浙江省杭州地区（含周边）重点中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（含解析）

第1页/共24页3123122023学年第二学期期中杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科试题命题：萧山中学王建国、沈建刚审校：临平中学（余高）盛立忠审核：缙云中学潜艳蕾3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效4.考试结束后，只需上交答题卷.1.在‘ABC中，三个内角A,B,C成等差数列，则sin(A+C)=() 22C.D.1B.A.C.D.1B.222 1434A. 1434A.C.B.D.3.与直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为()A.3x+4y-5=0B.3x+4y+5=0C3x-4y+5=0D.3x-4y-5=0.4.降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位，它可以直观地表示降雨的多少，目前，测定降雨量常用的仪器有雨量筒和量杯.测量时，将雨量筒中的雨水倒在量杯中，根据杯上的刻度就可知道当天的降雨量.某兴趣小组同学为测量降水量，自制了一种圆台形的雨量器（如图）.某次降水，这种容器收集到的雨水高度为150mm，则该次降水的降雨量最接近()第2页/共24页A.60mmB.65mmC.70mmD.75mm5.()8展开式中常数项为()A.28B.28C.7D.76.若函数f(x)=x3一x2+b有两个零点，则()7.将双曲线=1绕原点逆时针旋转45°后，能得到反比例函数y=的图象（其渐近线分别为x轴和 1xy轴所以我们也称反比例函数y=的图象为双曲线. 1xy轴所以我们也称反比例函数y=的图象为双曲线.同样“对勾函数”也能由双曲线的图象绕原点旋转得到，则此“对勾函数”所对应的双曲线的实轴长为()A.4B.4C.2D.28.记由0，1，2，3，4五个数字组成的五位数为a1a2a3a4a5.则满足“对任意i(ieN,1<i<5)，必存在j子i(jeN,1<j<5)，使ai=aj”的五位数的个数为()A.120B.160C.164符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.下列命题是真命题的是()第3页/共24页10.设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，若a1>1，且a2022.a2023>1，)<0，下列结论正确的是()C.数列{Tn}无最大值D.T2022是数列{Tn}中的最大值11.已知抛物线y2=2px(p>0)上有两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，焦点为F，下列选项中是“直线AB经过焦点F”的必要不充分条件的是()------322A.OA.OB=4pB.y1y2=p124FAFBp面ABC的距离为.n2024（1）求线段AC的长；（2）求ΔACD的面积.第4页/共24页16.已知函数f(x)=ex-ax(aeR).（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；（2）若f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围.17.如图，四棱锥A-BCDE中，平面ABC」平面BCDE，‘ABC是边长为2的等边三角形，底面BCDE是矩形，且BE=.（1）若点G是AE的中点，（i）求证：AC//平面BDG；（ii）求直线DG与平面ABC所成角的正弦值；（2）在线段AB上是否存在一点F，使二面角B-CE-F的大小为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由.18.已知抛物线C：y=，点D(x0,y0)为抛物线C外一点（如图过点D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）求证：直线AB的方程为x0x-y-y0=0；（2）若D(x0,y0)在直线y=-上，以E(|（0,为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.第5页/共24页19.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球.设从甲、乙两个口袋中各任取一个球交换放入另一个口袋为一次操作，经过n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn.