2024年中考数学专项复习第11章专题一元一次不等式（组）专题11.1 不等式及不等式的基本性质【十大题型】（举一反三）（苏科版）含解析

2024年中考数学专项复习第11章专题一元一次不等式（组）专题11.1不等式及不等式的基本性质【十大题型】（举一反三）（苏科版）含解析专题11.1不等式及不等式的基本性质【十大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1不等式的概念及意义】 1【题型2取值是否满足不等式】 2【题型3根据实际问题列出不等式】 2【题型4在数轴上表示不等式】 2【题型5利用不等式的性质判断正误】 3【题型6利用不等式性质比较大小】 4【题型8利用不等式性质证明（不）等式】 5【题型9利用不等式性质求取值范围或最值】 6【题型10不等关系的简单应用】 6【知识点1认识不等式】定义：用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”连接而成的式子，叫做不等式。用符号这些用来连接的符号统称不等式.【题型1不等式的概念及意义】【例1】（2022春•郏县期中）在数学表达式：①﹣3＜0；②4x+3y＞0；③x＝3；④x2+xy+y2；⑤x≠5；⑥x+2＞y+3中，不等式有（）A．1个 B．3个 C．4个 D．5个【变式1-1】（2022春•苍溪县期末）下列式子是不等式的是（）A．x+4y＝3 B．x C．x+y D．x﹣3＞0【变式1-2】（2022春•平泉市期末）某种牛奶包装盒上表明“净重205g，蛋白质含量≥3%”．则这种牛奶蛋白质的质量是（）A．3%以上 B．6.15g C．6.15g及以上 D．不足6.15g【变式1-3】（2022春•曲阳县期末）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是．【题型2取值是否满足不等式】【例2】（2022春•卧龙区期中）下列数值﹣2、﹣1.5、﹣1、0、1、1.5、2中能使1﹣2x＞0成立的个数有个．【变式2-1】（2022春•泸县期末）x＝3是下列哪个不等式的解（）A．x+2＜4 B．13x＞3 C．2x﹣1＜3 D．3x【变式2-2】（2022春•雁塔区校级期中）下列x的值中，是不等式x＞2的解的是（）A．﹣2 B．0 C．2 D．3【变式2-3】（2022春•夏津县期中）请写出满足下列条件的一个不等式．（1）0是这个不等式的一个解：；（2）﹣2，﹣1，0，1都是不等式的解：；（3）0不是这个不等式的解：.【题型3根据实际问题列出不等式】【例3】（2022春•川汇区期末）小丽和小华先后进入电梯，当小华进入电梯时，电梯因超重而警示音响起，且这个过程中没有其他人进出，已知当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，且小丽、小华的体重分别为40公斤，50公斤，若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，则所有满足题意的x可用下列不等式表示的是（）A．210＜x≤260 B．210＜x≤300 C．210＜x≤250 D．250＜x≤260【变式3-1】（2022•南京模拟）据深圳气象台“天气预报”报道，今天深圳的最低气温是25℃，最高气温是32℃，则今天气温t（℃）的取值范围是（）A．t＜32 B．t＞25 C．t＝25 D．25≤t≤32【变式3-2】（2022春•玉田县期末）用不等式表示“a是负数”应表示为．【变式3-3】（2022秋•婺城区校级期末）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量设为x，则x的取值范围是．【题型4在数轴上表示不等式】【例4】（2022•嘉善县模拟）数轴上所表示的关于x的不等式组的解集为．【变式4-1】（2022春•永丰县期中）不等式x≥a的解集在数轴上表示如图所示，则a＝．【变式4-2】（2022秋•衢州期中）在数轴上表示下列不等式（1）x＜﹣1（2）﹣2＜x≤3．【变式4-3】（2022•防城港模拟）在数轴上表示﹣2≤x＜1正确的是（）A． B． C． D．【知识点2不等式的基本性质】性质1：若a＜b，b＜c，则a＜c.这个性质叫做不等式的传递性.性质2：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。若a＞b，则a±c＞b±c.性质3：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。若a＞b，c＞0，则ac＞bc，ac＞若a＞b，c＜0，则ac＜bc，ac＜【题型5利用不等式的性质判断正误】【例5】（2022春•雁塔区校级期中）如果有理数a＜b，那么下列各式中，不一定成立的是（）A．3﹣a＞3﹣b B．a2＜ab C．2a＜2b D．−【变式5-1】（2022•禅城区校级三模）下列结论中，正确的是（）A．若a＞b，c≠0，则ac＞bc B．若ab＜0，则a＞0，b＜0 C．若a＞0，b＜0，则ab＜0 D．若ab＞1，则a【变式5-2】（2022春•大埔县期末）下列结论正确的有（填序号）．①如果a＞b，c＜d，那么a﹣c＞b﹣d；②如果a＞b，那么ab＞1；③如果a＞b，那么1a＜1b；④如果【变式5-3】（2022春•天津期末）判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．（1）若b﹣3a＜0，则b＜3a；（2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4；（3）若a＞b，则ac2＞bc2；（4）若ac2＞bc2，则a＞b；（5）若a＞b，则a（c2+1）＞b（c2+1）（6）若a＞b＞0，则1a＜1b．【题型6利用不等式性质比较大小】【例6】（2022春•闵行区期中）如果7x＜4时，那么7x﹣31．（填“＞”，“＝”，或“＜”）．【变式6-1】（2022春•辉县市期中）若a＜b，用“＞”或“＜”填空（1）a﹣4b﹣4（2）a5（3）﹣2a﹣2b．【变式6-2】（2022春•饶平县校级期末）要比较两个数a、b的大小，有时可以通过比较a﹣b与0的大小来解决：（1）如果a﹣b＞0，则a＞b；（2）如果a﹣b＝0，则a＝b；（3）如果a﹣b＜0，则a＜b．若x＝2a2+3b，y＝a2+3b﹣1，试比较x、y的大小．【变式6-3】（2022春•濉溪县期中）如果a＞b，那么a（a﹣b）b（a﹣b）（填“＞”或“＜”）【题型7利用不等式性质化简不等式】【例7】（2022秋•余杭区期中）利用不等式的性质解不等式：﹣5x+5＜﹣10．【变式7-1】（2022秋•郴州校级月考）把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．（1）2x+5＞3；（2）﹣6（x﹣1）＜0．【变式7-2】（2022秋•余杭区期中）试依据不等式的基本性质，把下列不等式化为x＞a或x＜a的形式（a为常数）．（1）13x＞−23x﹣2（2）12x【变式7-3】（2022秋•湖州期中）根据不等式的性质把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．（1）x+7＞9（2）6x＜5x﹣3（3）15【题型8利用不等式性质证明（不）等式】【例8】（2022春•西城区校级期中）阅读下列材料，解决问题：【问题背景】小明在学习完不等式的性质之后，思考：“如何利用不等式的性质1和2证明不等式的性质3呢？”在老师的启发下，小明首先把问题转化为以下的形式：①已知：a＞b，c＜0．求证：ac＜bc．②已知：a＞b，c＜0．