第1讲 数与式（精讲篇）-2020年数学初高中衔接讲与练

第1讲乘法公式、根式与指数运算亲爱的同学，大家好！祝贺你们进入高中阶段学习！此时我想到一种食品----牛轧花生糖，你们猜猜我的寓意是什么？我想借用这5个字“牛、轧、花生、糖”.下面谈谈我对这5个字的理解.提起牛，人们会说牛气冲天、老黄牛、牛劲.是的，我们学习就是要一股牛气，要有一股初生牛犊的精神，要有牛气冲天的干劲，要不畏难、不怕苦，要勤于思考、敢于实践，要有高涨而持续的学习热情.牛在紧要关头不仅有冲劲，在平时耕田拉车中还特有韧劲，我们学习特别需要能长久维持的韧劲，它是我们成功的必要条件，有了这股韧劲，就能克服一切困难，集中精力，发奋读书，即使身体小有不适或遇到一些困难，也能尽量坚持学习，这是对自己意志的考验.你们肩负父母的期望，气如长虹，意志如钢！“轧”音同“扎”，寓意是学习要扎实.数学学习的扎实表现在：（1）不满足于听懂、看懂，关键要能准确地书写表达出来，还要能举一反三，否则，没有真懂.要把老师说的、书上写的经过大脑思索“消化”为自己的心中之物.（2）运算要既快又准.速度慢了不行，但算错了更不行！（3）关注细节.哪怕是一个符号的错误，都会让你体会前功尽弃的滋味，细节决定命运！现在做题如此，以后做事也一样！要做到这3条，必须在课堂上认真听讲、用心思考、勤于演算、善于笔记、大胆发言.在课后还要通过一定数量模仿性练习、提高性练习等高质量作业才能牢固掌握，做作业不互相对答案，不抄袭，遇有不懂问题可以相互讨论，但懂了以后自己再独立做出了.还要自觉学会归纳解题成功的经验和总结失败的教训，做到吃一堑，长一智，形成个人独具特色的数学学习方法和理解力.花生的果实生长在地下，默默的被大地滋润着，在直到成熟才离开土地，营养价值极高.滋润着学生成长的是国家以及你们的父母和老师.“花生”的“生”单独字面有陌生、生疏的意思，“花”有相间的意思，此处借用“花生”是想说在学习过程中会时常出现一些新的问题和困难，这需要我们以正确的态度去对待，是强调客观原因，还是知难而进，独立思考，不耻下问，是对每个同学学习毅力的考验.“花生”的谐音是“化生”，借指数学中常用的方法––––化生为熟、化难为易、化繁为简、化远为近.这是数学学习中解决问题的一条重要途径，是学会分析问题和解决问题的重要方法.你们是祖国的未来，一往无前，所向披靡！糖是大家喜欢的食品，它给我们辛苦的学习带来一丝甜意，我希望大家在繁重的学习间隙，可以唱支歌、跳曲舞来调节生活，来体验学习的甜蜜，体会生活的甜美.但是大家知道，生活并不全是歌舞.葡萄在成熟之前是苦腻的，这预示着我们今后4年的学习生活将是异常艰苦，那种时而忽然开朗，眼前一片光明，时而百思不解，眼前一片黑暗，那种纠结、烦躁、甚至愤怒，没有亲身经历的人是难以体会的！这样的经历是一个人成长、成熟所必须的，我们只能面对，没有逃避的余地，这或许是“先苦后甜”的深刻含义吧.这使我想起晚清学者王国维《人间词话》中的：“古今之成大事业、大学问者，必经过三种之境界.‘昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路’，此第一境也；‘衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴’，此第二境也；‘众里寻他千百度，回头蓦见，那人正在灯火阑珊处’，此第三境也.”第一句话形容学海无涯，只有勇于登高远望者才能寻找到自己要达到的目标，只有不畏惧孤独寂寞，才能探索有成.第二句话比喻为了寻求真理或者追求自己的理想，废寝忘食、夜以继日，就是累瘦了也不觉得后悔.第三句话比喻经过长期的努力奋斗劳而无获，正值困惑难以解脱之际，突然获得成功.一种“踏破铁鞋无觅处，得来全不费工夫”的感觉油然而生，恍然间由失望达到久久期盼的愿望.体现的是偶然中的必然这一深刻哲理.同学们：学习中没有永远的落后，暂时的落后并不可怕，只要把我们的聪明才智用到学习上，就一定能赶上！同时要求同学们在学习上要做到：敢想、敢说、敢问、敢笑，在交流中要做到：大胆、大方、大声、大度.学习困难时想到牛轧糖，我相信你们学习的信心更足、克服困难的意志更坚强、解决问题方法更多、成绩提高得更快、明天的日子会更甜美！最后，请大家欣赏几幅关于牛的图片：这头耕地的黄牛左边是肥美的草地，但头这头水牛的右边繁花似锦，偏偏把也不抬，专注拉犁头扭向左边，排除干扰，抵制诱惑尽.力做好现在“本职工作”---耕地.这是一头讨人喜欢的牛，它在认准目标这幅图的意思只有靠大家自己解读以后，竭尽全力往前冲！一、乘法公式⑴平方差公式：⑵立方差公式：两数差乘以两数平方和+两数积⑶立方和公式：两数和乘以两数平方和-两数积⑷完全平方公式：，三数平方和+三数两两积的2倍⑸完全立方公式：一降一升一三一，左加右边是正号，左减右边正负间(6)前减后乘以前降后升，中间是加号乘法公式是数学运算的基础，必须牢牢掌握，并能熟练运用.记忆乘法公式除了直接记公式，还可以用文字语言记忆，比如第（4）组第2个公式的文字语言表示：三个数和的平方等于这三个数平方和加上这三个数两两积的2倍.文字语言记忆的好处是能加上对公式的理解，不受字母变化的影响，比如第（4）组第2个公式中的a、b、c换成e、f、g，文字表达是一样的.乘法公式还有图形证法。二、根式 式子叫做二次根式，其性质如下：（1）（2）（3）（4）说明(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式或被开方数有分母应该有理化.三、分式1．分式的意义形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：；．