（1）写出X1的分布列并计算E(X1)；和S100的最大值；（3）定性分析当交换次数趋向于无穷时，E(Xn)趋向的值.2023学年第二学期期中杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科试题命题：萧山中学王建国、沈建刚审校：临平中学（余高）盛立忠审核：缙云中学潜艳蕾3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效4.考试结束后，只需上交答题卷.1.在‘ABC中，三个内角A,B,C成等差数列，则sin(A+C)=()A.B.C.D.1【答案】C【解析】【分析】由条件可知A+C=2B，结合A+B+C=π求得A+C，从而代入得解.【详解】因为A,B,C成等差数列，所以A+C=2B；第6页/共24页又A+B+C=π,所以3B=π,即B=，所以A+C=2B=，所以sin(A+C)=sinπ=.故选：C.2.已知P(B|A)=，P(AB)=，则P(A)等于()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】直接根据条件概率公式计算即可.【详解】因为P(B|A)=，P(AB)=，所以P(B|A)===，即P(A)=，故选：B.3.与直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为()A.3x+4y-5=0B.3x+4y+5=0C.3x-4y+5=0D.3x-4y-5=0【答案】B【解析】【分析】把方程中的y换成-y即可得到所求直线方程.【详解】直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线为：3x-4(-y)+5=0，即3x+4y+5=0.故选：B.4.降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位，它可以直观地表示降雨的多少，目前，测定降雨量常用的仪器有雨量筒和量杯.测量时，将雨量筒中的雨水倒在量杯中，根据杯上的刻度就可知道当天的降雨量.某兴趣小组同学为测量降水量，自制了一种圆台形的雨量器（如图）.某次降水，这种容器收集到的雨水高度为150mm，则该次降水的降雨量最接近()第7页/共24页A.60mmB.65mmC.70mmD.75mm【答案】B【解析】【分析】如图，根据相似三角形的性质求得DF=80mm，由圆台的体积公式求出收集到的雨水量，利用等体积法，结合圆柱的体积公式建立关于h的方程，解之即可求解.【详解】如图，AC,GH分别为上底面、下底面的半径，AG//HB且AG=HB，DF//AC，当DG=EH=150mm时，在‘HBC中，=，即=，解得EF=30mm，所以DF=80mm，所以圆D的面积为S1=802π=6400πmm2，又圆G的面积为S2=502π=2500πmm2，3mm，设此时量杯的刻度为hmm，故选：B5.()8展开式中常数项为()第8页/共24页TT令8A.28B.-28C.7D.-7【答案】C【解析】【分析】利用二项式的展开式的通项即得.【详解】由题意(-)8得展开式通项为：8r84r38-rrr8-rCx8-,故选：C.6.若函数f(x)=x3-x2+b有两个零点，则()【答案】D【解析】【分析】由直线y=b与y=g(x)有两个交点，利用导数求出g(x)的极值，作出图象，数形结合求出即可.【详解】令f(x)=x3-x2+b=0，则b=-x3+x2，令g(x)=-x3+x2，则由题意可得直线y=b与y=g(x)有两个交点， 6所以g(x)极小值为g(x)=0，极大值为g(1 6作出图象：第9页/共24页所以b=0或b=故选：D. 16 1x7.将双曲线-=1绕原点逆时针旋转45°后，能得到反比例函数y= 1x的图象（其渐近线分别为x轴和 1xy轴所以我们也称反比例函数y=的图象为双曲线. 1xy轴所以我们也称反比例函数y=的图象为双曲线.同样“对勾函数”也能由双曲线的图象绕原点旋转得到，则此“对勾函数”所对应的双曲线的实轴长为()A.4B.4C.2D.2【答案】D【解析】【分析】求出旋转后实轴所在直线方程，求出双曲线的两个顶点坐标，再由两点间的距离公式可得解.【详解】旋转后两条渐近线分别为y=x和x=0，夹角为60。，旋转前后两条渐近线的夹角不变，实轴所在直线是两条渐近线所夹角的平分线，所以旋转后，双曲线的实轴所在直线的倾斜角为60。，斜率为，方程为y=x，(|x=|x=6622所以旋转后的双曲线的两个顶点为(,)或(-,-)，故选：D.8.记由0，1，2，3，4五个数字组成的五位数为a1a2a3a4a5.则满足“对任意i(i=N,1<i<5)，必存在=aj”的五位数的个数为()A.120B.160C.164【答案】C【解析】【分析】满足条件的五位数分为两类：一类是只由一个数字组成，另一类是由两个数字组成，其中由两个第10页/共24页数字组成又分为0入选与0不入选，0入选时可以是包含2个0或3个0，结合0不能放在万位求解即可.