求证：ac【问题探究】（1）针对①小明给出如下推理过程，请认真阅读，并填写依据：∵c＜0，即c是一个负数∴c的相反数是正数，即﹣c＞0∵a＞b∴a•（﹣c）＞b•（﹣c）（依据：）即﹣ac＞﹣bc不等式的两端同时加（ac+bc）可得：﹣ac+（ac+bc）＞﹣bc+（ac+bc）（依据：）合并同类项可得：bc＞ac即：ac＜bc得证．（2）参考（1）的结论或证明方法，完成②的证明．【变式8-1】（2022春•武侯区期末）求证：如果a＞b，e＞f，c＞0，那么f﹣ac＜e﹣bc．【变式8-2】（2022春•江西期末）已知：b＜c，1＜a＜b+c＜a+1，求证：b＜a．【变式8-3】（2022春•夏津县期中）已知实数a，b，c满足：a+b+c＝0，c＞0，3a+2b+c＞0．求证：（1）a＞c；（2）﹣2＜b【题型9利用不等式性质求取值范围或最值】【例9】（2022春•龙凤区期中）已知实数x，y，z满足x+y＝3，x﹣z＝6．若x≥﹣2y，则x+y+z的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【变式9-1】（2022春•郫都区校级期中）若x＜y，且（6﹣a）x＞（6﹣a）y，则a的取值范围是．【变式9-2】（2022•天门校级自主招生）已知正数a、b、c满足a2+c2＝16，b2+c2＝25，则k＝a2+b2的取值范围为．【变式9-3】（2022春•朝阳区校级期中）已知a，b，c为整数，且a+b＝2006，c﹣a＝2005，若a＜b，求a+b+c的最大值．【题型10不等关系的简单应用】【例10】（2022春•饶平县校级期末）有一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b哪个大？【变式10-1】（2022春•巩义市期末）如图所示，A，B，C，D四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为（）A．D＜B＜A＜C B．B＜D＜C＜A C．B＜A＜D＜C D．B＜C＜D＜A【变式10-2】（2022春•兰山区期末）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b．反之也成立．这种方法就是求差法比较大小．请运用这种方法解决下面这个问题：制作某产品有两种用料方案，方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板．每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小．方案一总面积记为S1，方案二总面积记为S2，则S1S2（填“＞，＜或＝”）．【变式10-3】（2022•苏州自主招生）5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（）A．a+b2＞c+d2 B．c+d2＞a+b2 C．c+d2=a+b2【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1不等式的概念及意义】 1【题型2取值是否满足不等式】 3【题型3根据实际问题列出不等式】 4【题型4在数轴上表示不等式】 6【题型5利用不等式的性质判断正误】 8【题型6利用不等式性质比较大小】 10【题型8利用不等式性质证明（不）等式】 14【题型9利用不等式性质求取值范围或最值】 17【题型10不等关系的简单应用】 19【知识点1认识不等式】定义：用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”连接而成的式子，叫做不等式。用符号这些用来连接的符号统称不等式.【题型1不等式的概念及意义】【例1】（2022春•郏县期中）在数学表达式：①﹣3＜0；②4x+3y＞0；③x＝3；④x2+xy+y2；⑤x≠5；⑥x+2＞y+3中，不等式有（）A．1个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】主要依据不等式的定义──用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来解答．【详解】解：因为除③x＝3；④x2+xy+y2；之外，式子①﹣3＜0；②4x+3y＞0；⑤x≠5；⑥x+2＞y+3中都含不等号，都是不等式，共4个．故选：C．【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞,＜,≤,≥,≠．【变式1-1】（2022春•苍溪县期末）下列式子是不等式的是（）A．x+4y＝3 B．x C．x+y D．x﹣3＞0【分析】根据不等式的定义逐个判断即可．【详解】解：A、x+4y＝3是等式，不是不等式，故此选项不符合题意；B、x，没有不等号，不是不等式，故此选项不符合题意；C、x+y，没有不等号，不是不等式，故此选项不符合题意；D、x﹣3＞0是不等式，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了不等式的定义，注意：用不等号表示不等关系的式子，叫不等式，不等号有：＞，＜，≤，≥，≠等．【变式1-2】（2022春•平泉市期末）某种牛奶包装盒上表明“净重205g，蛋白质含量≥3%”．则这种牛奶蛋白质的质量是（）A．3%以上 B．6.15g C．6.15g及以上 D．不足6.15g【分析】根据蛋白质含量大于或等于3%判断即可．【详解】解：∵205×3%＝6.15（g），蛋白质含量≥3%，∴这种牛奶蛋白质的质量是6.15g及以上，故选：C．【点睛】本题考查了不等式的定义，掌握≥表示大于或等于是解题的关键．【变式1-3】（2022春•曲阳县期末）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是租用x辆45座的客车和y辆30座的客车总的载客量不少于500人．【分析】主要依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．【详解】解：不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是租用x辆45座的客车和y辆30座的客车总的载客量不少于500人．故答案为：租用x辆45座的客车和y辆30座的客车总的载客量不少于500人．【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞、＜、≤、≥、≠．【题型2取值是否满足不等式】【例2】（2022春•卧龙区期中）下列数值﹣2、﹣1.5、﹣1、0、1、1.5、2中能使1﹣2x＞0成立的个数有4个．【分析】解得不等式后根据x的取值范围确定个数即可．【详解】解：解1﹣2x＞0，解得：x＜1满足x＜1故答案为：4．【点睛】本题考查了不等式的解集的知识，解答时也可以将x的值代入看能否满足不等式，满足可以，否则不可以．【变式2-1】（2022春•泸县期末）x＝3是下列哪个不等式的解（）A．x+2＜4 B．13x＞3 C．2x﹣1＜3 D．3x【分析】根据解不等式的方法，可得不等式的解集，根据不等式的解集，可得答案．【详解】解：A、x＜2，故A不是不等式的解；B、x＞9，故B不是不等式的解；C、x＜2，故C不是不等式的解；D、x＞83，故故选：D．【点睛】本题考查了不等式的解集，先解不等式，再选出答案．【变式2-2】（2022春•雁塔区校级期中）下列x的值中，是不等式x＞2的解的是（）A．﹣2 B．0 C．2 D．3【分析】根据不等式解集的定义即可得出结论．【详解】解：∵不等式x＞2的解集是所有大于2的数，∴3是不等式的解．故选：D．【点睛】本题考查的是不等式的解集，熟知使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解是解答此题的关键．