湘豫名校联考2024届高三下学期第二次模拟考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湘豫名校联考2024届高三下学期第二次模拟考试数学试卷一､选择题1.已知全集，集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗全集，，则，而，所以.故选：B.2.若复数满足，为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗因为，所以，所以的共轭复数，对应的点坐标为位于第四象限.故选：D.3.若函数的图象关于轴对称，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意，函数是偶函数，则，即，而，所以.故选：B.4.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，又，所以，又，所以.故选：A5.某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队.选哪支队是随机的，其中选“初心”队获胜的概率为0.8，选“使命”队获胜的概率为0.7，单位在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（）A B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意，记选“初心”队为事件，选“使命”队为事件，该单位获胜为事件，则,因此，所以选“使命”队参加比赛的概率.故选：D6.如图，平面四边形中，，.若是椭圆和双曲线的两个公共焦点，是与的两个交点，则与的离心率之积为（）A. B. C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗依题意，由对称性知，四边形是等腰梯形，过作于，连接，则，，在中，,所以与的离心率之积为.故选：C7.如图，在中，分别为的中点，为上一点，且满足，则（）A. B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗过点作于，令，由，得，，由分别为的中点，得，，所以.故选：B8.已知直线与直线相交于点，且点到点的距离等于1，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.〖答案〗D〖解析〗直线过定点，直线过定点，又直线，因此点的轨迹是以线段为直径的圆（除点外），圆心，半径，圆的方程为且，又，显然点与的距离大于1，则点在圆：上，依题意，圆与圆有公共点，于是，即，解得或，所以实数的取值范围是.故选：D.二､多选题9.人均可支配收入和人均消费支出是两个非常重要的经济和民生指标，常被用于衡量一个地区经济发展水平和群众生活水平.下图为2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，据此进行分析，则（）A.2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增B2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增C.2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差大D.2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为21180元〖答案〗ACD〖解析〗对于A，由题中折线图知人均可支配收入逐年递增，A正确；对于B，由题中折线图知，20182023年前三季度全国城镇居民人均消费支出先增后减再增，B错误；对于C，20182023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差为元，人均消费支出的极差为元，C正确；对于D，20182023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为元，D正确.故选：ACD10.已知是定义在上不恒为0的函数，的图象关于直线对称，且函数的图象的对称中心也是图象的一个对称中心，则（）A.点是的图象的一个对称中心B.为周期函数，且4是的一个周期C.为偶函数D.〖答案〗AC〖解析〗由的图象关于直线对称，得函数关于对称，即为偶函数，，显然函数图象的对称中心为原点，则函数的图象的对称中心为，即，对于A，，则是图象的一个对称中心，A正确；对于B，由，得，即，，是周期函数，8是该函数的一个周期，若4是的一个周期，则，而，从而与已知矛盾，B错误；对于C，，因此为偶函数，C正确；对于D，由，得，则，D错误.故选：AC11.如图，在正四面体中，分别为侧棱上的点，且，为的中点，为四边形内（含边界）一动点，，则（）A.B.五面体的体积为C.点的轨迹长度为D.