【详解】由题意知，满足条件的五位数分为两类：一类是只由一个数字组成，另一类是由两个数字组成.①只由一个数字组成，如11111、22222等共4个；②由两个数字组成，可分为0入选与0不入选，0不入选，则从1,2,3,4中选择两个数组成满足条件的五位数，如11122、11133、22211等，共有0入选，则从1,2,3,4中选择一个数组成满足条件的五位数，且0不能放在万位，如11100、22200、11000所以满足条件的五位数共有4+120+40=164故选：C.符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.下列命题是真命题的是()【答案】BC【解析】【分析】由平面向量数量积公式计算可判断A项，设出z1、z2，结合z1.z2=0计算即可判断B项，由平面向量数量积公式可知2=||2计算可判断C项，举-则z1.z2第11页/共24页2但此时z12故选：BC.10.设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，若a1>1，且a2022.a2023>1，)<0，下列结论正确的是()C.数列{Tn}无最大值D.T2022是数列{Tn}中的最大值【答案】ABD【解析】2023项的递减数列，再根据等比数列的性质逐项判断即可.【详解】根据题意，等比数列{an}的公比为q，a2022.a2023>1，所以等比数列{an}的各项均为正数.20232023则必有0<q<1，所以等比数列{an}为正项的递减数列.依次分析选项：对于A，S2024S2023=a2024>2320222023>0，可知T2022是数列{Tn}中的最大值，故C错误，D正第12页/共24页确.故选：ABD.11.已知抛物线y2=2px(p>0)上有两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，焦点为F，下列选项中是“直线AB经过焦点F”的必要不充分条件的是()------3A.OA.OB=4p2B.y1y2------3124FAFBp【答案】ACD【解析】【分析】根据题意设过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线为x=my+，代入抛物线的方程得关于y的方程，利用根与系数的关系以及平面向量的运算法则，判断题目中的命题是否正确即可.【详解】设直线AB的方程为x=my+t，则直线AB交x轴于点T(t,0)，且抛物线的焦点F的坐标为(，0)，则y1=2pm，y1y2=2pt，uuruur+y1y2+y1y22p2即t2pt+4pp23p,2∴“.=p2”是“直线AB经过焦点F”的必要不充分条件；此时直线AB过抛物线的焦点F，∴“y1y2=p2”是“直线AB经过焦点F”的充要条件；)22∴“xx=p2”是“直线AB经过焦点F”的必要不充分条件；第13页/共24页+=+=+2 m(y12 2pm2+2t+p222∴“1+1=2“是“直线AB经过焦点F”的必要不充分条件.【答案】##1.5【解析】【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而求出最大值.【详解】因为f(x)=x2一27lnx，当xE[1,2]时f,(x)<0，所以f(x)在[1,2]上单调递减，又f(1)=，所以f(x)在[1,2]上的最大值为.故答案为：面ABC的距离为.【答案】【解析】【分析】求出平面ABC的法向量后，再计算到平面ABC的法向量的投影即可得.------------------------------------第14页/共24页2则点O到平面2则点O到平面ABC的距离为.3设平面ABC的法向量为m-----mn2024【答案】①.0②.2023【解析】nn ,21212an1a1=，以上n1个式子相加可得：故答案为：0；2023.第15页/共24页（1）求线段AC的长；（2）求‘ACD的面积.【解析】【分析】（1）由同角三角函数的平方关系和二倍角的余弦公式可得cos经ABC=-，再由余弦定理可求出线段AC的长；（2）由二倍角的余弦公式可得cos经BCD=，再由同角三角函数的平方关系和面积公式求解即可.【小问1详解】 3 ,32cos22-1由余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2AC.BCcos经ABC第16页/共24页【小问2详解】因为AC为经BCD的平分线，在直角ΔBCD中，得cos经DCB1，3所以S‘ACD=CD.ACsin经ACD=x4x18x=36.