【变式2-3】（2022春•夏津县期中）请写出满足下列条件的一个不等式．（1）0是这个不等式的一个解：x＜1；（2）﹣2，﹣1，0，1都是不等式的解：x＜2；（3）0不是这个不等式的解：x＜0．【分析】根据不等式的解集，即可解答．【详解】解：（1）x＜1，（答案不唯一）（2）x＜2，（答案不唯一）（3）x＜0，（答案不唯一）故答案为：（1）x＜1，（2）x＜2，（3）x＜0．【点睛】本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是熟记不等式的解集．【题型3根据实际问题列出不等式】【例3】（2022春•川汇区期末）小丽和小华先后进入电梯，当小华进入电梯时，电梯因超重而警示音响起，且这个过程中没有其他人进出，已知当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，且小丽、小华的体重分别为40公斤，50公斤，若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，则所有满足题意的x可用下列不等式表示的是（）A．210＜x≤260 B．210＜x≤300 C．210＜x≤250 D．250＜x≤260【分析】由题意可得，小丽的重量为40公斤，且进入电梯后，警示音没有响起，小华的重量为50公斤．且进入电梯后，警示音响起，分别列出不等式即可求解．【详解】解：由题意可知：当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，由图可知：小丽的重量为40公斤，且进入电梯后，警示音没有响起，所以此时电梯乘载的重量x+40≤300，解得x≤260，因为小华的重量为50公斤．且进入电梯后，警示音响起，所以此时电梯乘载的重量x+40+50＞300，解得x＞210，因此210＜x≤260．故选：A．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是根据题意找到不等关系．【变式3-1】（2022•南京模拟）据深圳气象台“天气预报”报道，今天深圳的最低气温是25℃，最高气温是32℃，则今天气温t（℃）的取值范围是（）A．t＜32 B．t＞25 C．t＝25 D．25≤t≤32【分析】根据今天的最低气温是25℃可得：t≥25，根据最高气温是32℃可得：t≤32，再找出t的公共解集即可．【详解】解：根据今天的最低气温是25℃可得：t≥25，根据最高气温是32℃可得：t≤32，则气温范围是：25≤t≤32，故选：D．【点睛】此题主要考查了由实际问题列不等式，关键是抓住关键词“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目．【变式3-2】（2022春•玉田县期末）用不等式表示“a是负数”应表示为a＜0．【分析】根据题意可得，负数小于0，由此列出不等式即可．【详解】解：根据题意，得a＜0．故答案为：a＜0．【点睛】本题考查列不等式，所考查的知识点是：负数小于0．【变式3-3】（2022秋•婺城区校级期末）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量设为x，则x的取值范围是7.5≤x≤40．【分析】若每天服用3次，则所需剂量为10﹣40mg之间，若每天服用4次，则所需剂量为7.5﹣30mg之间，所以，一次服用这种药的剂量为7.5﹣40mg之间．【详解】解：若每天服用3次，则所需剂量为10﹣40mg之间，若每天服用4次，则所需剂量为7.5﹣30mg之间，所以，一次服用这种药的剂量为7.5﹣40mg之间，所以7.5≤x≤40．故答案为：7.5≤x≤40．【点睛】本题考查了不等式的意义、有理数的除法运算．解题的关键是理解题意的能力，首先明白每天要服用的药量，然后根据分几次服用，可求出最小药量和最大药量．【题型4在数轴上表示不等式】【例4】（2022•嘉善县模拟）数轴上所表示的关于x的不等式组的解集为﹣1≤x＜2．【分析】数轴的某一段上面，表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，＞向右＜向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集．【详解】解：由图示可看出，从﹣1出发向右画出的折线且表示﹣1的点是实心圆，表示x≥﹣1；从2出发向左画出的折线且表示2的点是空心圆，表示x＜2，不等式组的解集是指它们的公共部分．所以这个不等式组的解集是：﹣1≤x＜2．故答案为：﹣1≤x＜2．【点睛】此题主要考查不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．【变式4-1】（2022春•永丰县期中）不等式x≥a的解集在数轴上表示如图所示，则a＝2．【分析】根据数轴上表示的解集确定出a的值即可．【详解】解：根据数轴上的解集得：a＝2，故答案为：2【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．【变式4-2】（2022秋•衢州期中）在数轴上表示下列不等式（1）x＜﹣1（2）﹣2＜x≤3．【分析】（1）根据不等式的解集在数轴上表示方法可画出图示．（2）根据不等式的解集在数轴上表示方法可画出图示．【详解】解：（1）将x＜﹣1表示在数轴上如下：（2）将不等式组﹣2＜x≤3表示在数轴上如下：【点睛】本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．【变式4-3】（2022•防城港模拟）在数轴上表示﹣2≤x＜1正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据﹣2是实心点，方向向右，1是空心点，方向向左画出图形即可得到答案．【详解】解：﹣2是实心点，方向向右，1是空心点，方向向左，如图所示：故选：D．【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，掌握“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”是解题的关键．【知识点2不等式的基本性质】性质1：若a＜b，b＜c，则a＜c.这个性质叫做不等式的传递性.性质2：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。若a＞b，则a±c＞b±c.性质3：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。若a＞b，c＞0，则ac＞bc，ac＞若a＞b，c＜0，则ac＜bc，ac＜【题型5利用不等式的性质判断正误】【例5】（2022春•雁塔区校级期中）如果有理数a＜b，那么下列各式中，不一定成立的是（）A．3﹣a＞3﹣b B．a2＜ab C．2a＜2b D．−【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可．【详解】解：∵a＜b，∴﹣a＞﹣b，∴3﹣a＞3﹣b，∴选项A不符合题意；∵a＜b，∴a2＜ab（a＞0），a2＞ab（a＜0），或a2＝ab（a＝0），∴选项B符合题意；∵a＜b，∴2a＜2b，∴选项C不符合题意；∵a＜b，∴−a∴选项D不符合题意．故选：B．【点睛】此题主要考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．【变式5-1】（2022•禅城区校级三模）下列结论中，正确的是（）A．若a＞b，c≠0，则ac＞bc B．若ab＜0，则a＞0，b＜0 C．