与平面所成角的正切值为〖答案〗ABD〖解析〗对于A，取的中点，连接，依题意，是正的重心，则点在上，由平面，得平面，而平面，则，又，，，在中，由余弦定理得，显然，则，而平面，则平面，又平面，所以，A正确；对于B，由选项A知，正四面体的高，由已知，平面平面，则平面，同理平面，又平面，于是平面平面，四面体为正四面体，高为，，因此五面体的体积：，B正确；对于C，由选项A知，，则，而，以线段为直径的半圆交于，点的轨迹是此半圆在四边形及内部的弧和弧，显然是的中点，而，，因此，点的轨迹长度为，C错误；对于D，由选项C知，是与平面所成角，，D正确.故选：ABD.三､填空题12.已知圆锥轴截面为正三角形，球与圆锥的底面和侧面都相切.设圆锥的体积､表面积分别为，球的体积､表面积分别为，则__________.〖答案〗1〖解析〗依题意，设正的边长为2，则圆锥的底面圆半径为1，高为，母线长为2，因此，，球半径即为正的边心距，因此，，所以.故〖答案〗为：113.已知角满足，则__________.〖答案〗0〖解析〗由已知得，显然，否则与矛盾，则，即，于是，而，即，因此，所以.故〖答案〗为：0.14.已知为实数，若不等式对任意恒成立，则的最大值是______.〖答案〗6〖解析〗因为，所以，则不等式等价于，等价于，令，则，从而，令，由对勾函数的性质知，因为，即，所以，令，则，解得，所以，当且仅当即时取等号，故的最大值是6.故〖答案〗为：6.四､解答题15.设函数，曲线在点处的切线与直线平行.（1）求的值；（2）求的单调区间和极值.解：（1）由函数，求导得，依题意，，解得，此时，显然点不直线上，符合题意，所以.（2）由（1）知，函数的定义域为，，当或时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，当时，取得极小值，当时，取得极大值，所以函数的递减区间是，递增区间是，极小值，极大值0.16.如图1，中，分别是线段上的动点，且，将沿折起至，如图2，在四棱锥中，为的中点，且平面.（1）证明：；（2）若为线段上一点，若平面与平面的夹角为，求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：取中点，连接，由为的中点，得，由，得，则，由平面，平面，平面平面，因此，四边形是平行四边形，，所以.（2）解：由（1）知，，，而，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，由点在线段上，设，，设平面的法向量，则，令，得，设平面的法向量，则，令，得，依题意，，解得，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.17.除夕吃年夜饭（又称为团圆饭）是中国人的传统，年夜饭也是阖家欢聚的盛宴.设一家个人围坐在圆形餐桌前，每个人面前及餐桌正中央均各摆放一道菜，每人每次只能从中夹一道菜.（1）当时，若每人都随机夹了一道菜，且每道菜最多被夹一次，计算每人夹的菜都不是餐桌正中央和自己面前的菜的概率；（2）现规定每人只能在自己面前或餐桌正中央的两道菜中随机夹取一道菜，每个人都各夹过一次菜后，记被夹取过的菜数为，求满足的的最小值.注：若均为离散型随机变量，则.解：（1）当时，样本空间包含个样本点，记“每人夹的菜都不是餐桌正中央和自己面前的菜”为事件，则事件的结果数是个元素的全错位排列数，记表示4个元素的全错位排列数，可以分步计算，第一步，让来先夹菜，除了正中央和自己面前的菜外，他有3种选择；第二步，若他选择了面前的菜，则让来夹，对于，可以分为两类，若选面前的菜，则其余人共有种选择，若不选面前的菜，可有种选择，而余下的两人也只有种选择，所以事件含有的样本点个数为，所以由古典概型概率公式得，.（2）将道菜编号，餐桌正中央的菜编号为，其余菜编号为，，则，所以，因为当时，所以，由题意有由题后注可知，.因为，故数列是递增数列，又，，所以的最小值为.18.如图，过点的动直线交抛物线于两点.（1）若，求的方程；（2）当直线变动时，若不过坐标原点，过点分别作（1）中的切线，且两条切线相交于点，问：是否存在唯一的直线，使得？并说明理由.解：（1）由，得直线的斜率为，方程为，即，由消去得：，设，则，由，得，解得，所以抛物线的方程是.（2）由（1）知，抛物线的方程是，直线不垂直于轴，设直线，显然，由消去并整理得，，则，设抛物线在处的切线方程为，由消去得：，由，得，于是抛物线在处的切线方程为，同理抛物线在处的切线方程为，设点，由，，得，，即点，于是直线的斜率分别为，若存在直线，使得，则，设直线的倾斜角分别为，则，由，得或，因此，即，则，，整理得，化简得，令，求导得，显然，即恒成立，则函数在R上单调递增，而，因此存在唯一，使得所以存在唯一的直线，使得.19.已知由个数构成有序数组，如果恒成立，则称有序数组为“非严格差增数组”.（1）设有序数组，试判断是否为“非严格差增数组”？并说明理由；（2）若有序数组为“非严格差增数组”，求实数的取值范围.解：（1）对于有序数组，有，所以有序数组是“非严格差增数组”；对于有序数组，有，因为，所以有序数组不是“非严格差增数组”.（2）由题意，知有序数组中的数构成