新疆喀什地区2024届高三下学期4月适应性检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1新疆喀什地区2024届高三下学期4月适应性检测数学试题一、选择题1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，所以.故选：D.2.已知复数满足，则复数的共轭复数的模（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，所以，所以.故选：B.3.已知正项等比数列的前项的和为，满足，则公比（）A.1或3 B. C.1或 D.1〖答案〗D〖解析〗正项等比数列的公比，由，得，整理得，即，所以，（负值舍）.故选：D4.已知函数，满足，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递增，且，则时，单调递增，若有，则有，解得，故选：A.5.在直角梯形中，且与交于点，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在直角梯形中，且，过作于，则，故，从而.因此，所以向量在向量上的投影向量为.故选：C.6.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得.故选：B7.数学中，悬链线指的是一种曲线，是两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，它被广泛应用到现实生活中，比如计算山脉的形状、婲述星系的形态、研究植物的生长等等．在合适的坐标系中，这类曲线可用函数（其中为非零常数，）来表示，当取到最小值为2时，下列说法正确的是（）A.此时 B.此时的最小值为2C.此时的最小值为2 D.此时的最小值为0〖答案〗B〖解析〗函数，为非零常数，，由取到最小值为2，得，对于A，，则，当且仅当，即时取等号，此时，，A错误；对于B，，当且仅当取等号，B正确；对于C，，当且仅当取等号，C错误；对于D，，当且仅当取等号，D错误.故选：B8.已知函数的定义域均为为的导函数，且，，若为偶函数，则（）A.2 B.1 C.0 D.-1〖答案〗A〖解析〗由题意，可知，①，令可得，，所以.又因为为偶函数，所以，两边同时求导可得，②令可得，，所以，联立①②可得，，化简可得，所以是周期为2的函数，所以，，又因为，所以，所以，所以.故选：A.二、选择题9.下列说法正确的是（）A.已知随机变量服从二项分布，则B.设随机变量服从正态分布，若，则C.已知一组数据为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，则它的第70百分位数为7D.若事件满足，则事件相互独立〖答案〗AD〖解析〗因为随机变量服从二项分布，则，故A正确；因为随机变量服从正态分布，则对称轴为，，故B错误；这组数据的第70百分位数为，故C错误；因为，所以，所以事件相互独立.故选：AD.10.如图圆台，在轴截面中，，下面说法正确的是（）A.线段B.该圆台的表面积为C.该圆台体积为D.沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为5〖答案〗ABD〖解析〗显然四边形是等腰梯形，，其高即为圆台的高对于A，在等腰梯形中，，A正确；对于B，圆台的表面积，B正确；对于C，圆台的体积，C错误；对于D，将圆台一半侧面展开，如下图中扇环且为中点，而圆台对应的圆锥半侧面展开为且，又，在△中，，斜边上的高为，即与弧相离，所以C到AD中点的最短距离为5cm，D正确.故选：ABD11.对于数列，定义：，称数列是的“倒和数列”．下列说法正确的有（）A.若数列单调递增，则数列单调递增B.若，则数列有最小值2C.若，则数列有最小值D.若，且，则〖答案〗CD〖解析〗函数在上单调递增，在上单调递减，对于A，由于函数在定义域上不单调，则由数列单调递增，无法判断数列单调性，A错误；对于BC，，则数列有最小值，B错误，C正确；对于D，由，得，，整理得，而，因此，D正确.故选：CD.三、填空题12.已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为________．〖答案〗〖解析〗圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，显然，因此圆相交，所以两圆公共弦所在直线的方程为，即.故〖答案〗为：.13.已知函数，其中，满足，则________．〖答案〗〖解析〗因为，，所以，所以，即，所以，又因为，所以，即.故〖答案〗为：.14.“蒙旦圆”涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆的离心率为，则该椭圆的蒙日圆方程为________．〖答案〗〖解析〗由椭圆的离心率为，得，解得，椭圆在顶点处的切线分别为，它们交于点，显然点在椭圆的蒙日圆上，因此，所以椭圆的蒙日圆方程为.故〖答案〗为：四、解答题15.已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）设函数，求的单调区间．解：（1）函数，求导得，则，而，所以曲线在处的切线方程是.（2）由（1）知，的定义域为R，求导得，由，得或，由，得，所以的单调递增区间为；单调递减区间为.16.已知在中，角的对边分别为，且．（1）求；（2）若，点为的中点，求．解：（1）在中，由正弦定理及，得，而，则，又，即，于是，又，所以.（2）由（1）知，，由余弦定理得，即，而，解得，由为的中点，得，所以.17.如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，且平面平面为的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：取的中点，连接，，而为的中点，则且，又且，则且，于是四边形为平行四边形，，又平面，平面，所以平面.（2）解：取中点为，连接，由为等腰梯形，得，由平面平面，平面平面，平面，得平面，在平面内，过点作直线的垂线，以点原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，等腰梯形中，，，则，由，，得，于是，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，令，得，设平面的法向量为，则，令，得，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.18.已知椭圆的左焦点，点在椭圆上，过点的两条直线分别与椭圆交于另一点，且直线的斜率满足．（1）求椭圆的方程；（2）证明直线过定点．（1）解：由点在椭圆上，得，由为椭圆的左焦点，得，所以椭圆的方程为.（2）证明：依题意，直线不垂直于坐标轴，设其方程为，，，由消去y并整理得，，，，由得，即，整理得，即有，而，解得，满足，直线：过定点，所以直线过定点.19.为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查，统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表．年龄次数每周0～2次70553659每周3～4次25404431每周5次及以上552010（1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；（2）从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求的分布列与期望；（3）已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为，求小明星期天选择跑步的概率．参考公式：．附：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关，由题得列联表如下：青年中年合计体育锻炼频率低12595220体育锻炼频率高75105180合计200200400，根据小概率值的独立性检验推断不成立，即认为体育锻炼频率的高低与年龄有