若a＞0，b＜0，则ab＜0 D．若ab＞1，则a【分析】根据不等式的基本性质判断A，D选项；根据有理数的乘法法则判断B，C选项．【详解】解：A选项，当c＜0时不成立，故该选项不符合题意；B选项，也可能是a＜0，b＞0，故该选项不符合题意；C选项，若a＞0，b＜0，则ab＜0，故该选项符合题意；D选项，当b＜0时不成立，故该选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．【变式5-2】（2022春•大埔县期末）下列结论正确的有①④（填序号）．①如果a＞b，c＜d，那么a﹣c＞b﹣d；②如果a＞b，那么ab＞1；③如果a＞b，那么1a＜1b；④如果【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．可得答案．【详解】解：①∵c＜d，∴﹣c＞﹣d，∵a＞b，∴a﹣c＞b﹣d，故①正确．②当b＜0时，ab故②错．③若a＝2，b＝﹣1，满足a＞b，但1a故③错．④∵ac∴c2＞0，∴a＜b，故④正确．故答案为：①④．【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质．注意：在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．【变式5-3】（2022春•天津期末）判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．（1）若b﹣3a＜0，则b＜3a；√（2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4；×（3）若a＞b，则ac2＞bc2；×（4）若ac2＞bc2，则a＞b；√（5）若a＞b，则a（c2+1）＞b（c2+1）．√（6）若a＞b＞0，则1a＜1【分析】利用不等式的性质逐个判断即可．【详解】解：（1）若由b﹣3a＜0，移项即可得到b＜3a，故正确；（2）如果﹣5x＞20，两边同除以﹣5不等号方向改变，故错误；（3）若a＞b，当c＝0时则ac2＞bc2错误，故错误；（4）由ac2＞bc2得c2＞0，故正确；（5）若a＞b，根据c2+1，则a（c2+1）＞b（c2+1）正确．（6）若a＞b＞0，如a＝2，b＝1，则1a故答案为：√、×、×、√、√、√．【点睛】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变．【题型6利用不等式性质比较大小】【例6】（2022春•闵行区期中）如果7x＜4时，那么7x﹣3＜1．（填“＞”，“＝”，或“＜”）．【分析】直接根据不等式的基本性质即可得出结论．【详解】解：∵7x＜4，∴7x﹣3＜4﹣3，即7x﹣3＜1．故答案为：＜．【点睛】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变是解答此题的关键．【变式6-1】（2022春•辉县市期中）若a＜b，用“＞”或“＜”填空（1）a﹣4＜b﹣4（2）a5＜（3）﹣2a＞﹣2b．【分析】（1）根据不等式的基本性质，两边同时﹣4，不等号的方向不变即可解答：（2）根据不等式的基本性质，两边同时除以5，不等号的方向不变解答即可：（3）根据不等式的基本性质，两边同时乘以﹣2，不等号的方向改变即可解答．【详解】解：（1）根据不等式的基本性质1可得：a﹣4＜b﹣4；（2）根据不等式的基本性质2可得：a5（3）根据不等式的基本性质3可得：﹣2a＞﹣2b，故答案为＜，＜，＞．【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【变式6-2】（2022春•饶平县校级期末）要比较两个数a、b的大小，有时可以通过比较a﹣b与0的大小来解决：（1）如果a﹣b＞0，则a＞b；（2）如果a﹣b＝0，则a＝b；（3）如果a﹣b＜0，则a＜b．若x＝2a2+3b，y＝a2+3b﹣1，试比较x、y的大小．【分析】利用作差法可比较x、y的大小．【详解】解：由于x﹣y＝2a2+3b﹣（a2+3b﹣1）＝a2+1＞0，即x﹣y＞0．所以x＞y．【点睛】本题考查了不等式的性质．（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【变式6-3】（2022春•濉溪县期中）如果a＞b，那么a（a﹣b）＞b（a﹣b）（填“＞”或“＜”）【分析】根据不等式的性质进行解答．【详解】解：∵a＞b，∴a﹣b＞0，∴a（a﹣b）＞b（a﹣b）．故答案是：＞．【点睛】此题考查了不等式的性质，掌握不等式的基本性质是本题的关键，不等式的基本性质是：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【题型7利用不等式性质化简不等式】【例7】（2022秋•余杭区期中）利用不等式的性质解不等式：﹣5x+5＜﹣10．【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时减去5，不等号的方向不变．利用不等式的基本性质，将两边不等式同时除以﹣5，不等号的方向改变．【详解】解：根据不等式的性质1，在不等式的两边同时减去5，得﹣5x＜﹣15，根据不等式的性质3，在不等式﹣5x＜﹣15的两边同时除以﹣5，得x＞3．【点睛】本题考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．【变式7-1】（2022秋•郴州校级月考）把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．（1）2x+5＞3；（2）﹣6（x﹣1）＜0．【分析】（1）根据移项、合并同类项，系数化为1，可得答案；（2）根据去括号、移项、系数化为1，可得答案．【详解】解：（1）移项，得2x＞3﹣5，合并同类项，得2x＞﹣2，系数化为1，得x＞﹣1；（2）去括号，得，﹣6x+6＜0，移项，得﹣6x＜﹣6，系数化为1，得x＞1．【点睛】本题考查了不等式的性质，利用了解不等式的一般步骤，不等式的两边都除以同一负数，不等号的方向改变．【变式7-2】（2022秋•余杭区期中）试依据不等式的基本性质，把下列不等式化为x＞a或x＜a的形式（a为常数）．（1）13x＞−23x﹣2（2）12x【分析】根据不等式的基本性质不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变作答．【详解】解：（1）利用不等式的基本性质1，在不等式的两边都加上23x，得13x+23x＞−即x＞﹣2；（2）根据不等式的基本性质2，在不等式的两边都乘以2，得12x×2≤12即x≤6﹣x，①再由不等式的基本性质1，在不等式①的两边同时加上同一个整式x，得2x≤6，②最后利用不等式的性质2，在不等式的两边同时除以2，得x≤3．【点睛】主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【变式7-3】（2022秋•湖州期中）根据不等式的性质把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．（1）x+7＞9（2）6x＜5x﹣3（3）15【分析】根据不等式的基本性质对各不等式进行逐一分析解答即可．【详解】解：（1）根据不等式性质1，不等式两边都减7，不等号的方向不变，得x+7﹣7＞9﹣7，即x＞2；（2）根据不等式性质1，不等式两边都减去5x，不等号的方向不变，得6x﹣5x＜5x﹣5x﹣3，即x＜﹣3；（3）根据不等式性质2，不等式两边同乘以5，不等号的方向不变，得x＜2；【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，需熟练掌握．