上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．本讲知识结构图：数与式乘法公式二次根式及指数运算律分式的基本性质变形用公式熟悉几种常见的转化方法化分式为部分分式例1计算：（1） （2）（3） （4）（5）解（1）原式=.（2）原式=.（3）原式=.（4）原式=.另解原式===．（5）原式= 说明第(1)-(2)题是直接用公式，第（3）-（5）要先变形再用公式.在进行代数式运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构，有时要凑出满足乘法公式的结构．公式通常是等号从右到左要用好解题需要勤观察运用熟练能生巧例2已知：的值.分析要用x+y表示x3+y3+3xy，为此要对解.例3已知，求的值．分析从结论出发x+1xx2解：因为x2-3x+1=0，且x≠0原式=. 说明本题还可以从方程中解出的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．例2、例3是已知一个式子的值，求另一个代数式的值（称为给值求值），解题时要设法凑出已知代数式，以便整体代换以简化计算，这里体现数学中的整体思想.例4已知，求的值．分析1已知条件不知怎么用，可以从结论出发：原式=，显然每个分式的分子可以利用已知条件转化：原式=.接下来就是要用已知条件表示a3a3+b3=(a+b)[(a+b)2-3ab]=-c(解1因为a+b+c=0,所以 原式= ①又a3a3+把②代入①得原式=.分析2解法1是括号内通分，这时分母有两个字母，如果先去括号再通分，分母是一个字母，分子是另外两个字母的和，这样会更简单.解2a(1说明当条件不好直接使用时，可从结论入手分析，一步步寻找结论成立的条件（称为“从需知看已知”），沟通已知与需知，使问题得到解决.这种解题方法称为分析法.本题两种解法都是从结论出发把条件a+b+c=0转化为：a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b，体现整体思想.本题主要是从结论出发同学可以探求并证明：例5已知.分析随着对a3+解1原式=a2解2原式=a=-a练习11．填空：（1）（）；（2）；（3）．2．已知，，求的值．3.计算：（1）（2）4.已知，，求的值．5.已知，求的值.6.已知求的值.7.已知的值.二、根式例6化简下列各式：(1) (2)解：(1)原式= (2)原式=说明：请注意性质的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．例7计算：（1）+；（2）.分析被开方式含有根号要设法配成完全平方，分母含有根号要分母有理化.解（1）＝＝＝＝＝．或＝＝＝＝＝．所以，原式=7-1+3（2）原式=12=(例8试比较下列各组数的大小：（1）和；（2）和.分析比较两个正数a,b的大小常用方法：a>b>0，则a-b>0,反之亦真，或a>b>0，则1第（1）题把两个式子分母看成是1，分子有理化以后，分子相同，只要比较分母大小.第（2）题先对分子有理化，再与前一项比较大小.解（1），，又，所以＜．（2）因为又4＞2eq\r(2)，所以eq\r(6)＋4＞eq\r(6)＋2eq\r(2)，从而＜.注分子有理化是高中常用方法，应于重视.例9设，求的值．分析直接计算显然较繁，可对xy先分母有理化进行化简，再求值.解原式=说明已知代数式中字母的值，求代数式的值通常是先化简后求值，对复杂的代数式求值，可根据结论的结构特点进行适当转化，再代入条件，有时整体代入可简化计算量，如本题求出x+y=14和xy=1整体代入简便易行．例10已知,且,其中,求证:.分析已知条件直接平方显然太繁，所以把左边移一项到右边再平方.证明,,边平方,整理得,,,,,.说明本例的背景源自高中阶段椭圆的第一定义,移项平方是消去根号的基本手段,练习21．填空：（1）＝_________；（2）若，则的取值范围是_______；（3）若，则_______．2．选择题：等式成立的条件是（）（A）（B）（C）（D）3．比较大小：2－eq\r(3)eq\r(5)－eq\r(4)（填“＞”，或“＜”）．4.化简：5.已知，化简：.6.已知，求的值．7.在直角坐标系xOy中，已知动点P(m,n)满足等式m2-n2=a2,B(2a,0)的距离之积等于P到原点O三、分式高中数学常用将一个分式化成一个整式（或一个常数）加上一个分式的形式，根据具体分式的特点，有时用凑分母、有时用换元法、有时用综合除法.例11若，求常数的值．分析等式右边通分合并同类项后的分子与左边分子比较，对应项系数相等，可得方程组，解方程组求出A，B的值.解因为，所以解得．说明这种求A，B的方法称为待定系数法.一个分式化两式常用待定系数法例12把下列分式化成一个整式（或一个常数）加上一个分式的形式：（1）2x+3x-1(2)x分析（1）的分子、分母次数相同，可在分子凑出分母，约分得到常数，（2）页可以凑分母，也可以用换元法，（3）用综合除法.解（1）2x+3x-1(2)解1（换元法）令t=x-1，则x=t+1，那么x2解2（凑分母）x2+2x+3x-1(3)用综合除法（见图）可得：x4说明运用综合除法时，如果被除式缺少某一项，可以把该项看作0，这一点不能高次分式化分式综合除法也可凑注“高次分式”指分子次数高于分母例13求11×2+分析需要把一项拆成两项的差，然后相邻两项相互抵消：1解11×211×2例14已知,,求的值.分析注意到，就会想到把已知条件中的前两个作差，