D+∠E+∠BFC=180°,∴∠BAC+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.解法二:如图②,连结BC,∵∠E+∠D+∠EFD=∠FBC+∠FCB+∠BFC,∠EFD=∠BFC,∴∠E+∠D=∠FBC+∠FCB,∴∠A+∠ABF+∠ACE+∠D+∠E=∠A+∠ABF+∠ACE+∠FBC+∠FCB=∠A+∠ABC+