（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【题型8利用不等式性质证明（不）等式】【例8】（2022春•西城区校级期中）阅读下列材料，解决问题：【问题背景】小明在学习完不等式的性质之后，思考：“如何利用不等式的性质1和2证明不等式的性质3呢？”在老师的启发下，小明首先把问题转化为以下的形式：①已知：a＞b，c＜0．求证：ac＜bc．②已知：a＞b，c＜0．求证：ac【问题探究】（1）针对①小明给出如下推理过程，请认真阅读，并填写依据：∵c＜0，即c是一个负数∴c的相反数是正数，即﹣c＞0∵a＞b∴a•（﹣c）＞b•（﹣c）（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变）即﹣ac＞﹣bc不等式的两端同时加（ac+bc）可得：﹣ac+（ac+bc）＞﹣bc+（ac+bc）（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号不变）合并同类项可得：bc＞ac即：ac＜bc得证．（2）参考（1）的结论或证明方法，完成②的证明．【分析】（1）根据不等式的基本性质进行分析即可；（2）仿照（1）的方法进行求解即可．【详解】解：（1）∵c＜0，即c是一个负数∴c的相反数是正数，即﹣c＞0∵a＞b∴a•（﹣c）＞b•（﹣c）（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变），即﹣ac＞﹣bc，不等式的两端同时加（ac+bc）可得：﹣ac+（ac+bc）＞﹣bc+（ac+bc）（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号不变），合并同类项可得：bc＞ac，即：ac＜bc，得证．故答案为：不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变；不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号不变；（2）∵c＜0，即c是一个负数∴c的相反数是正数，即﹣c＞0∵a＞b∴a−c即−a不等式的两端同时乘以﹣1可得：−ac×即：ac【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，解答的关键是熟记不等式的基本性质．【变式8-1】（2022春•武侯区期末）求证：如果a＞b，e＞f，c＞0，那么f﹣ac＜e﹣bc．【分析】根据不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，不等式的两边都加同一个数，不等号的方向不变，可得答案．【详解】证明：∵a＞b，c＞0，∴﹣ac＜﹣bc．f﹣ac＜f﹣bc．∵e＞f，∴e﹣bc＞f﹣bc．∴f﹣ac＜e﹣bc．【点睛】本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．【变式8-2】（2022春•江西期末）已知：b＜c，1＜a＜b+c＜a+1，求证：b＜a．【分析】根据不等式的性质得出2b＜a+1，1+a＜2a，根据不等式的传递性从而得出结论．【详解】证明：因为b＜c，所以2b＜b+c，由b+c＜a+1，得2b＜a+1，由1＜a，得1+a＜2a，所以2b＜1+a＜2a，∴b＜a成立．【点睛】本题考查了不等式的性质，要学会充分利用不等式的基本性质，按照一定的逻辑顺序来展开推理论证．【变式8-3】（2022春•夏津县期中）已知实数a，b，c满足：a+b+c＝0，c＞0，3a+2b+c＞0．求证：（1）a＞c；（2）﹣2＜b【分析】（1）根据等式的性质可得3a+2b+c＝（a+b+c）2a+b＝2a+b＞0，由a+b+c＝0可得b＝﹣a﹣c，再代入2a+b＞0解答即可；（2）由b＝﹣a﹣c，c＞0，由不等式的性质可得b＜﹣a，再根据2a+b＞0可得﹣2a＜b，所以﹣2a＜b＜﹣a，再由a＞0，结合不等式的性质解答即可．【详解】证明：（1）∵a+b+c＝0，3a+2b+c＞0，∴3a+2b+c＝（a+b+c）+2a+b＝2a+b＞0，又∵b＝﹣a﹣c，∴2a﹣a﹣c＞0，即a﹣c＞0，∴a＞c；（2）∵b＝﹣a﹣c，c＞0，∴b＜﹣a，又∵2a+b＞0，∴﹣2a＜b，∴﹣2a＜b＜﹣a，又∵a＞c＞0，∴﹣2＜b【点睛】本题主要考查不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【题型9利用不等式性质求取值范围或最值】【例9】（2022春•龙凤区期中）已知实数x，y，z满足x+y＝3，x﹣z＝6．若x≥﹣2y，则x+y+z的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】设x+y+z＝t，用x表示z得到z＝x﹣6，则t＝3+x﹣6＝x﹣3，所以x＝t+3，再利用x≥﹣2y，y＝3﹣x得到x≥﹣2（3﹣x），解不等式得到x≤6，所以t+3≤6，然后解不等式得到t的最大值即可．【详解】解：设x+y+z＝t，∵x﹣z＝6，∴z＝x﹣6，∵x+y＝3，∴y＝3﹣x，t＝3+x﹣6＝x﹣3，∴x＝t+3，∵x≥﹣2y，即x≥﹣2（3﹣x），∴x≤6，∴t+3≤6，解得t≤3，∴x+y+z的最大值为3．故选：A．【点睛】本题考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．也考查了等式的性质．【变式9-1】（2022春•郫都区校级期中）若x＜y，且（6﹣a）x＞（6﹣a）y，则a的取值范围是a＞6．【分析】根据不等式的基本性质，发现不等式的两边都乘（6﹣a）后，不等号的方向改变了，说明（6﹣a）是负数，从而得出答案．【详解】解：根据题意得：6﹣a＜0，∴a＞6，故答案为：a＞6．【点睛】本题考查了不等式的基本性质，掌握①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或代数式，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．【变式9-2】（2022•天门校级自主招生）已知正数a、b、c满足a2+c2＝16，b2+c2＝25，则k＝a2+b2的取值范围为9＜k＜41．【分析】根据已知条件先将原式化成a2+b2的形式，最后根据化简结果即可求得k的取值范围．【详解】解：∵正数a、b、c满足a2+c2＝16，b2+c2＝25，∴c2＝16﹣a2，a2＞0所以0＜c2＜16同理：有c2＝25﹣b2得到0＜c2＜25，所以0＜c2＜16两式相加：a2+b2+2c2＝41即a2+b2＝41﹣2c2又∵﹣16＜﹣c2＜0即﹣32＜﹣2c2＜0∴9＜41﹣2c2＜41即9＜k＜41．【点睛】解答此题的关键是熟知不等式的基本性质：基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个数或式子，不等号方向不变；基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的数或式子，不等号方向不变；基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的数或式子，不等号方向改变【变式9-3】（2022春•朝阳区校级期中）已知a，b，c为整数，且a+b＝2006，c﹣a＝2005，若a＜b，求a+b+c的最大值．【分析】由c﹣a＝2005得c＝a+2005，与a+b＝2006相加得a+b+c＝a+4011，由a+b＝2006及a＜b，a为整数，可得a的最大值为1002，从而得出a+b+c的最大值．