（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；（2）若f(x)之0恒成立，求实数a的取值范围.【解析】【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；（2）要使f(x)之0恒成立，则需f(x)min之0成立，借助导数，分a<0、a=0、a>0讨论，得其单调性即可得解.【小问1详解】【小问2详解】第17页/共24页则f(x)在(一伪,lna17.如图，四棱锥ABCDE中，平面ABC」平面BCDE，‘ABC是边长为2的等边三角形，底面BCDE是矩形，且BE=.（1）若点G是AE的中点，（i）求证：AC//平面BDG；（ii）求直线DG与平面ABC所成角的正弦值；（2）在线段AB上是否存在一点F，使二面角B一CE一F的大小为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）(ⅰ)证明见解析；(ⅱ)【解析】【小问1详解】第18页/共24页(ⅰ)设矩形BCDE的中心为P，则P是CE的中点，而G是AE的中点，所以ACGP.而P是矩形BCDE的中心，故P也是BD的中点，所以GP在平面BDG内，又因为AC不在平面BDG内，所以AC//平面BDG；（ii）由于平面ABC」平面BCDE，平面ABC和平面BCDE的交线为BC，DC」BC，DC在平面BCDE内，故DC」平面ABC.所以直线DG与平面ABC所成角的正弦值等于cos经CDG.下面证明一个结论：在UVW中，若VW,WU,UV的长分别为u,v,w，则边UV上的中线长为222d22d.2d.2v所以d2+w22v2u+d22u2w2222u+vw.回到原题.由于BE,CD」平面ABC，而AB,AC在平面ABC内，故BE」AB，CD」AC.而CE===，故根据之前证明的结论，我们有+2AC2AE2CE22 42 2第19页/共24页CD2+DG2CG2CD2CD2CD.DG2CD.DG2DG147所成角的正弦值等于.【小问2详解】在平面ABC内过F作FM」BC，交BC于M，在平面BCDE内过M作MN」CE，交CE于N.由于平面ABC」平面BCDE，平面ABC和平面BCDE的交线为BC，FM」BC，FM在平面ABC内，故FM平面BCDE.而CE在平面BCDE内，故FM」CE.又因为MN」CE，FM,MN在平面FMN内交于F，故CE」平面FMN.由CE」平面FMN，FN在平面FMN内，知CE」FN.综上，存在满足条件的点F，=.18.已知抛物线C：y=，点D(x0,y0)为抛物线C外一点（如图过点D作C的两条切线，切点分别为A，B.第20页/共24页（1）求证：直线AB的方程为x0x-y-y0=0；（2）若D(x0,y0)在直线y=-上，以E(|（0,为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.【答案】（1）证明见解析2【解析】【分析】（1）先利用导数几何意义分别求出在A，B两点处的切线方程，再分别代入点D(x0,y0)即可发现A，B两点都在直线y0+y=x0x上，进而得到直线AB的方程.（2）由（1）得直线AB的方程，与抛物线联立，求出线段AB的中点为M，再根据圆的性质所得」建立方程进行研究即可.【小问1详解】所以在A(x1,y1)处的切线方程为y+y1=x1x，同理在B(x2,y2)处的切线方程为y+y2=x2x，两条切线都过D(x0,y0)，所以y0+y1=x1x0，y0+y2=x2x0，显然A，B两点都在直线y0+y=x0x上，所以直线AB的方程为x0x-y-y0=0.【小问2详解】第21页/共24页 2若D(x0,y0)在直线y=-上，则直线AB的方程为x0x-y 2 12(1) 12(1)|x222----219.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球.设从甲、乙两个口袋中各任取一个球交换放入另一个口袋为一次操作，经过n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn.（1）写出X1的分布列并计算E(X1)；和S100的最大值；（3）定性分析当交换次数趋向于无穷时，E(Xn)趋向的值.（2）50（3），理由见解析【解析】【分析】（1）第一问就是用相互独立事件同时发生的乘法公式就可求得X1的分布列，然后利用期望公式即可计算出结果；第22页/共24页所以要想数列{an}的前100项和最大，则尽最大可能让甲口袋中黑球个数为0，从而得到问题的解法及结（3）第三问关键是找到第n+1次交换球后的概率与第n次交换球后的概率关系，有了第n+1次交换球后的概率分布，就可以计算第n+1次甲口袋中黑球期望与第n次的期望关系E(Xn+1)=1+E(Xn)，从而构造成等比数列求出E(Xn)，再用极限思想就可以