【详解】解：由a+b＝2006，c﹣a＝2005，得a+b+c＝a+4011，∵a+b＝2006，a＜b，a为整数，∴a的最大值为1002，∴a+b+c的最大值为a+b+c＝a+4011＝5013．【点睛】本题考查了整式的加减，关键是由已知等式得出a+b+c的表达式，再求最大值．【题型10不等关系的简单应用】【例10】（2022春•饶平县校级期末）有一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b哪个大？【分析】根据题意得到不等式10b+a＜10a+b，通过解该不等式即可比较它们的大小．【详解】解：根据题意，得10b+a＜10a+b，所以，9b＜9a，所以，b＜a，即a＞b．【点睛】本题考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【变式10-1】（2022春•巩义市期末）如图所示，A，B，C，D四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为（）A．D＜B＜A＜C B．B＜D＜C＜A C．B＜A＜D＜C D．B＜C＜D＜A【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：D＞A①，A+C＞B+D②，B+C＝A+D③，由③得：C＝A+D﹣B④，把④代入②得：A+A+D﹣B＞B+D，2A＞2B，∴A＞B，∴A﹣B＞0，由③得：A﹣B＝C﹣D，∵D﹣A＞0，∴C﹣D＞0，∴C＞D，∴C＞D＞A＞B，即B＜A＜D＜C，故选：C．【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．【变式10-2】（2022春•兰山区期末）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b．反之也成立．这种方法就是求差法比较大小．请运用这种方法解决下面这个问题：制作某产品有两种用料方案，方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板．每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小．方案一总面积记为S1，方案二总面积记为S2，则S1＜S2（填“＞，＜或＝”）．【分析】设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，方案一：用4块A型钢板，用8块B型钢板，用式子表示为：s1＝4x+8y；方案二：用3块A型钢板，用9块B型钢板，用式子表示为：s2＝3x+9y，用s1减去s2，结果与0比较即可；【详解】解：设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，方案一：用4块A型钢板，用8块B型钢板，用式子表示为：s1＝4x+8y；方案二：用3块A型钢板，用9块B型钢板，用式子表示为：s2＝3x+9y，∵s1﹣s2＝4x+8y﹣3x﹣9y＝x﹣y，∵x＜y，∴x﹣y＜0，∴s1＜s2．故答案为：＜．【点睛】本题考查了探索了比较两个数或代数式的大小时常采用的“求差法”，读懂方法，计算化简即可．本题难度中等略大．【变式10-3】（2022•苏州自主招生）5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（）A．a+b2＞c+d2 B．c+d2【分析】根据已知得出3a+2b＝2c+3d，推出2a+2b＜2c+2d，求出a+b＜c+d，两边都除以2即可得出答案．【详解】解：∵3a+2b＝2c+3d，∵a＞d，∴2a+2b＜2c+2d，∴a+b＜c+d，∴a+b2即c+d2故选：B．【点睛】本题考查了不等式的性质的应用，关键是根据不等式的性质进行变形．专题11.2一元一次不等式【七大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1一元一次不等式的概念】 1【题型2一元一次不等式的解法】 1【题型3一元一次不等式的整数解问题】 2【题型4含参数的一元一次不等式的解法】 3【题型5一元一次不等式的最值问题】 3【题型6含绝对值的一元一次不等式】 3【题型7方程与不等式的综合求参数范围】 4【知识点一元一次不等式】（1）不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式.能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集，简称不等式的解.（2）解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x项的系数化为1.【题型1一元一次不等式的概念】【例1】（2022·安徽·灵璧县黄湾中学八年级阶段练习）下列不等式中是一元一次不等式的是(

)①2x-1＞1；②3+12x＜0；③x≤2.4；④1x＜5；⑤1＞-2；⑥A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式1-1】（2022·河北·沧州渤海新区京师学校七年级阶段练习）请写出一个解集是x＜1的一元一次不等式：______．【变式1-2】（2022·全国·七年级单元测试）当时k______时，不等式(k−2)xk【变式1-3】（2022·山东·聊城市茌平区振兴街道中学八年级阶段练习）若不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3是关于x的一元一次不等式，求m、n的取值．【题型2一元一次不等式的解法】【例2】（2022·湖南·邵阳市第六中学八年级阶段练习）已知2x−13+1≥x−【变式2-1】（2022·河南·郑州市二七区侯寨一中八年级阶段练习）不等式5x-1≤2x+5的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【变式2-2】（2022·山东淄博·七年级期末）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：(1)5x−9<2x−3(2)2x【变式2-3】（2022·北京市怀柔区第五中学七年级期末）下面是小征同学求不等式4x−13-12(3x-2)≥第一步：13(4x-1)-12(3x-2)≥第二步：13×4x-13×1≥第三步：16x-4-18x+12≥5；第四步：-2x≥-3；第五步：．(1)请将第二、五步和在数轴上表示解集补充完整；(2)第二步变形的依据是；(3)第三步变形的目的是．【题型3一元一次不等式的整数解问题】【例3】（2022·贵州黔西·七年级期末）若不等式3(x+1)−2⩽4(x−3)+1的最小整数解是方程12x−m=5的解，则m的值为（A．1 B．−11 C．32 D．【变式3-1】（2022·甘肃定西·七年级阶段练习）不等式34x<1的非负整数解是（A．0 B．1 C．0和1 D．1和2【变式3-2】（2022·湖南衡阳·七年级期末）满足不等式2n−5<5−2n的正整数有___________、___________．【变式3-3】（2022·山东枣庄·八年级期中）对于任意实数a、b，定义一种运算：a※b=ab−a+b−2．例如，2※【题型4含参数的一元一次不等式的解法】【例4】（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）已知关于x的不等式a−a(1)当a＝2022时，求此不等式解集．(2)a为何值，该不等式有解，并求出其解集．【变式4-1】（2022·吉林吉林·七年级期末）关于x的不等式2x−a≥1的解集如图所示，则a的值为（

）A．3 B．2 C．1 D．-1【变式4-2】（2022·全国·九年级专题练习）（1）已知的解集中的最大整数为3，则a的取值范围是________．（2）已知的解集中最小整数为-2，则a的取值范围是________．【变式4-3】（2022·湖北随州·七年级期末）已知关于x的不等式1−x（1）当m=1时，求该不等式的解集；（2）若该不等式有解，求m应满足的条件，并求出不等式的解集【题型5一元一次不等式的最值问题】【例5】（2022·江苏扬州·七年级阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组2x+y=3k−1,x+2y=−2的解满足x+y>1，则满足条件的k【变式5-1】（2022·宁夏·永宁县第二中学（永宁县回民高级中学）八年级期中）一元一次不等式x+12【变式5-2】（2022·江苏省兴化市大垛中心校七年级期末）已知关于x的方程3k−5x=−9的解是非负数，则k的最小值为________．【题型6含绝对值的一元一次不等式】【例6】（2022·江苏·七年级专题练习）若关于x的不等式a≥x+1+2x+2【变式6-1】（2022·山东淄博·七年级期末）若|2a﹣6|＞6﹣2a，则实数a的取值范围是_____．【变式6-2】（2022·全国·九年级专题练习）不等式x−3【变式6-3】（2022·全国·七年级课时练习）解下列不等式：（1）|x+2|−3>0（2）|【题型7方程与不等式的综合求参数范围】【例7】（2022·吉林长春·七年级期中）关于x,y的二元一次方程组x+3y=2+a3x+y=−4a的解满足x+y<−2，则a【变式7-1】（2022·海南鑫源高级中学七年级期中）已知有关x的方程x+12=1−x−15的解也是不等式2x-3【变式7-2】（2022·四川天府新区教育科学研究院附属中学八年级阶段练习）已知方程组2x+y=1−mx+2y=2的x，y满足x≥y【变式7-3】（2022·陕西安康·七年级期末）已知关于x，y的二元一次方程组x−3y=m−1x+y=−3m+7(1)若方程组的解满足x−y>3m+11，求m的取值范围．(2)当m取（1）中最大负整数值时，求x−y的值．专题11.2一元一次不等式【七大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1一元一次不等式的概念】 1【题型2一元一次不等式的解法】 3【题型3一元一次不等式的整数解问题】 6【题型4含参数的一元一次不等式的解法】 8【题型5一元一次不等式的最值问题】 11【题型6含绝对值的一元一次不等式】 13【题型7方程与不等式的综合求参数范围】 15【知识点一元一次不等式】（1）不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式.能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集，简称不等式的解.（2）解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x项的系数化为1.【题型1一元一次不等式的概念】【例1】（2022·安徽·灵璧县黄湾中学八年级阶段练习）下列不等式中是一元一次不等式的是(

)①2x-1＞1；②3+12x＜0；③x≤2.4；④1x＜5；⑤1＞-2；⑥A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】根据一元一次不等式的定义对各小题进行逐一分析即可．【详解】解：（1）符合一元一次不等式的定义，故本小题正确；（2）符合一元一次不等式的定义，故本小题正确；（3）符合一元一次不等式的定义，故本小题正确；(4)1x(5)此不等式不含未知数,不是一元一次不等式，故本小题错误；(6))符合一元一次不等式的定义，故本小题正确；故选:C.【点睛】本题考查的是一元一次不等式，熟知含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．【变式1-1】（2022·河北·沧州渤海新区京师学校七年级阶段练习）请写出一个解集是x＜1的一元一次不等式：______．【答案】x-1＜0（答案不唯一）【分析】根据一元一次不等式的求解逆用，把1进行移项就可以得到一个；也可以对原不等式进行其它变形，所以答案不唯一．【详解】移项，得x-1＜0（答案不唯一）．【点睛】本题考查不等式的求解的逆用；写出的不等式只需符合条件，越简单越好．【变式1-2】（2022·全国·七年级单元测试）当时k______时，不等式(k−2)xk【答案】-2【详解】根据用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式，可由系数不为0，得k-2≠0，解得k≠2，由未知数的次数为1，得|k|-1=1，解得k=±2，因此可得k=-2.故答案为-2.【变式1-3】（2022·山东·聊城市茌平区振兴街道中学八年级阶段练习）若不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3是关于x的一元一次不等式，求m、n的取值．【答案】m=0，n≠3．【分析】根据一元一次不等式的定义知道二次项系数为零，一次项系数不为零，即可求出m、n的取值.【详解】解∵不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3是关于x的一元一次不等式，∴二次项系数为零，一次项系数不为零，又∵3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3化简为:mx2+(n-3)x≥0∴解得：m=0，n﹣3≠0．故m=0，n≠3．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的定义（只有一个未知数，且未知数的次数为1，系数为零，左右两边为整式），熟记一元一次不等式的定义是解题的关键.【题型2一元一次不等式的解法】【例2】（2022·湖南·邵阳市第六中学八年级阶段练习）已知2x−13+1≥x−【答案】104【分析】首先解一元一次不等式，解题时要注意系数化一时：系数是-11，不等号的方向要改变．在去绝对值符号时注意：当a为正时，|a|=a；当a为0时，|a|=0；当a为负时，|a|=-a．【详解】解：2x−13去分母得：2（2x−1）+6≥6x−3（5−3x），去括号得：4x−2+6≥6x−15+9x，移项得：4x−6x−9x≥−15+2−6，合并同类项得：−11x≥−19，解不等式组得：x≤19（1）当−3≤x≤1911时，当x=1911当x=（2）当x＜−3时，2−x−∴当x＜−3时2−x−∴最大值与最小值的差是5−−故答案为：10411【点睛】此题考查了一元一次不等式的求解与绝对值的性质．解题时要注意一元一次不等式的求解步骤，绝对值的性质．【变式2-1】（2022·河南·郑州市二七区侯寨一中八年级阶段练习）不等式5x-1≤2x+5的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】不等式移项合并，把x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．【详解】解：不等式移项合并得：3x≤6，解得：x≤2，表示在数轴上，如图所示：，故选：D．【点睛】此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式2-2】（2022·山东淄博·七年级期末）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：(1)5x−9<2x−3(2)2x【答案】(1)x<2，见解析(2)x≥−5【分析】（1）移项，合并同类项，系数化为1，即可求解；（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解；（1）解：5x−9<2x−3，5x-2x<-3+9，3x<6，x<2；解集在数轴上表示为：（2）解：2x34x-(6x-1)≤6，4x-6x+1≤6，4x-6x≤6-1，-2x≤5，x≥−5解集在数轴上表示为：【点睛】本题考查解不等式，用数轴表示不等式解集，熟练掌握解不等式的一般步骤是解题的关键．【变式2-3】（2022·北京市怀柔区第五中学七年级期末）下面是小征同学求不等式4x−13-12(3x-2)≥第一步：13(4x-1)-12(3x-2)≥第二步：13×4x-13×1≥第三步：16x-4-18x+12≥5；第四步：-2x≥-3；第五步：．(1)请将第二、五步和在数轴上表示解集补充完整；(2)第二步变形的依据是；(3)第三步变形的目的是．【答案】(1)见解析(2)乘法分配律(3)去分母【分析】（1）根据不等式的解法解答；（2）根据乘法分配律解答；（3）根据不等式的性质求解即可．（1）第一步：13(4x-1)-12(3x-2)≥第二步：13×4x-13×1-12×3x+12第三步：16x-4-18x+12≥5；第四步：-2x≥-3；第五步：x≤3在数轴上表示解集：（2）第二步变形的依据是乘法分配律，故答案为：乘法分配律；（3）第三步变形的目的是去分母，故答案为：去分母．【点睛】此题考查了解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数时不等号要改变．【题型3一元一次不等式的整数解问题】【例3】（2022·贵州黔西·七年级期末）若不等式3(x+1)−2⩽4(x−3)+1的最小整数解是方程12x−m=5的解，则m的值为（A．1 B．−11 C．32 D．【答案】A【分析】先按解一元一次不等式的步骤进行计算，求出该不等式的最小整数解为12，然后把x＝12代入方程中进行计算即可解答．【详解】解：3(x+1)−2⩽4(x−3)+1，3x+3−2⩽4x−12+1，3x−4x⩽−12+1−3+2，−x⩽−12，x⩾12，∴该不等式的最小整数解为12，∴把x=12代入方程12126−m=5，m=1，故选：A．【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．【变式3-1】（2022·甘肃定西·七年级阶段练习）不等式34x<1的非负整数解是（A．0 B．1 C．0和1 D．1和2【答案】C【分析】求出不等式的解集，，然后找出整数解，即可求解．【详解】解：∵34∴x<4∴不等式34故选：C．【点睛】本题考查了解一元一次不等式、一元一次不等式的整数解，解决的关键是正确解出不等式的解集，然后根据限制条件进行解答．【变式3-2】（2022·湖南衡阳·七年级期末）满足不等式2n−5<5−2n的正整数有___________、___________．【答案】

1

2【分析】根据一元一次不等式的解法求出n的范围，进而求出满足条件的正整数即可．【详解】解：2n−5<5−2n，移项得2n+2n<5+5，合并同类项得4n<10，系数化为1得n<2.5，∵n取正整数，∴n=1或2，故答案为：1、2．【点睛】本题考查求一元一次不等式的正整数解，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决问题的关键．【变式3-3】（2022·山东枣庄·八年级期中）对于任意实数a、b，定义一种运算：a※b=ab−a+b−2．例如，2※【答案】1，2【分析】根据题中的新定义运算列出不等式并求解．【详解】解：∵a∴3※x=3x−3+x−2∵3∴3x−3+x−2<44x<9x<∴该不等式的正整数解为：1，2．故答案为：1，2．【点睛】本题主要考查了新定义运算以及解一元一次不等式，熟练掌握新定义运算和解一元一次不等式是解答本题的关键．【题型4含参数的一元一次不等式的解法】【例4】（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）已知关于x的不等式a−a(1)当a＝2022时，求此不等式解集．(2)a为何值，该不等式有解，并求出其解集．【答案】(1)x>5(2)当a≠−1时，原不等式有解，当a>−1时，原不等式的解集为x>5；当a<−1时，原不等式的解集为x<5．【分析】（1）根据解不等式的方法解不等式即可；（2）同（1）将原不等式化为xa+1（1）解：∵a−a∴x5∴xa+1∵a=2022，∴a+1>0，∴x5∴x>5；（2）解：由题意得原不等式可以化成xa+1∴当a+1≠0，即a≠−1时，原不等式有解，当a+1>0，即a>−1时，原不等式的解集为x>5；当a+1<0，即a<−1时，原不等式的解集为x<5．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键．【变式4-1】（2022·吉林吉林·七年级期末）关于x的不等式2x−a≥1的解集如图所示，则a的值为（

）A．3 B．2 C．1 D．-1【答案】C【分析】先求出不等式的解集为x≥a+12，再根据数轴可得x≥1，从而可得【详解】解：解关于x的不等式2x−a≥1得：x≥a+1由数轴可知，这个不等式的解集为x≥1，则a+12解得a=1，故选：C．【点睛】本题考查了解一元一次不等式、不等式的解集在数轴上的表示，熟练掌握不等式的解法是解题关键．【变式4-2】（2022·全国·九年级专题练习）（1）已知的解集中的最大整数为3，则a的取值范围是________．（2）已知的解集中最小整数为-2，则a的取值范围是________．【答案】

【分析】（1）根据不等式的解集中最大的整数是3，可得答案．（2）根据不等式的解集中最小整数为-2，可得答案．【详解】解：（1）∵的解集中的最大整数为3，∴，故答案为：.（2）∵的解集中最小整数为-2，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的解集是解题关键．【变式4-3】（2022·湖北随州·七年级期末）已知关于x的不等式1−x（1）当m=1时，求该不等式的解集；（2）若该不等式有解，求m应满足的条件，并求出不等式的解集【答案】（1）x>3；（2）当m≠−1时，原不等式有解；当m>−1时，原不等式的解集为x>3；当m<−1时，原不等式的解集为x<3．【分析】（1）当m=1时，通过求解不等式，即可得到答案；（2）对不等式进行去分母、移项、合并同类项后，根据一元一次不等式的性质，结合m的不同取值范围，即可完成求解．【详解】（1）当m=1时，1−∴x>3；（2）去分母得：3−x<mx−3m∴(m+1)x>3(m+1)∴当m≠−1时，原不等式有解当m>−1时，即m−1>0，原不等式的解集为x>3；当m<−1时，即m−1<0，原不等式的解集为x<3．【点睛】本题考查了一元一次不等式、去分母、移项、合并同类项的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式、去分母、移项、合并同类项的性质，从而完成求解．【题型5一元一次不等式的最值问题】【例5】（2022·江苏扬州·七年级阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组2x+y=3k−1,x+2y=−2的解满足x+y>1，则满足条件的k【答案】3【分析】方程组两方程相加表示出x+y，代入已知不等式求出k的范围，确定出k的最小整数解即可．【详解】解：2x+y=3k−1①①+②，得：3x+3y=3k－3，则x+y=k－1，∵x+y＞1